Laplace - Contribuciones del usuario [es]

2.1. Ejemplo de movimiento plano en 3D

Enrique — Sat, 17 Oct 2020 20:28:20 GMT

Enrique: /* Parámetro arco */

==Enunciado==
Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

<center><math>\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}</math></center>

# Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
# Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
# Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración
# Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Velocidad y aceleración==
===Velocidad===
Derivando una vez el vector de posición respecto al tiempo:

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\left(\cos^2(\omega t)-\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\right)\vec{\jmath}+6A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>

Podemos simplificar esta expresión con ayuda de las funciones trigonométricas del ángulo doble

<center><math>\vec{v}=-4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración===
Derivando de nuevo obtenemos el vector aceleración:

<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

==Parámetro arco==
La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad

<center><math>v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega</math></center>

Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo

<center><math>\dot{s}=5A\omega</math>{{tose}}<math>s = 5A\omega t\,</math>{{tose}}<math>t = s/(5A\omega)\,</math></center>

y la ecuación de la trayectoria parametrizada naturalmente es

<center><math>\vec{r}(s) = 4A\cos^2\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{\imath}+5A\cos\left(\frac{s}{5A}\right)\,\mathrm{sen}\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{\jmath}-3A\cos^2\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{k}</math></center>

==Triedro de Frenet y componentes intrínsecas==
===Vector tangente===
Obtenemos el vector tangente como el unitario en la dirección de la velocidad

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{4}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Vector binormal===
El binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración

<center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 5A\omega\cos(2\omega t) & 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) \\ -8A\omega^2\cos(2\omega t & -10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 6A\omega^2\cos(2\omega t)\end{matrix}\right|=30A^2\omega^3\vec{\imath}+40A^2\omega^3\vec{k}</math></center>

Dividiendo este vector por su módulo

<center><math>\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{k}</math></center>

Vemos que resulta un vector constante y por tanto la trayectoria es plana, aunque tenga las tres coordenadas dependientes del tiempo.

El plano que contiene a la trayectoria es el dado por la ecuación vectorial

<center><math>\vec{B}\cdot(\vec{r}(t)-\vec{r}(0)) = 0</math>{{tose}}<math>3x+4z = 0\,</math></center>

===Vector normal===
Conocidos el vector tangente y el vector binormal, hallamos el vector normal como su producto vectorial

<center><math>\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T} = -\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración tangencial===
Puesto que el movimiento es uniforme, la aceleración tangencial es nula

<center><math>\vec{a}_t = \vec{0}</math></center>

===Aceleración normal===
Si la aceleración tangencial es nula, en este caso toda la aceleración es normal

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

La componente normal de la aceleración la obtenemos proyectando la aceleración sobre el vector normal (o bien, en este caso, tomando simplemente el módulo de la aceleración ya que la componente normal es la única que hay y nunca puede ser negativa)

<center><math>a_n = \vec{a}\cdot\vec{N} = |\vec{a}\,| = 10A\omega^2</math></center>

Nótese también que la nulidad de la aceleración tangencial implica que se habría podido calcular el vector normal principal simplemente normalizando la aceleración y haber obtenido después el vector binormal como producto vectorial del tangente unitario y el normal.

==Radio y centro de curvatura. Tipo de movimiento==

[[Archivo:ejemplo-trayectoria-circular.png|right]]

===Radio de curvatura===
Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{25A^2\omega^2}{10A\omega^2}=\frac{5}{2}A</math></center>

===Tipo de movimiento===

Puesto que la trayectoria es plana (el vector binormal es constante) y el radio de curvatura es constante, llegamos a la conclusión de que se trata de un movimiento circular. Es más, dado que la rapidez es constante, el movimiento es circular uniforme.

===Centro de curvatura===
El centro de curvatura coincide en este caso con el centro de la circunferencia que describe la partícula

<center><math>\vec{r}_c = \vec{r}(t) + R\vec{N}(t) = \left(4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}\right)</math><math>+\frac{5A}{2}\left(-\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}\right)</math></center>

Desarrollando las funciones trigonométricas del ángulo doble, queda finalmente

<center><math>\vec{r}_c = 2A\vec{\imath}- \frac{3A}{2}\vec{k}</math></center>

que efectivamente es un punto fijo, como corresponde a un movimiento circular.

[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

2.1. Ejemplo de movimiento plano en 3D

Enrique — Sat, 17 Oct 2020 20:27:20 GMT

Enrique: /* Parámetro arco */

==Enunciado==
Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

<center><math>\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}</math></center>

# Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
# Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
# Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración
# Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Velocidad y aceleración==
===Velocidad===
Derivando una vez el vector de posición respecto al tiempo:

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\left(\cos^2(\omega t)-\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\right)\vec{\jmath}+6A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>

Podemos simplificar esta expresión con ayuda de las funciones trigonométricas del ángulo doble

<center><math>\vec{v}=-4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración===
Derivando de nuevo obtenemos el vector aceleración:

<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

==Parámetro arco==
La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad

<center><math>v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega</math></center>

Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo

<center><math>\dot{s}=5A\omega</math>{{tose}}<math>s = 5A\omega t\,</math>{{tose}}<math>t = s/(5A\omega)\,</math></center>

y la ecuación de la trayectoria parametrizada naturalmente es

<center><math>\vec{r}(s) = \vec{r}[t(s)] = 4A\cos^2\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{\imath}+5A\cos\left(\frac{s}{5A}\right)\,\mathrm{sen}\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{\jmath}-3A\cos^2\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{k}</math></center>

==Triedro de Frenet y componentes intrínsecas==
===Vector tangente===
Obtenemos el vector tangente como el unitario en la dirección de la velocidad

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{4}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Vector binormal===
El binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración

<center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 5A\omega\cos(2\omega t) & 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) \\ -8A\omega^2\cos(2\omega t & -10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 6A\omega^2\cos(2\omega t)\end{matrix}\right|=30A^2\omega^3\vec{\imath}+40A^2\omega^3\vec{k}</math></center>

Dividiendo este vector por su módulo

<center><math>\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{k}</math></center>

Vemos que resulta un vector constante y por tanto la trayectoria es plana, aunque tenga las tres coordenadas dependientes del tiempo.

El plano que contiene a la trayectoria es el dado por la ecuación vectorial

<center><math>\vec{B}\cdot(\vec{r}(t)-\vec{r}(0)) = 0</math>{{tose}}<math>3x+4z = 0\,</math></center>

===Vector normal===
Conocidos el vector tangente y el vector binormal, hallamos el vector normal como su producto vectorial

<center><math>\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T} = -\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración tangencial===
Puesto que el movimiento es uniforme, la aceleración tangencial es nula

<center><math>\vec{a}_t = \vec{0}</math></center>

===Aceleración normal===
Si la aceleración tangencial es nula, en este caso toda la aceleración es normal

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

La componente normal de la aceleración la obtenemos proyectando la aceleración sobre el vector normal (o bien, en este caso, tomando simplemente el módulo de la aceleración ya que la componente normal es la única que hay y nunca puede ser negativa)

<center><math>a_n = \vec{a}\cdot\vec{N} = |\vec{a}\,| = 10A\omega^2</math></center>

Nótese también que la nulidad de la aceleración tangencial implica que se habría podido calcular el vector normal principal simplemente normalizando la aceleración y haber obtenido después el vector binormal como producto vectorial del tangente unitario y el normal.

==Radio y centro de curvatura. Tipo de movimiento==

[[Archivo:ejemplo-trayectoria-circular.png|right]]

===Radio de curvatura===
Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{25A^2\omega^2}{10A\omega^2}=\frac{5}{2}A</math></center>

===Tipo de movimiento===

Puesto que la trayectoria es plana (el vector binormal es constante) y el radio de curvatura es constante, llegamos a la conclusión de que se trata de un movimiento circular. Es más, dado que la rapidez es constante, el movimiento es circular uniforme.

===Centro de curvatura===
El centro de curvatura coincide en este caso con el centro de la circunferencia que describe la partícula

<center><math>\vec{r}_c = \vec{r}(t) + R\vec{N}(t) = \left(4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}\right)</math><math>+\frac{5A}{2}\left(-\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}\right)</math></center>

Desarrollando las funciones trigonométricas del ángulo doble, queda finalmente

<center><math>\vec{r}_c = 2A\vec{\imath}- \frac{3A}{2}\vec{k}</math></center>

que efectivamente es un punto fijo, como corresponde a un movimiento circular.

