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Espira parcialmente inmersa en un campo magnético

Antonio — Fri, 21 May 2021 18:41:07 GMT

Antonio: /* Caso |x| > a */

==Enunciado==
El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>
==Caso x <0==
En general, cuando una espira está parcialmente inmersa en un campo magnético uniforme, la fueza sobre ella viene dada por

<center><math>\vec{F}=I\,\overrightarrow{PQ}\times \vec{B}</math></center>

siendo <math>\overrightarrow{PQ}</math> el vector que va desde el punto donde entra la corriente al punto donde sale.

Cuando x < 0, es decir, cuando el centro de la espira aun no ha penetrado en el campo magnético, este vector es igual a la base del triángulo que tiene su vértice en el extremo de la derecha. Por ser los ángulos de 45°, la longitud de esta base es el doble de la altura correspondiente, que a su vez mide <math>a-|x|</math> (con valor absoluto porque x es negativo). Por tanto,

<center><math>\vec{F}=I(2(a-|x|)\vec{\jmath}))\times (B_0\vec{k})=2I(a-|x|)B_0\vec{\imath}</math></center>

==Caso x > 0==
En este caso el razonamiento es idéntico, salvo que ahora la distancia PQ es la base del triángulo opuesto, formado con el vértice más a la izquierda. La base de este triángulo mide también <math>2(a-|x|)</math>, por lo que la fuerza es, como en el caso anterior

<center><math>\vec{F}=I(2(a-|x|)\vec{\jmath}))\times (B_0\vec{k})=2I(a-|x|)B_0\vec{\imath}</math></center>

==Caso |x| > a==
Tanto si la espira no ha llegado a penetrar como si está completamente dentro del campo magnético uniforme, la fuerza magnética es nula.

<center><math>\vec{F}=\vec{0}</math></center>

Reuniendo los resultados, queda la fuerza magnética

<center><math>\vec{F}=\begin{cases}2I(a-|x|)B_0\vec{\imath} & (|x|\leq a) \\
\vec{0}&(|x|>a)\end{cases}</math></center>

Gráficamente, queda en la forma:

<center>[[Archivo:F-espira-parcial.png|400px]]</center>

Problemas de campos magnéticos (GIOI)

Antonio — Thu, 20 May 2021 11:57:16 GMT

Antonio: /* Fuerza entre un hilo rectilíneo y una espira rectangular */

==Espira parcialmente inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0 \vec{k}</math> en el semiespacio <math>x>0</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que su centro se halla en <math>\overrightarrow{OC}=x\vec{\imath}</math> (''x'' puede ser tanto negativo como positivo). Por la espira circula una intensidad de corriente ''I''. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira, así como la fuerza neta (distínga los casos necesarios en ''x'').
<center>[[Archivo:espira-parcial-campo.png|400px]]</center>

[[Espira parcialmente inmersa en un campo magnético|'''Solución''']]

==Espira doble inmersa en un campo magnético==
{{nivel|2}} Se tiene una espira doble cuyas dimensiones son las de la figura. Todas las varillas están hechas del mismo material con la misma sección. La espira está sumergida una distancia x en un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=100\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. El lado derecho de la espira es paralelo a la región ocupada por el campo magnético. Se sabe que por este lado circula una intensidad de corriente de 4 A. Calcule la fuerza magnética sobre la espira, como función de la distancia de penetración, ''x''.

<center>[[Archivo:espira-doble-campo.png|400px]]</center>
[[Espira doble inmersa en un campo magnético|'''Solución''']]

==Espira girada dentro de un campo magnético==
{{nivel|2}} Una espira rectangular ABCD se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}\,(\mathrm{mT})</math>. Los vértices de la espira se encuentran en
<center><math>\vec{r}_A=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad\vec{r}_B=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad\qquad \vec{r}_C=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad\qquad\vec{r}_D=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center>
(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.
# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley <math>\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math>
# Calcule el momento magnético de la espira <math>\vec{m}=IS\vec{n}</math> y compruebe que <math>\vec{M}_G=\vec{m}\times\vec{B}</math>

[[Espira girada dentro de un campo magnético|'''Solución''']]

==Campo magnético debido a un segmento==
{{nivel|3}} Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en <math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath} </math>y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde <math>\overrightarrow{OA}=z_1 \vec{k}</math> a <math>\overrightarrow{OB}=z_2 \vec{k}</math> (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

[[Campo magnético debido a un segmento|'''Solución''']]

==Campo magnético debido a un hilo infinito==
{{nivel|1}} A partir del resultado del problema “[[Campo magnético debido a un segmento]]” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una corriente <math>I_0</math> en el sentido del eje OZ positivo.