[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

2.1. Ejemplo de movimiento plano en 3D

Enrique — Sat, 17 Oct 2020 20:21:04 GMT

Enrique: /* Velocidad */

==Enunciado==
Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

<center><math>\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}</math></center>

# Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
# Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
# Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración
# Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Velocidad y aceleración==
===Velocidad===
Derivando una vez el vector de posición respecto al tiempo:

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\left(\cos^2(\omega t)-\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\right)\vec{\jmath}+6A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{k}</math></center>

Podemos simplificar esta expresión con ayuda de las funciones trigonométricas del ángulo doble

<center><math>\vec{v}=-4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración===
Derivando de nuevo obtenemos el vector aceleración:

<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

==Parámetro arco==
La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad

<center><math>v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega</math></center>

Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo

<center><math>\dot{s}=5A\omega</math>{{tose}}<math>s = 5A\omega t\,</math></center>

y la ecuación de la trayectoria parametrizada naturalmente es

<center><math>\vec{r}(t) = 4A\cos^2\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{\imath}+5A\cos\left(\frac{s}{5A}\right)\,\mathrm{sen}\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{\jmath}-3A\cos^2\left(\frac{s}{5A}\right)\vec{k}</math></center>

==Triedro de Frenet y componentes intrínsecas==
===Vector tangente===
Obtenemos el vector tangente como el unitario en la dirección de la velocidad

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{4}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Vector binormal===
El binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración

<center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 5A\omega\cos(2\omega t) & 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) \\ -8A\omega^2\cos(2\omega t & -10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 6A\omega^2\cos(2\omega t)\end{matrix}\right|=30A^2\omega^3\vec{\imath}+40A^2\omega^3\vec{k}</math></center>

Dividiendo este vector por su módulo

<center><math>\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{k}</math></center>

Vemos que resulta un vector constante y por tanto la trayectoria es plana, aunque tenga las tres coordenadas dependientes del tiempo.

El plano que contiene a la trayectoria es el dado por la ecuación vectorial

<center><math>\vec{B}\cdot(\vec{r}(t)-\vec{r}(0)) = 0</math>{{tose}}<math>3x+4z = 0\,</math></center>

===Vector normal===
Conocidos el vector tangente y el vector binormal, hallamos el vector normal como su producto vectorial

<center><math>\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T} = -\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

===Aceleración tangencial===
Puesto que el movimiento es uniforme, la aceleración tangencial es nula

<center><math>\vec{a}_t = \vec{0}</math></center>

===Aceleración normal===
Si la aceleración tangencial es nula, en este caso toda la aceleración es normal

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}</math></center>

La componente normal de la aceleración la obtenemos proyectando la aceleración sobre el vector normal (o bien, en este caso, tomando simplemente el módulo de la aceleración ya que la componente normal es la única que hay y nunca puede ser negativa)

<center><math>a_n = \vec{a}\cdot\vec{N} = |\vec{a}\,| = 10A\omega^2</math></center>

Nótese también que la nulidad de la aceleración tangencial implica que se habría podido calcular el vector normal principal simplemente normalizando la aceleración y haber obtenido después el vector binormal como producto vectorial del tangente unitario y el normal.

==Radio y centro de curvatura. Tipo de movimiento==

[[Archivo:ejemplo-trayectoria-circular.png|right]]

===Radio de curvatura===
Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{25A^2\omega^2}{10A\omega^2}=\frac{5}{2}A</math></center>

===Tipo de movimiento===

Puesto que la trayectoria es plana (el vector binormal es constante) y el radio de curvatura es constante, llegamos a la conclusión de que se trata de un movimiento circular. Es más, dado que la rapidez es constante, el movimiento es circular uniforme.

===Centro de curvatura===
El centro de curvatura coincide en este caso con el centro de la circunferencia que describe la partícula

<center><math>\vec{r}_c = \vec{r}(t) + R\vec{N}(t) = \left(4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}\right)</math><math>+\frac{5A}{2}\left(-\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}\right)</math></center>

Desarrollando las funciones trigonométricas del ángulo doble, queda finalmente

<center><math>\vec{r}_c = 2A\vec{\imath}- \frac{3A}{2}\vec{k}</math></center>

que efectivamente es un punto fijo, como corresponde a un movimiento circular.

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No Boletín - Persecución en el eje OX (Ex.Oct/19)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 13:03:15 GMT

Enrique: /* Respuesta a las dos preguntas formuladas */

==Enunciado==
Un coche circula por una carretera rectilínea (eje OX) con una velocidad constante de <math>30\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\,</math> , y en cierto instante pasa por el lado de un motorista que se encuentra parado en el arcén. Transcurrido un tiempo de <math>2\,\,\mathrm{s}\,</math> desde que pasó por su lado, el motorista inicia la persecución del coche, que realiza del siguiente modo: partiendo del reposo, mantiene una
aceleración constante de <math>6\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}^2\,</math> hasta el instante en el que alcanza una velocidad de <math>48\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\,</math> , instante a partir del cual mantiene constante dicha velocidad.

# ¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche?
# ¿Qué longitud total habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche?

==Cuestiones previas==
Dado que el coche y el motorista realizan movimientos rectilíneos sobre el eje OX, prescindiremos del carácter vectorial de sus magnitudes cinemáticas. Por tanto, describiremos sus posiciones mediante las coordenadas <math>x_C\,</math> y <math>x_M\,</math>, sus velocidades mediante <math>\dot{x}_C\,</math> y <math>\dot{x}_M\,</math>, y sus aceleraciones mediante <math>\ddot{x}_C\,</math> y <math>\ddot{x}_M\,</math>.

Consideraremos que <math>x=0\,\,</math> es la posición en la cual el motorista se encuentra inicialmente parado, y que <math>t=0\,\,</math> es el instante en el cual el motorista inicia la persecución del coche.

Los instantes relevantes del problema son los siguientes:
<center><math>
\begin{array}{lll}
t=-2\,\,\mathrm{s} & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{coche}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por}\,\,\mathrm{el}\,\,\mathrm{lado}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=0 \\ \\
t=0 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{inicia}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{persecucion}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{coche}
\,\,\mathrm{partiendo}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{reposo}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=0 \\ \\
t=t_1 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{cambia}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{su}\,\,\mathrm{inicial}\,\,\,\mathrm{m.r.u.a.}\,\,\,\mathrm{a}\,\,\mathrm{un}\,\,\,\mathrm{m.r.u.}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{cierta}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=x_1 \\ \\
t=t_2 & \,\longrightarrow\,\,\, & \mathrm{el}\,\,\mathrm{motorista}\,\,\mathrm{alcanza}\,\,\mathrm{al}\,\,\mathrm{coche}\,\,\mathrm{en}\,\,\mathrm{cierta}\,\,\mathrm{posicion}\,\, x=x_2
\end{array}
</math></center>

Conforme al enunciado, el coche realiza en todo instante un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), mientras que el motorista tiene una primera etapa (<math>0\leq t\leq t_1\,</math>) de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) y una segunda etapa (<math>t_1\leq t\leq t_2\,</math>) de movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.).

Tanto el m.r.u. como el m.r.u.a. son movimientos elementales, y por ello utilizaremos sus ecuaciones sin necesidad de deducirlas. En general, son las siguientes:
<center><math>
\begin{array}{ll}
\mathrm{m.r.u.}: & \dot{x}=v\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, x(t)=x_0+v\,(t-t_0) \\ \\
\mathrm{m.r.u.a.}: & \ddot{x}=a\,\,\mathrm{(cte)} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \dot{x}(t)=\dot{x}_0+a\,(t-t_0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,x(t)=x_0+\dot{x}_0\,(t-t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,(t-t_0)^2
\end{array}
</math></center>
donde <math>t_0\,</math> es el instante inicial del movimiento, <math>x_0=x(t_0)\,</math> es la posición inicial del móvil, y <math>\dot{x}_0=\dot{x}(t_0)\,</math> es su velocidad inicial.

==Cinemática del coche y del motorista==
La posición del coche queda definida en todo instante por la ecuación horaria:
<center><math>
x_C(t)=30\,(t+2)\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(unidades}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{SI)}
</math></center>
que corresponde a un m.r.u. con instante inicial <math>t_0=-2\,\mathrm{s}\,</math> , posición inicial <math>x_0=0\,\,</math> y velocidad constante <math>v=30\,\mathrm{m/s}\,</math>.

El movimiento del motorista en su primera etapa (<math>0\leq t\leq t_1\,</math>) viene caracterizado por las ecuaciones:
<center><math>
\dot{x}_M(t)=6\,t\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_M(t)=3\,t^2\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(unidades}\,\,\mathrm{del}\,\,\mathrm{SI)}
</math></center>
que corresponden a un m.r.u.a. con instante inicial <math>t_0=0\,</math> , posición inicial <math>x_0=0\,</math> , velocidad inicial <math>\dot{x}_0=0\,</math> (reposo inicial) y aceleración constante <math>a=6\,\mathrm{m/s}^2\,</math>.

Podemos entonces determinar el instante final <math>t=t_1\,</math> de esta primera etapa del movimiento del motorista porque sabemos que termina cuando su velocidad es igual a <math>48\,\mathrm{m/s}\,</math>:
<center><math>
\dot{x}_M(t_1)=6\,t_1=48\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, t_1=\frac{48}{6}=8\,\mathrm{s}
</math></center>

Entonces, la posición <math>x=x_1\,</math> del motorista al final de la primera etapa de su movimiento e inicio de la segunda etapa del mismo es:
<center><math>
x_1=x_M(t_1)=3\,t_1^2=3\,(8^2)=192\,\mathrm{m}
</math></center>

En consecuencia, la posición del motorista durante la segunda etapa de su movimiento (<math>t_1\leq t\leq t_2\,</math>) viene dada por la ecuación horaria:
<center><math>
x_M(t)=192+48\,(t-8)
</math></center>
que corresponde a un m.r.u. con instante inicial <math>t_0=t_1=8\,\mathrm{s}\,</math> , posición inicial <math>x_0=x_1=192\,\mathrm{m}\,</math> y velocidad constante <math>v=48\,\mathrm{m/s}\,</math>.

==Respuesta a las dos preguntas formuladas==
Para poder determinar el instante en el cual el motorista alcanza al coche, necesitamos saber en qué etapa de su movimiento ocurre tal cosa. Si comparamos la posición ya calculada del motorista en el instante final de la primera etapa de su movimiento [<math>x_M(t_1)=192\,\mathrm{m}\,</math>] con la posición del coche en dicho instante [<math>x_C(t_1)=30\,(t_1+2)=30\,(8+2)=300\,\mathrm{m}\,</math>] , comprobamos que aún no lo ha alcanzado y que, por tanto, lo hará durante la segunda etapa de su movimiento.

Así que, igualando las posiciones del motorista (segunda etapa de su movimiento) y del coche, determinamos el instante <math>t=t_2\,\,</math> en el cual el motorista alcanza al coche:
<center><math>
x_M(t_2)=x_C(t_2) \,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, 192+48\,(t_2-8)=30\,(t_2+2) \,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, 18\,t_2=252 \,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, t_2=\frac{252}{18}=14\,\mathrm{s}
</math></center>
Al haber considerado que la persecución se inició en <math>t=0\,</math> , la respuesta a la primera pregunta del ejercicio coincide precisamente con <math>t_2\,</math>. Por tanto, el tiempo transcurrido desde el inicio de la persecución hasta que el motorista alcanza al coche es de <math>14\,\mathrm{s}\,</math>.

Finalmente, determinamos la posición <math>x=x_2\,</math> del motorista en el instante <math>t=t_2\,</math> en el cual da alcance al coche:
<center><math>
x_2=x_M(t_2)=192+48\,(t_2-8)=192+48\,(14-8)=480\,\mathrm{m}
</math></center>
Al haber considerado que <math>x=0\,\,\,</math> corresponde a la posición en la cual el motorista se encontraba inicialmente parado, la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio coincide precisamente con <math>x_2\,</math>. Por tanto, la longitud total que habrá recorrido el motorista cuando alcance al coche es de <math>480\,\mathrm{m}\,</math>.

[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:53:07 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto <math>C\,\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, es la que hay que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:52:28 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto <math>C\,\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, es la que habría que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:51:27 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto <math>C\,\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (por tanto, la que habría que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:50:04 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto <math>C\,\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (c) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (la que habría que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

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No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:44:56 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto <math>C\,\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (la que habría que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:44:23 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente mutuo (punto <math>C\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (la que habría que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:37:43 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto mutuo (punto <math>C\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

Teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta (la que habría que marcar como respuesta).

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:28:40 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto mutuo (punto <math>C\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

En cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

En efecto, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:27:00 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" y el disco "0" se mantienen siempre en contacto tangente (punto <math>C\,</math>), siendo <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

En cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

En efecto, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:22:18 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" se mantiene siempre en contacto tangente con el disco "0". Al ser <math>C\,</math> el punto de contacto entre los dos discos, <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> y <math>C\,</math> no pueden coincidir (su coincidencia supondría una violación del teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

En cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

En efecto, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:16:19 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" se mantiene siempre en contacto tangente con el disco "0". Al ser <math>C\,</math> el punto de contacto entre los dos discos, <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es la velocidad de deslizamiento entre ambos. Es seguro que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero, ya que el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> no puede coincidir con <math>C\,</math> (tal cosa violaría el teorema de los tres centros porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>). Por otra parte, la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

En cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

En efecto, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 12:06:01 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" se mantiene siempre en contacto tangente con el disco "0". Al ser <math>C\,</math> el punto de contacto entre los discos "2" y "0", la velocidad <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es la velocidad de deslizamiento entre ambos discos (hay certeza de que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es distinta de cero porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> y, por tanto, en <math>C\,</math> no puede estar <math>I_{20}\,</math> porque eso supondría una violación del teorema de los tres centros). Pero la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

En cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

En efecto, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:41:01 GMT

Enrique: /* Solución */

==Enunciado==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==Solución==
[[Archivo:sol-discos-gr-ch.png|right]]

El disco "0" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {01} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{01}\equiv D
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}+\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (a) de la primera pregunta.

Por otra parte, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> de la escuadra "1". La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre dicho disco y dicho eje:
<center><math>
I_{21}\equiv E
</math></center>
Entonces, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>E\,</math>, se obtiene:
<center><math>
\vec{v}^{\, E}_{01}=\vec{v}^{\, E}_{02}+\underbrace{\vec{v}^{\, E}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (d) de la primera pregunta.

En cuanto al movimiento {20}, se sabe que el disco "2" se mantiene siempre en contacto tangente con el disco "0". Al ser <math>C\,</math> el punto de contacto entre ambos discos, la velocidad <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es la velocidad de deslizamiento entre ambos sólidos (sabemos que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> porque <math>C\,</math> no está alineado con <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> y, por tanto, según el teorema de los tres centros <math>I_{20}\not\equiv C\,</math>). Pero la velocidad de deslizamiento entre dos sólidos en contacto puntual es siempre tangencial al contacto (si no fuera así, perderían el contacto). Entonces podemos asegurar que:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
resultando ser VERDADERA la igualdad (C) de la primera pregunta.

En cuanto a la primera pregunta, habiéndose visto ya que son verdaderas las igualdades (a), (c) y (d), sólo falta comprobar que la igualdad falsa (la que hay que marcar) es la igualdad (b).

En efecto, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\neq\vec{0}\,</math> y que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\perp \overrightarrow{AB}\,</math>, llegamos a la conclusión de que:
<center><math>
|\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}|=|\vec{v}^{\, C}_{20}||\overrightarrow{AB}|\neq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}
</math></center>
resultando ser FALSA la igualdad (b) de la primera pregunta.

Por último, trazando la perpendicular a <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> en el punto <math>C\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{\, C}\perp\overrightarrow{I_{20}C} \\ \\ \{I_{20},\, I_{21},\,I_{01} \} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{\, C} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, C \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{21}I_{01}}\,\equiv\,F
</math></center>
Así que la respuesta correcta a la segunda pregunta es la (d) <math>\,\,\,I_{20}\equiv F\,</math>.

[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:31:17 GMT

Enrique:

==[[6.1. Movimiento de un aro en un pasador|Movimiento de un aro en un pasador]]==
Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido <math>1</math>), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>AX_2Y_2</math> (sólido <math>2</math>) solidario con el aro en su movimiento.

# Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math> (donde <math>\Omega</math> es una constante conocida), calcule <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}(t)</math>.

<center>[[Archivo:aro-pasador.png]]</center>

==[[6.2. Movimiento de barra en un pasador|Movimiento de barra en un pasador]]==
La barra <math>AB</math> (sólido “2”), de longitud <math>2a</math>, puede deslizar en su extremo A por el eje <math>OX_1</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”), al mismo tiempo que desliza por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto C del eje <math>OY_1</math>, a una distancia <math>a</math> del origen O. Sabiendo que la barra gira con velocidad angular constante <math>\Omega</math> (ley horaria <math>\theta(t)=\Omega t</math>, donde <math>\theta</math> es el ángulo definido en la figura), se pide:

# Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Calcular las velocidades, <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{v}^{B}_{21}(t)</math>, y las aceleraciones, <math>\vec{a}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{B}_{21}(t)</math>, de los dos extremos de la barra en cualquier instante de tiempo.
# Determinar analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

<center>[[Archivo:barra-pasador.png]]</center>

==[[6.3. Barra apoyada en placa|Barra apoyada en placa]]==
El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado <math>a</math> (sólido “0”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo <math>OX_1</math> (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math>. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1</math>, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{02}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: <math>\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)</math>. ii) La velocidad angular <math>\vec{\omega}_{02}</math>, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
# Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo <math>\theta</math>).

<center>[[Archivo:barra-apoyada-caja.png]]</center>

==[[6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)|Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)]]==
[[Archivo:disco-blanca.png|right]]

El plano vertical fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), y una barra <math>BC\,</math> de longitud <math>L\,</math> (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>O_1Y_1\,</math>, avanzando su centro <math>C\,</math> con velocidad constante <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\jmath}_1\,</math>. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo <math>C\,</math> está articulado al centro del disco, mientras que su extremo <math>B\,</math> está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje <math>O_1X_1\,</math>.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la barra <math>BC\,</math> con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> y <math>I_{01}\,</math>.
# Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: <math>\vec{\omega}_{21}(\theta)\,,</math> <math>\vec{\omega}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{\omega}_{20}(\theta)\,</math>.
# Calcular las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en la figura).



==[[6.5. Disco apoyado en placa|Disco apoyado en placa]]==
El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio <math>R</math>, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math> en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes <math>AX_0Y_0</math>, definido de tal modo que el eje <math>AY_0</math> contiene
permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje <math>AX_0</math> es tangente a dicho disco (sólido “0”).

# Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math>, <math>I_{03}</math>, <math>I_{23}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Utilizando como parámetro el ángulo <math>\theta</math> del dibujo (ángulo que forma el eje <math>AX_0</math> con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}</math>.

<center>[[Archivo:disco-apoyado-caja.png]]</center>

==[[6.6. Disco en manivela ranurada|Disco en manivela ranurada]]==
El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio <math>R</math> y centro <math>C</math> (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>OX_1</math>; y una manivela ranurada <math>OA</math> (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante <math>\Omega</math> alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto <math>O</math> y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje <math>OZ_1</math>). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

# Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del C.I.R. de dicho movimiento {20}.
# Utilizando como parámetro geométrico el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, <math>\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^{\, C} (\theta)\}</math>.
# Clasificar el movimiento {20} en el instante en que <math>\theta=\pi/2</math> especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

<center>[[Archivo:disco-manivela-ranurada.png]]</center>

==[[6.7. Movimiento de dos varillas articuladas|Movimiento de dos varillas articuladas]]==
El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante <math>v</math>, manteniéndose siempre paralela al eje <math>OY_{\! 1}</math> y a una distancia <math>c</math> de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo <math>\theta</math> (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

# Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: <math>\{\vec{\omega}_{\!21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}</math>.
# Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto <math>I_{01}</math>, centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{01}</math> y <math>\vec{a}^{\, O}_{01}</math>.

'''Nota:''' Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>AX_{\! 0}Y_0</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje <math>AX_{0}</math> es colineal con ella.

<center>[[Archivo:Dos-varillas-articuladas.png]]</center>

==[[6.8. Barra horizontal apoyada en disco|Barra horizontal apoyada en disco]]==
El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math>
de la escuadra fija <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto <math>A</math>) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

# Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: <math>\{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}</math>.
# Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto <math>A</math>, es decir: <math>\vec{a}^{A}_{20}</math>.

<center>[[Archivo:barra-apoyada-disco.png]]</center>

==[[6.9. Placa en escuadra rotatoria|Placa en escuadra rotatoria]]==
Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo <math>\theta(t)</math> que forma la barra <math>OX_0</math> con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado <math>L</math>, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.

# En función del ángulo <math>\theta</math>, localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
# En función de <math>\theta</math> y de <math>\dot{\theta}</math>, calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.

<center>[[Archivo:placa-escuadra.png]]</center>

==[[6.10. Engranaje concéntrico|Engranaje concéntrico]]==
Se tiene un engranaje formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio <math>a</math> (sólido “2”) y un anillo exterior estacionario (sólido “1”), de radio <math>b</math>. Entre el disco central y el anillo exterior se encuentra un sistema de dos discos iguales (“3”) y (“4”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por una barra articulada “5”. En un momento dado, el disco central se encuentra girando con velocidad angular <math>\Omega</math> respecto al anillo fijo exterior y los centros de los discos 3 y 4 se encuentran sobre el eje OX1.

# Determine las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{31}</math>, <math>\vec{\omega}_{41}</math> y <math>\vec{\omega}_{51}</math>.
# ¿Qué tipo de movimiento efectúa el disco 3 respecto al 4? ¿Con qué velocidad?

<center>[[Archivo:Engranaje-concentrico.png]]</center>

==[[No Boletín - Aro y varilla con un pasador (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-aro.png|right]]

Sea una varilla rígida (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligada a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O\,</math>, y además se halla articulada en su extremo <math>A\,</math> a un deslizador que recorre un aro fijo (sólido "1") de radio <math>R\,</math> y centro en el punto <math>C\,</math> (de posición <math>\overrightarrow{OC}=R\,\vec{\imath}_1\,</math>).

Se define también la escuadra auxiliar <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0") de la figura, cuyo eje <math>OX_0\,</math> es colineal con la varilla en todo instante, y en cuya base asociada <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0\}\,</math> deberán expresarse todas las magnitudes vectoriales solicitadas en este ejercicio.

Denominando <math>\theta\,</math> al ángulo que forma la varilla con el eje <math>OX_1\,</math> (ver figura), y sabiendo que
<math>\dot{\theta}=\Omega\,\mathrm{(cte)}\,</math>, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{20}\,</math>, <math>I_{01}\,</math> e <math>I_{21}.\,</math>
# Cálculo de las velocidades <math>\vec{v}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{v}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de las aceleraciones <math>\vec{a}^{\,A}_{20}(\theta)\,</math>, <math>\vec{a}^{\,A}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{a}^{\,A}_{21}(\theta).\,</math>
# Cálculo de la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}(\theta)\,</math> y la aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{21}(\theta).\,</math>
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>, es decir, <math>\overrightarrow{
OI_{21}}(\theta).\,</math>

==[[No Boletín - Barra oblicua apoyada en disco (Ex.Dic/11)]]==
[[Archivo:barra-disco.png|right]]

Se tiene un sistema de tres sólidos: una superficie horizontal fija (sólido "1"), una barra (sólido "0") articulada en un punto <math>O\,</math> de la superficie horizontal, y un disco
(sólido "2") de radio <math>R\,</math>. La barra se encuentra apoyada en el disco. El disco rueda sin deslizar sobre el suelo, moviéndose hacia la izquierda, empujando a la barra en su movimiento, de forma que el ángulo <math>\theta(t)\,</math> va aumentando (ver figura). Localice gráficamente las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01.}\,</math>

Suponga que el disco tiene radio <math>R=20\,\mathrm{cm}</math> y que en un instante dado su punto de contacto con el suelo <math>A\,</math> se encuentra a una distancia <math>D=20\,\mathrm{cm}</math> de <math>O\,.</math> En ese momento el ángulo <math>\theta\,</math> crece con derivada <math>\dot{\theta}=0.5\,\mathrm{rad/s}\,.</math> Para ese instante:

# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>, <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> y <math>\vec{\omega}_{01.}\,</math>
# Indique los vectores de posición, respecto al sistema de ejes "1", de los centros instantáneos de rotación.
# Halle la velocidad de deslizamiento del disco respecto a la barra en el punto de contacto <math>P\,.</math>

==[[No Boletín - Cuestión sobre cálculo gráfico del C.I.R. (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:dos-vel.png|right]]

Sea <math>OXY\,</math> el plano director en el movimiento plano de cierto sólido rígido. En el diagrama adjunto se representan las posiciones y velocidades de dos puntos (<math>A\,</math> y <math>B\,</math>) de dicho sólido en un instante dado. La cuadrícula del diagrama es tal que cada celdilla corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de la magnitud representada.