[[Campo magnético debido a un hilo infinito|'''Solución''']]

==Campo magnético debido a dos hilos paralelos==
{{nivel|3}} Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje OZ, situados sobre x=±a, y=0. Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano x=0, y en todos los puntos del plano y=0 en los dos casos siguientes:
# Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
# Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.
# Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math> <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math> , ¿cuánto vale el campo magnético en el origen de coordenadas para los dos casos anteriores?
# ¿Cuánto vale la fuerza magnética que uno de los hilos ejerce sobre una porción de longitud ℓ del otro?

[[Campo magnético debido a dos hilos paralelos|'''Solución''']]

==Gráfica del campo magnético de dos hilos paralelos==
{{nivel|1}} Para un sistema de dos hilos paralelos de gran longitud situados en <math>x=\pm 5\,\mathrm{cm} </math>el campo magnético en los puntos de OX es de la forma <math>\vec{B}=B(x) \vec{\jmath}</math> Indique cuál de las cuatro figuras siguientes corresponde a la gráfica de <math>B(x)</math> en los casos siguientes:
* Dos corrientes paralelas (en el mismo sentido) de valor <math>I_1=I_2=5\,\mathrm{A}</math>.
* Dos corrientes antiparalelas (en sentido opuesto) de valor <math>I_1=I_2=5\,\mathrm{A}</math>.
* Dos corrientes paralelas de valores <math>I_1=8\,\mathrm{A}</math>, <math>I_2=2\,\mathrm{A}</math>
* Dos corrientes antiparalelas de valores <math>I_1=8\,\mathrm{A}</math>, <math>I_2=2\,\mathrm{A}</math>

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:graf-campoB-01.png|400px]]
| [[Archivo:graf-campoB-02.png|400px]]
|-
| (a)
| (b)
|-
| [[Archivo:graf-campoB-03.png|400px]]
| [[Archivo:graf-campoB-04.png|400px]]
|-
| (c)
| (d)
|}

Para este sistema de dos hilos, ¿en qué punto se anula el campo magnético, para <math>I_1</math> e <math>I_2</math> cualesquiera?

[[Gráfica del campo magnético de dos hilos paralelos|'''Solución''']]

==Mapa del campo magnético de dos hilos paralelos==
{{nivel|1}} Para un sistema de dos hilos paralelos de gran longitud situados en x=±5\,cm el campo magnético en el plano OXY tiene una cierta distribución de líneas de campo. Indique cuál de las cuatro figuras siguientes corresponde a la gráfica de B(x) en los casos siguientes:
* Dos corrientes paralelas (en el mismo sentido) de valor <math>I_1=I_2=5\,\mathrm{A}</math>.
* Dos corrientes antiparalelas (en sentido opuesto) de valor <math>I_1=I_2=5\,\mathrm{A}</math>.
* Dos corrientes paralelas de valores <math>I_1=5\,\mathrm{A}</math>, <math>I_2=3\,\mathrm{A}</math>
* Dos corrientes antiparalelas de valores <math>I_1=5\,\mathrm{A}</math>, <math>I_2=3\,\mathrm{A}</math>

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:mapa-campoB-01.png|400px]]
| [[Archivo:mapa-campoB-02.png|400px]]
|-
| (a)
| (b)
|-
| [[Archivo:mapa-campoB-03.png|400px]]
| [[Archivo:mapa-campoB-04.png|400px]]
|-
| (c)
| (d)
|}

[[Mapa del campo magnético de dos hilos paralelos|'''Solución''']]

==Campo magnético en el centro de un rectángulo==
{{nivel|3}} partir del resultado del problema “[[Campo magnético debido a un segmento]]”, halle el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados b y h por la cual circula una corriente <math>I_0</math>.

[[Campo magnético en el centro de un rectángulo|'''Solución''']]

==Campo magnético en el centro de un polígono==
{{nivel|3}} partir del resultado del problema “[[Campo magnético debido a un segmento]]” halle el campo magnético en el centro de un polígono regular de N lados y apotema b, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>. ¿A qué tiende este resultado en el caso de una espira circular (N→∞)?

[[Campo magnético en el centro de un polígono|'''Solución''']]
==Campo magnético en el eje de una espira circular==
{{nivel|4}} Halle, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio b, por la cual circula una corriente <math>I_0</math>. ¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados (<math>z\gg b</math>)?