# Determine el vector de posición del centro instantáneo de rotación <math>I.\,</math>
# Calcule la velocidad instantánea del punto del sólido rígido que se halla en <math>O\,</math>

==[[No Boletín - Disco rodando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/12)]]==
[[Archivo:disco-sobre-escuadra.png|right]]

Un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), contenido en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0"), de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\, C}_{20}=v_0\,\vec{\imath}_{0}\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en su punto <math>O\,</math> al origen de coordenadas de la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota con velocidad angular absoluta constante <math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{0}\,\vec{k}_1\,</math> alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. La posición del sistema que se representa en la figura, y a la cual se refieren las siguientes preguntas, corresponde al instante <math>t=t^{*}\,</math>.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la aceleración instantánea <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en figura).
# ¿En qué caso particular el movimiento {21} es una traslación?

==[[No Boletín - Disco rueda sin deslizar sobre triángulo (Ex.Feb/17)]]==
[[Archivo:triangulo-disco.png|right]]
El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1"), está constituido por un triángulo <math>ABC\,</math> (sólido "2") que desliza sobre el eje <math>O_1X_1\,</math>, manteniendo su lado <math>AC\,</math> completo en contacto con dicho eje; y por un disco (sólido "0"), de centro <math>O\,</math>, que rueda sin deslizar sobre el lado <math>AB\,</math> del triángulo, y a la vez rueda y desliza sobre el eje <math>O_1Y_1\,</math>.

¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>?

<math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{01}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{01}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{01}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{01}\equiv D</math>

==[[No Boletín - Disco y varilla con un pasador (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:varilla-disco-pasador.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_{1}Y_{1}\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2") y una varilla de grosor despreciable y longitud indefinida (sólido "0"). El
disco "2" rueda y desliza sobre el eje <math>OX_{1}\,</math> de tal modo que su centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante en el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>v\,</math> una constante positiva conocida), mientras que en cada instante el punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OX_{1}\,</math> tiene velocidad instantánea <math>\vec{v}^{\, A}_{21}=2\,v\,\vec{\imath}_1\,</math>. Al mismo tiempo, la varilla "0", que tiene un extremo articulado al centro <math>C\,</math> del disco "2", se ve obligada a deslizar por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto <math>O\,</math> del sólido "1".

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Determine:

# Todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>O\,</math>, es decir: {{qquad}}{{qquad}} <math>\{\vec{\omega}_{21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}\,</math> y <math>\,\{\vec{\omega}_{01};\,\vec{v}^{\, O}_{01}\}\,</math>.
# Las posiciones de los tres centros instantáneos de rotación: {{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}} <math>I_{21}\,</math> (analíticamente), <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{01}\,</math> (gráficamente).
# Las aceleraciones <math>\vec{a}^{A}_{21}\,</math> y <math>\vec{a}^{I_{21}}_{21}\,</math>.

'''Nota:''' Para responder al primer apartado, se recomienda trabajar en la base vectorial asociada al sistema de ejes <math>CX_{0}Y_0\,</math> de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla "0" y cuyo eje <math>CX_{0}\,</math> es colineal con ella.

==[[No Boletín - Disco y varilla guiada (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:disco-varilla-guiada.png|right]]

El mecanismo de la figura está formado por un disco rígido (sólido "2") de radio <math>R\,</math>, que rueda sin deslizar (punto <math>D\,</math>) sobre el eje horizontal <math>OX_1\,</math> de la escuadra fija <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), y cuyo centro <math>C\,</math> avanza con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=v\,\vec{\imath}_1\,</math>; y por una varilla rígida (sólido "0") de grosor despreciable y longitud indefinida, la cual rueda sin deslizar (punto <math>B\,</math>) sobre el citado disco, mientras que su
extremo <math>A\,</math> está obligado a recorrer una guía horizontal fija de ecuación <math>y_{1}=R\,</math>.

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del mecanismo, se define el ángulo <math>\theta\,</math> de la figura. Se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{02}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta);\,\vec{v}^{\,B}_{21}(\theta)\}\,</math>.
# Reducción cinemática del movimiento <math>\{01\}\,</math> en el punto <math>A\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta);\,\vec{v}^{\,A}_{01}(\theta)\}\,</math>.
# Determinación analítica de la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{01}\,</math>, es decir,<math>\overrightarrow{AI_{01}}(\theta)\,</math>.

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\theta\,</math>, <math>R\,</math> y/o <math>v\,</math>, pero NO en función de <math>\dot{\theta}\,</math>.

==[[No Boletín - Disco y varilla sobre un escalón (Ex.Jun/13)]]==
[[Archivo:varilla-disco-escalon.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano <math>OX_{1}Y_{1}\,</math>, está constituido por un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "0") y una varilla de longitud indefinida (sólido "2"), ambos vinculados y moviéndose sobre un escalón (sólido "1"). El disco rueda sin deslizar sobre la parte superior del escalón (eje <math>OX_{1}\,</math>), mientras que su centro <math>C\,</math> avanza con una velocidad linealmente creciente con el tiempo <math>\vec{v}^{\, C}_{01}(t)=at\,\vec{\imath}_1\,</math> (siendo <math>a\,</math> una constante positiva conocida). La varilla tiene uno de sus extremos articulado al centro <math>C\,</math> del disco, y se mantiene apoyada en todo instante sobre el borde del escalón (punto <math>O\,</math>).

Como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se define en la figura el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la varilla con respecto al eje <math>OX_{1}\,</math>. Para un instante genérico <math>t\,</math>, determine:

# Posición gráfica de los centros instantáneos de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}.
# Aceleración <math>\vec{a}^{D}_{01}\,</math> del punto del disco en contacto con la parte superior del escalón.
# Velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> del punto de la varilla en contacto con el borde del escalón, velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> de la varilla respecto al disco, y aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> de la varilla.

==[[No Boletín - Dos discos (Ex.Feb/14)]]==
[[Archivo:dos-discos.png|right]]

El disco móvil de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro <math>O\,</math> y radio <math>2R\,</math> (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,</math> (ver figura).

# ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{21}\,</math>
# Determine la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>

==[[No Boletín - Dos discos II (Ex.Ene/15)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el disco anterior a la vez que se mantiene en contacto tangente con el eje <math>OY\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, B}_{21}\times\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{21}\cdot\vec{\jmath}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{21}\equiv E\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{21}\equiv F\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{21}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{21}\equiv H</math></center>

==[[No Boletín - Dos discos III (Ex.Ene/20)]]==
[[Archivo:discos-grande-chico-red.png|right]]

El sistema mecánico de la figura, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OXY\,</math> (sólido "1"), está constituido por un disco de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "0") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX\,</math>, y por otro disco de centro <math>B\,</math> y radio <math>r\,</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el eje <math>OY\,</math> a la vez que se mantiene en contacto tangente con el disco anterior.

# ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\vec{v}^{\, D}_{21}=\vec{v}^{\, D}_{20}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}\cdot\overrightarrow{AB}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,\vec{v}^{\, E}_{02}=\vec{v}^{\, E}_{01}</math></center>
# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>? <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,I_{20}\equiv C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(b)}\,\,\,I_{20}\equiv H\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(c)}\,\,\,I_{20}\equiv G\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(d)}\,\,\,I_{20}\equiv F</math></center>

==[[No Boletín - Dos discos y dos barras (Ex.Ene/19)]]==
[[Archivo:dos-discos-dos-barras.png|right]]

El sistema mecánico de la figura está constituido por cuatro sólidos móviles (las barras "0" y "4", y los discos "2" y "3"), los cuales se mantienen siempre contenidos en el plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). El disco "2", de radio <math>R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>B\,</math>. El disco "3", de radio <math>2R\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>2\,\omega\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor de su centro fijo <math>E\,</math>. Las barras "0" y "4", de longitudes indefinidas, experimentan sendas traslaciones verticales respecto al plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> al ser arrastradas respectivamente por las rotaciones de los discos con los que mantienen contacto permanente, ya que el disco "2" rueda sin deslizar sobre la barra "0", y el disco "3" rueda sin deslizar sobre la barra "4".