[[Campo magnético en el eje de una espira circular|'''Solución''']]

==Campo magnético en el eje de una bobina cilíndrica==
{{nivel|4}}A partir del caso anterior, calcule el campo magnético debido a una bobina de longitud h y radio b con N espiras. ¿A qué tiende el resultado cuando <math>h\gg b</math>?

[[Campo magnético en el eje de una bobina cilíndrica|'''Solución''']]
==Campo magnético de un sistema de tres hilos==
{{nivel|3}} Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad <math>\sigma=2.0\times10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>, los tres hilos son de la misma longitud, <math>\ell=12\,\mathrm{m}</math>. El hilo “1” tiene una sección transversal <math>A_1=3\,\mathrm{mm}^2</math>, el “2” una sección <math>A_2=1\,\mathrm{mm}^2</math> y el “3” una sección <math>A_3=2\,\mathrm{mm}^2</math>. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua <math>V_0=13.2\,\mathrm{V}</math> y el “3” a tierra.

<center>[[Archivo:tres-hilos-campoB.png|600px]]</center>
Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.
Halle el campo magnético en los puntos P y Q, situados en los puntos medios entre los hilos “1” y “2”, y entre “2” y “3”.
# Con los dos interruptores cerrados.
# Con los dos interruptores abiertos.

[[Campo magnético de un sistema de tres hilos|'''Solución''']]

==Fuerza entre un hilo rectilíneo y una espira rectangular==
{{nivel|3}} Junto a un hilo rectilíneo por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_1</math>, que podemos situar en el eje OZ, se encuentra una espira rectangular de base b y altura h, situada en el plano OXZ con dos de sus lados paralelos al hilo. El lado más próximo se encuentra a una distancia x del hilo. Por la espira rectangular circula una intensidad de corriente <math>I_2</math>.
# ¿Qué fuerza ejerce el hilo rectilíneo sobre la espira rectangular?
# ¿A qué tiende esta fuerza en el límite <math>b\to 0</math>,<math>h\to 0</math>, <math>I_2\to\infty</math> con <math>I_2 bh\to m</math>?

<center>[[Archivo:hilo-espira-rectangular.png]]</center>

[[Fuerza entre un hilo rectilíneo y una espira rectangular|'''Solución''']]

Problemas de máquinas térmicas (GIOI)

Antonio — Mon, 17 May 2021 08:11:09 GMT

Antonio: /* Refrigerador alimentado por máquina térmica */

=={{nivel|1}} Rendimiento de una máquina térmica==
Una máquina térmica opera a 300 rpm de manera que en cada ciclo absorbe 4000 J de una caldera y expulsa 2400 J al ambiente. Si para funcionar la máquina requiere 200 J de potencia eléctrica de entrada, ¿cuánto vale el trabajo de salida? ¿Cuánto vale el rendimiento de la máquina? Si consideramos los flujos de calor y de trabajo, ¿cuánto vale el flujo de trabajo neto de salida (trabajo neto de salida por segundo)?

[[Rendimiento de una máquina térmica (GIOI)|'''Solución''']]

=={{Nivel|1}} Rendimiento de un refrigerador y de una bomba de calor==
Un aparato de aire acondicionado extrae 4 kW de calor de una habitación, que es el calor que entra por las ventanas y paredes cuando la temperatura interior es de 23 °C y la exterior es de 38 °C, consumiendo una potencia de 1 kW eléctrico. ¿Cuánto vale el COPR del refrigerador?
Supongamos que este aparato de aire acondicionado tiene inverter, de forma que también funciona como bomba de calor. ¿Cuánto vale el COPBC de esta bomba? Si la temperatura exterior es de 8 °C de forma que el flujo de calor es el opuesto al del verano, ¿Qué consumo eléctrico tiene la bomba?

[[Rendimiento de un refrigerador y de una bomba de calor (GIOI)|'''Solución''']]

=={{nivel|2}} Dos máquinas térmicas puestas en serie==
Una central eléctrica de ciclo combinado está formada por dos máquinas térmicas puestas en serie, de manera que el calor de desecho de la primera se emplea para alimentar la segunda. Si el rendimiento de la primera vale η1 y el de la segunda vale η2, ¿cuánto vale el rendimiento del conjunto?
Suponga que, en un caso concreto la primera máquina toma 600 MW de calor de una caldera y tiene un rendimiento de un 40%, mientras que la segunda tiene un rendimiento de 1/3. ¿Cuál es la potencia eléctrica que produce cada una de las máquinas y cuál es la del conjunto?