# ¿Con qué velocidades se trasladan las barras?
# ¿Cómo se clasifica el movimiento <math>\{23\}\,</math>?
# ¿Dónde está el centro instantáneo de rotación <math>I_{42}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración del punto <math>C\,</math> de contacto entre ambos discos en el movimiento <math>\{32\}\,</math>?

==[[No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)]]==
[[Archivo:varilla-varilla.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud <math>\,2a,\,</math> y contenidas siempre en el plano fijo <math>\,OXY\,</math> (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro <math>\,C(a,0)\,</math> y la segunda en su extremo <math>\,O(0,0).\,</math> Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla <math>\,OD\,</math> posee una
acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo <math>\,A\,</math> de la varilla <math>\,AB.\,</math> Se utiliza el ángulo <math>\,\theta ,\,</math> formado por la varilla <math>\,AB\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> como parámetro descriptivo del movimiento del
sistema.

'''Nota:''' Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> de la figura, se puede determinar (en función de <math>\,\theta\,</math>) el ángulo formado por la varilla <math>\,OD\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,\, O} _{20}\,</math>
# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\,\{20\}\,</math>

==[[No Boletín - Eje con un disco por encima y otro por debajo (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:biciclo.png|right]]

Los sólidos "2" y "0" son dos discos de radio <math>R\,</math> vinculados entre sí al hallarse sus centros articulados, respectivamente, a los dos extremos de la varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "3"). Ambos discos están rodando sin deslizar sobre un eje horizontal
(sólido "1") simultánea y permanentemente, aunque -tal como muestra la figura- el disco "2" lo está haciendo por encima del eje, mientras que el disco "0" lo está haciendo por debajo del mismo.

# ¿Dónde se halla el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math>?
# ¿Qué tipo de movimiento es el {31}?

==[[No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)]]==
[[Archivo:ranurada-horizontal.png|right]]

El plano fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante <math>v_0\,</math>; y la manivela <math>OC\,</math> (sólido "2") de longitud <math>L\,</math>, que rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math>. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo <math>C\,</math> de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo <math>\theta\,</math> definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

# Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{20}.\,</math>
# Reducciones cinemáticas de los movimientos <math>\{01\}\,</math>, <math>\{20\}\,</math> y <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>C.\,</math>
# Determinación de la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math>, las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math>, y la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}.\,</math>

'''Aviso:''' Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de <math>\,\theta\,</math>, <math>L\,\,</math> y/o <math>\,v_0\,</math>, pero NO en función de <math>\,\dot{\theta}\,\,</math> ni de <math>\,\ddot{\theta}.\,</math>

==[[No Boletín - Placa cuadrada deslizando sobre escuadra giratoria (Ex.Ene/18)]]==
[[Archivo:cuadrado-en-rampa.png|right]]
Una placa cuadrada (sólido "2"), contenida en el plano <math>OX_0Y_0\,</math>, desliza sobre el eje <math>OX_0\,</math> (sólido "0") con velocidad relativa constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{20}(t)=v\,\vec{\imath}_0\,</math>. Al mismo tiempo, la escuadra <math>OX_0Y_0\,</math> (sólido "0"), articulada en el punto <math>O\,</math> a la escuadra fija y coplanaria <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"), rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1\,</math> con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_1\,</math>.

# Determine el vector de posición del C.I.R. del movimiento <math>\{21\}\,</math>.
# Determine la aceleración del punto <math>O\,</math> en el movimiento <math>\{21\}\,</math>.

==[[No Boletín - Placa cuadrada que empuja a un disco (Ex.Sep/14)]]==
[[Archivo:placa-disco.png|right]]

El sistema de la figura está constituido por tres sólidos rígidos: la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"); una placa cuadrada (sólido "0") que se traslada con velocidad constante <math>\vec{v}^{\,\mathrm{tras}}_{01}(t)=v_0\,\vec{\imath}\,</math> y cuyo lado inferior está completamente en contacto con el eje <math>OX\,</math>; y un disco (sólido "2"), de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}(t)=-\omega\,\vec{k}\,</math>, y que en todo instante mantiene contacto puntual con el eje <math>OX\,</math> (punto <math>A\,</math>) y con la placa cuadrada que lo empuja (punto <math>B\,</math>).

# ¿Cuánto vale la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{A}_{21}\,\,</math>?
# ¿Y la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{20}\,\,</math>?
# ¿Dónde se halla situado el centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,\,</math>?

==[[No Boletín - Punto de aceleración nula (Ex.Feb/17)]]==
Considérese un sólido rígido que realiza un movimiento plano arbitrario pero con una velocidad angular <math>\vec{\omega}\,</math> constante en el tiempo y no nula. Sea <math>A\,</math> un punto cualquiera del sólido en el plano director (con velocidad <math>\vec{v}_{A}\,</math> y aceleración <math>\vec{a}_{A}\,</math>). Entonces, se puede comprobar que dicho sólido tiene en el plano director un punto <math>H\,</math> cuya aceleración es nula (<math>\vec{a}_{H}=\vec{0}\,</math>).

Determine el vector <math>\overrightarrow{AH}\,</math> que define la posición del punto de aceleración nula respecto al punto <math>A\,</math>.

==[[No Boletín - Varilla cuyos dos extremos deslizan (Ex.Dic/12)]]==
[[Archivo:escalera-wiki.png|right]]

La varilla <math>AB\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, realiza un movimiento plano respecto a la escuadra fija <math>OXY\,</math> (sólido "1"). Los extremos de dicha varilla se encuentran articulados a sendos deslizadores, de tal modo que <math>A\,</math> está obligado a moverse a lo largo del eje <math>OX\,</math>, mientras que <math>B\,</math> está obligado a moverse a lo largo del
eje <math>OY\,</math>.

# ¿Dónde está el C.I.R.{21} cuando la posición de la varilla es la representada en la figura?
# Para la ley horaria <math>\theta=\Omega\,t\,</math> (siendo <math>\Omega\,</math> constante), ¿son nulas la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> y/o la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{21}\,</math>?

==[[No Boletín - Varilla ortogonal en manivela (Ex.Ene/13)]]==
[[Archivo:manivela-varilla.png|right]]

El plano vertical fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos rígidos en movimiento
vinculados entre sí: la manivela ranurada <math>OA\,</math> (sólido "0"), que realiza una rotación de eje permanente alrededor de <math>OZ_1\,</math>; y la varilla <math>BD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R\,</math>, la cual se mantiene siempre perpendicular a la manivela <math>OA\,</math> mientras su centro <math>C\,</math> recorre la ranura de la misma y su extremo <math>B\,</math> se apoya y desliza sobre el eje <math>OX_1\,</math> permanentemente.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la manivela <math>OA\,</math> con respecto al eje <math>OX_1\,</math> (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{01}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>.
# Calcular todas las reducciones cinemáticas en el punto <math>B\,</math>, es decir, <math>\{\vec{\omega}_{01}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{01}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\,
B}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta});\,\vec{v}^{\, B}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}\,</math>.
# Determinar analíticamente la posición de <math>I_{21}\,</math> (en función de <math>\theta\,</math>).


[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)|0]]
[[Categoría:Movimiento plano (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de Física I (G.I.T.I.)|7]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:22:38 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times\left[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:17:21 GMT

Enrique: /* Aceleración instantánea {21} del punto B */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times\left[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:12:55 GMT

Enrique: /* Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:10:51 GMT

Enrique: /* Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:09:16 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:07:59 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:07:40 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera pregunta que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:05:41 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:03:09 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}, que son la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:02:31 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (nótese que la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 11:01:48 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:59:13 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para la velocidad angular {20} es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:56:50 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para la velocidad angular de rodadura {20} es la única compatible con el hecho de que el disco permanece contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:56:14 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la del punto <math>A\,</math> de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math> (nula al no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para la velocidad angular de rodadura {20} es la única compatible con el hecho de que el disco permanece contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:54:02 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la de su punto <math>A\,</math> de contacto con el eje <math>OZ_0\,</math> (nula al no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para la velocidad angular de rodadura {20} es la única compatible con el hecho de que el disco permanece contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:52:20 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
En cuanto al movimiento {20}, conocemos dos velocidades: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la de su punto <math>A\,</math> de contacto con el eje <math>OZ_0\,</math> (nula al no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para la velocidad angular de rodadura {20} es la única compatible con el hecho de que el disco permanece contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:51:12 GMT

Enrique: /* Eje instantáneo de rotación del movimiento {20} */

==Enunciado==
[[Archivo:disco-puerta-2.png|right]]

Mediante un par de revolución, el plano <math>OX_0Z_0\,</math> (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math> en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante <math>\omega\,</math>, de forma que el eje <math>OX_0\,</math> permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro <math>C\,</math> y radio <math>R\,</math>, contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>, rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>OZ_0\,</math>, moviéndose su centro <math>C\,</math> con velocidad relativa <math>\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\,</math> (donde <math>v\,</math> es una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo <math>A\,</math> el punto de contacto entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>, y siendo <math>B\,</math> el punto del disco diametralmente opuesto al punto <math>A\,</math>.

# ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>?
# ¿Cuánto vale la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>?

==Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}==
En cuanto al movimiento {20}, conocemos dos velocidades: la del centro <math>C\,</math> del disco (dato del enunciado) y la de su punto <math>A\,</math> de contacto con el eje <math>OZ_0\,</math> (nula al no existir deslizamiento entre el disco y el eje <math>OZ_0\,</math>). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,</math> (la dirección propuesta para la velocidad angular de rodadura {20} es la única compatible con la afirmación de que el disco permanece contenido en todo instante en el plano <math>OX_0Z_0\,</math>):
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0
\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Nótese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje <math>OZ_0\,</math> de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos ya afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math> pasa por el punto <math>A\,</math> (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje <math>OY_0\,</math> (dirección de la velocidad angular {20}).

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math>, asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto <math>A\,</math>) y del movimiento {20} (en el punto <math>C\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>A\,</math> pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} del punto B==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades <math>\vec{v}^{\, B}_{20}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, B}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>B\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)
</math></center>

==Aceleración instantánea {21} del punto B==
Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math></center>
Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:21:28 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

Los teoremas de la energía cinética (T.E.C.), de la energía mecánica (T.E.M.) y del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de estas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{llrll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P(t)=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}(t)}\,\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}(t)}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K(t)\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}(t)=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E(t)\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B(t)=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B(t)\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:19:07 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

Los teoremas de la energía cinética (T.E.C.), de la energía mecánica (T.E.M.) y del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de estas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{llrll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P(t)=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}(t)}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}(t)}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K(t)\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}(t)=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E(t)\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B(t)=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B(t)\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:10:31 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

Los teoremas de la energía cinética (T.E.C.), de la energía mecánica (T.E.M.) y del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de estas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{llrll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:09:31 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de estas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{llrll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:03:34 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{llrll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, vamos a comprobar que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:02:44 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{llrll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:01:59 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{lllll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\,\forall t\,) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\mathrm{si}\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\,\forall t\,)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 10:00:28 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{lllll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\,\,\mathrm{si}\,\,\,\,\, & P(t)=0\,\,\,\,(\forall t) \\ \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\,\,\mathrm{si}\,\,\,\,\, & P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\forall t) \\ \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte} & \,\,\,\,\,\mathrm{si}\,\,\,\,\, & \overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\forall t)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:59:22 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:
<center><math>
\begin{array}{lll}
\mathrm{T.C.E.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & K(t)=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\mathrm{si}\,\,\,\,\,P(t)=0\,\,\,\,(\forall t) \\
\mathrm{T.C.E.M.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & E(t)=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\mathrm{si}\,\,\,\,\,P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\forall t) \\
\mathrm{T.C.M.C.} & \,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{L}_B(t)=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\mathrm{si}\,\,\,\,\,\overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\forall t)
\end{array}
</math></center>

Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:53:04 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:

T.C.E.C.<math>\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,K(t)=\mathrm{cte}\,\,\,\,</math> si <math>\,\,\,P(t)=0\,\,\,\,(\forall t)\,</math>

T.C.E.M.<math>\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,E(t)=\mathrm{cte}\,\,\,\,</math> si <math>\,\,\,P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\forall t)\,</math>

T.C.M.C.<math>\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{L}_B(t)=\mathrm{cte}\,\,\,\,</math> si <math>\,\,\,\overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\forall t)\,</math>

Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:51:29 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación:

T.C.E.C.<math>\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,K(t)=\mathrm{cte}\,</math> si <math>P(t)=0\,\,\,\,(\forall t)\,</math>

T.C.E.M.<math>\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,E(t)=\mathrm{cte}\,</math> si <math>P_{\mathrm{NC}}(t)=0\,\,\,\,(\forall t)\,</math>

T.C.M.C.<math>\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{L}_B(t)=\mathrm{cte}\,</math> si <math>\overrightarrow{M}_B(t)=\vec{0}\,\,\,\,(\forall t)\,</math>

Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:41:46 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos tres teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación: <math>K\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P\,</math> fuese nula en todo instante, <math>E\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> fuese nula en todo instante, y <math>\vec{L}_B\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuese nulo en todo instante. Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:31:32 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la misma, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> de las fuerzas actuantes:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación: <math>K\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P\,</math> fuese nula en todo instante, <math>E\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> fuese nula en todo instante, y <math>\vec{L}_B\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuese nulo en todo instante. Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:22:02 GMT

Enrique: /* Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la partícula, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> (respecto al punto B) de las fuerzas actuantes sobre la partícula:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación: <math>K\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P\,</math> fuese nula en todo instante, <math>E\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> fuese nula en todo instante, y <math>\vec{L}_B\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuese nulo en todo instante. Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 09:14:31 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta} \end{array}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta} \end{array}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la partícula, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> (respecto al punto B) de las fuerzas actuantes sobre la partícula:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación: <math>K\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P\,</math> fuese nula en todo instante, <math>E\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> fuese nula en todo instante, y <math>\vec{L}_B\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuese nulo en todo instante. Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\,\vec{F}_k\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}\,}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\,\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k\,}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]

No Boletín - Partícula en varilla ranurada móvil (Ex.Ene/20)

Enrique — Sun, 16 Feb 2020 01:22:31 GMT

Enrique: /* ¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta? */

==Enunciado==
[[Archivo:bola-en-ranura.png|right]]
La varilla <math>OA\,</math> , ranurada longitudinalmente y contenida en el plano horizontal <math>OXY\,</math>, rota alrededor del eje fijo <math>OZ\,</math> de tal modo que el ángulo que forma la misma con el eje <math>OX\,</math> viene dado en función del tiempo por la expresión <math>\,\theta=\Omega\, t\,</math> (donde <math>\,\Omega\,</math> es una constante conocida). Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se encuentra confinada en la ranura de la citada varilla, pudiendo deslizar sin rozamiento a lo largo de ella, y estando sometida a la acción de un resorte elástico (de constante <math>k\,</math> y longitud natural nula) con anclaje en el punto fijo <math>B(b,0,0)\,</math>. En la figura se definen las coordenadas polares <math>\{\rho,\theta\}\,</math> de la partícula <math>P\,</math> , así como la base ortonormal <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> asociada a las mismas. En lo que sigue, denominaremos <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math> , respectivamente, a la velocidad y a la aceleración de la partícula <math>P\,</math> respecto al triedro fijo <math>OXYZ\,</math>.

Nota: Obsérvese que la varilla <math>OA\,</math> constituye un vínculo liso y reónomo sobre la partícula <math>P\,</math>.

# ¿Cuál de las siguientes condiciones ha de ser verificada en todo instante por la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> que ejerce la varilla <math>OA\,</math> sobre la partícula <math>P\,</math> ? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\rho}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,\vec{\Phi}\times\vec{a}=\vec{0}</math></center>
# Proyectando la segunda ley de Newton sobre la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> , deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la función <math>\rho(t)\,</math> que da la coordenada radial de la partícula <math>P\,</math> en cada instante.
# ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas conserva su valor constante durante el movimiento de la partícula? <center><math>\mathrm{(1)}\,\,\,\mathrm{ninguna}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{las}\,\,\mathrm{otras}\,\,\mathrm{tres}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(2)}\,\,\,(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP}\,)/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(3)}\,\,\,\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(4)}\,\,\,m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2</math></center>

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y fuerza vincular==
[[Archivo:sol-bola-en-ranura.png|right]]

El movimiento tiene lugar en un plano horizontal y, en consecuencia, no hay que considerar efecto gravitatorio. Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (la fuerza elástica <math>\,\vec{F}_k\,</math> ejercida por el resorte) y otra de tipo vincular (la fuerza <math>\,\vec{\Phi}\,</math> ejercida por la varilla ranurada).

Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la ranura de la varilla no tiene la capacidad de ejercer fuerzas tangenciales a su propia dirección. Por tanto, la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular a la dirección radial <math>\vec{u}_{\rho}\,</math> de la ranura en la que se encuentra confinada la partícula, debiendo satisfacer en todo instante la condición:
<center><math>
\mathrm{vinculo}\,\,\mathrm{liso}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\mathrm{vinculo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\perp\vec{u}_{\rho} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\Phi}\,\cdot\,\vec{u}_{\rho}= 0
</math></center>

Así que la opción (3) es la respuesta correcta a la primera pregunta del ejercicio.

Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{F}_k=-\,k\,\overrightarrow{BP}=-\,k\,\{[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)]\,\vec{u}_{\rho}\,+\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\vec{u}_{\theta}\}= \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}\right.
</math></center>
La velocidad y la aceleración de la partícula expresadas en la base polar vienen dadas en general por:
<center><math>
\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta} \end{array}
</math></center>
pero al particularizar, teniendo en cuenta la ecuación del vínculo: {{qquad}} <math>\,\,\theta=\Omega\, t\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\theta}=0\,</math> ,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<center><math>
\begin{array}{l} \,\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\rho\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\Omega^2\rho)\,\vec{u}_{\rho}+2\,\Omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta} \end{array}
</math></center>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>\vec{F}_k+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} -\,k\,[\,\rho\,-\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)\,]=m(\,\ddot{\rho}-\Omega^2\rho\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\
-\,k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)+\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (1) nos proporciona la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\rho(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,m\,\ddot{\rho}+(k-m\,\Omega^2)\rho=k\,b\,\mathrm{cos}(\Omega\, t)
</math></center>
que constituye la respuesta a la segunda pregunta del ejercicio.

La fuerza vincular que ejerce la varilla ranurada sobre la partícula se obtiene despejando <math>\,\Phi\,\,</math> en la ecuación (2) y sustituyendo en la expresión vectorial de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\Phi=2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t) \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\Phi}=\left[\,2\,m\,\Omega\,\dot{\rho}+k\,b\,\mathrm{sen}(\Omega\, t)\,\right] \,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

Volviendo a la primera pregunta del ejercicio, cabe señalar que, una vez determinadas las expresiones de <math>\,\vec{\Phi}\,</math>, <math>\,\vec{v}\,</math> y <math>\,\vec{a}\,</math> en la base polar, resulta trivial comprobar analíticamente que las respuestas (1), (2) y (4) son falsas:
<center><math>
\vec{\Phi}\cdot\vec{u}_{\theta}=\Phi\neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi \neq 0 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\Phi}\times\vec{a}=\Phi\, (\Omega^2\rho-\ddot{\rho})\,\vec{k}\neq\vec{0}
</math></center>

Además, dado que las igualdades expresadas en las respuestas (1), (2) y (4) corresponden geométricamente a ciertas condiciones de ortogonalidad o paralelismo entre vectores, también es posible su descarte inspeccionando la figura que acompaña a la presente solución. En efecto, en dicha figura se observa que la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no es perpendicular a la dirección acimutal <math>\vec{u}_{\theta}\,</math>, ni perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}\,</math>, ni paralela a la aceleración <math>\vec{a}\,</math>. Nótese que, en coherencia con la segunda ley de Newton, la aceleración se ha representado en la citada figura con la misma dirección y sentido que la resultante de las fuerzas actuantes sobre la partícula.

==¿Conserva su valor constante alguna de las magnitudes propuestas en la tercera pregunta?==

Para responder la última pregunta del ejercicio, lo primero que hacemos es identificar las magnitudes físicas propuestas. Se trata de la energía cinética <math>K\,</math> en la opción (4), la energía mecánica <math>E\,</math> en la opción (2), y el momento cinético <math>\vec{L}_B\,</math> en la opción (3):
<center><math>
K=m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
E=K+\, U=(m\,\vec{v}\,\cdot\,\vec{v}\,+\,k\,\overrightarrow{BP}\,\cdot\,\overrightarrow{BP})/2 \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{L}_B=\overrightarrow{BP}\,\times\, m\,\vec{v}
</math></center>

El teorema de la energía cinética (T.E.C.), el teorema de la energía mecánica (T.E.M.) y el teorema del momento cinético (T.M.C.) establecen que las derivadas temporales de dichas magnitudes son iguales, respectivamente, a la potencia instantánea <math>P\,</math> desarrollada sobre la partícula, a la potencia instantánea no conservativa <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> desarrollada sobre la partícula, y al momento resultante <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> (respecto al punto B) de las fuerzas actuantes sobre la partícula:
<center><math>
\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.C.)}\,\,;
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=P_{\mathrm{NC}}\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.E.M.)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_B}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}_B\,\,\,\,\,\,\mathrm{(T.M.C.)}
</math></center>

A partir de estos teoremas, se deducen los correspondientes teoremas de conservación: <math>K\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P\,</math> fuese nula en todo instante, <math>E\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>P_{\mathrm{NC}}\,</math> fuese nula en todo instante, y <math>\vec{L}_B\,</math> sería constante durante el movimiento si <math>\overrightarrow{M}_B\,</math> fuese nulo en todo instante. Sin embargo, comprobaremos a continuación que ninguna de las tres magnitudes propuestas se conserva constante en el presente ejercicio.

En primer lugar, la energía cinética de la partícula no es constante en el tiempo porque tanto la fuerza elástica (conservativa) como la fuerza vincular (no conservativa) desarrollan potencia sobre la partícula:
<center><math>
P=\underbrace{\vec{F}_k\cdot\vec{v}}_{\displaystyle P_{\mathrm{C}}}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot\vec{v}}_{\displaystyle P_{\mathrm{NC}}}\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
</math></center>
Que la fuerza elástica trabaja (desarrolla potencia) es evidente porque la elongación del resorte va variando a lo largo del movimiento de la partícula. El hecho de que la fuerza vincular también trabaje se debe al carácter móvil (reónomo) del vínculo, que es la causa de que la velocidad de la partícula tenga una componente de arrastre en la dirección de la propia fuerza vincular (cosa que no ocurre en los vínculos fijos o esclerónomos). Es frecuente el error de creer que todos los vínculos lisos no trabajan. La realidad es que los lisos esclerónomos no trabajan, pero los lisos reónomos sí trabajan.

En segundo lugar, la energía mecánica de la partícula tampoco se conserva constante, ya que, tal como hemos comentado, la fuerza vincular desarrolla potencia no conservativa sobre la partícula:
<center><math>
P_{\mathrm{NC}}=\vec{\Phi}\cdot\vec{v}=\Omega\,\rho\,\Phi\neq 0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,E\neq\mathrm{cte}
</math></center>

Por último, el momento cinético de la partícula respecto al punto B tampoco se conserva constante en el tiempo. Aunque la fuerza elástica es central con centro en B, la fuerza vincular no lo es, y esto provoca que el momento resultante de fuerzas respecto al punto B sea distinto de cero:
<center><math>
\overrightarrow{M}_B=\underbrace{\overrightarrow{BP}\times\vec{F}_k}_{\displaystyle =\,\vec{0}}\,+\,\,\overrightarrow{BP}\times\vec{\Phi}\neq \vec{0}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{L}_B\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
</math></center>

Así, pues, llegamos a la conclusión anunciada de que ninguna de las tres magnitudes propuestas en la tercera pregunta del ejercicio se conserva constante durante el movimiento de la partícula, y en consecuencia la respuesta correcta a dicha pregunta es la opción (1): "ninguna de las otras tres".

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