[[Dos máquinas térmicas puestas en serie (GIOI)|'''Solución''']]

=={{nivel|2}} Dos refrigeradores en serie==
Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un COPR1 extrae el calor de la sustancia desde la temperatura <math>T_F</math> hasta una temperatura intermedia <math>T_M</math>. El segundo, que tiene un COPR2 toma el calor desde <math>T_M</math> y lo expulsa al ambiente a <math>T_C</math>. ¿Cuánto vale el COPR del conjunto?
Supongamos el caso particular COPR1 = 4 y COPR2 = 3. Si el segundo refrigerador consume 1 kW de potencia eléctrica, ¿cuánto consume el conjunto? ¿Cuánto calor extrae de la sustancia y cuánto expulsa al ambiente?

[[Dos refrigeradores en serie (GIOI)|'''Solución''']]

=={{nivel|3}} Caso práctico de ciclo Otto ideal==
Un motor de gasolina se puede modelar mediante un ciclo Otto ideal (γ = 1.4). Supongamos que el motor posee turbocompresor de manera que la mezcla entra a 200 kPa y 320 K. La cilindrada del motor es de 1400 cm³ y la relación de compresión es de 8. En la combustión la temperatura del gas alcanza los 1500 K. Supongamos que el motor opera a 3000 rpm (que teniendo en cuenta que se trata de un motor de 4 tiempos equivale a 1500 ciclos/min).

<center>[[Archivo:Esquema-ciclo-otto.png]]</center>

# ¿Cuál es el rendimiento teórico del motor?
# ¿Cuáles son las presiones, volúmenes y temperaturas e los estados A, B, C y D del ciclo?
# ¿Cuánto vale el calor y el trabajo en cada uno de los 4 procesos? ¿Son de entrada o de salida?
# ¿Cuánto vale el trabajo neto de salida en el ciclo?
# Considerando el trabajo que se realiza por segundo, ¿cuánto vale la potencia de este motor? ¿Cuánto vale esta potencia en CV (1 CV=0.7457 kW)?

[[Caso práctico de ciclo Otto ideal (GIOI)|'''Solución''']]

=={{nivel|3}} Caso práctico de ciclo de Carnot==
Se tiene un ciclo de Carnot ideal de un gas ideal (γ = 1.4) en el cual la temperatura del foco caliente vale <math>T_C=1200 \,\mathrm{K}</math> y la del foco frío es <math>T_F=300\,\mathrm{ K}</math>. Antes de la compresión adiabática el volumen es <math>V_A=16\,\mathrm{ L}</math> y su presión es <math>p_A=100 \,\mathrm{kPa}</math>

<center>[[Archivo:Ejemplo-ciclo-Carnot.png|300px]]</center>
# Calcule la presión, volumen y temperatura de los estados A, B, C y D.
# Calcule el calor que entra o sale en cada uno de los cuatro pasos.
# Halle el trabajo neto de salida a lo largo de un ciclo.
# Calcule el rendimiento de este ciclo.
[[Caso práctico de ciclo de Carnot (GIOI)|'''Solución''']]

=={{nivel|3}} Refrigerador de Carnot==
Se tiene un refrigerador que funciona con un ciclo de Carnot inverso (es decir, recorrido en sentido contrario) entre las temperaturas <math>T_C</math> y <math>T_F</math>. ¿Cuánto vale su COPR en función de estas dos temperaturas? ¿Y si fuera una bomba de calor, cuál sería su COPBC?

[[Refrigerador de Carnot (GIOI)|'''Solución''']]

=={{nivel|4}} Refrigerador por ciclo Brayton==
Se construye un refrigerador que funciona mediante un ciclo Brayton inverso de gas ideal (γ = 1.4). Este refrigerador debe mantener fría una cámara a 270 K estando el exterior a 300 K. Inicialmente el gas ocupa 0.45 L y se encuentra a la temperatura de la cámara frigorífica y a una presión <math>p_A=50 \,\mathrm{kPa}</math>. El compresor eleva su presión a <math>p_B=100\,\mathrm{ kPa}</math> mediante una compresión adiabática. Entonces se deja que el gas se enfríe a presión constante hasta que llegue a la temperatura exterior. Una vez alcanzada esta temperatura, se expande de nuevo de forma adiabática hasta que llega a la presión inicial. Se deja entonces que se caliente a presión constante hasta que llega a la temperatura de la cámara, cerrando el ciclo.

<center>[[Archivo:Refrigerador_brayton.png|300px]]</center>
# Calcule la presión, volumen y temperatura de los cuatros estados A, B, C y D.
# Halle el calor que entra o sale en cada uno de los pasos.
# Calcule el trabajo neto que entra en cada ciclo.
# Halle el COPR de este refrigerador.

[[Refrigerador por ciclo Brayton (GIOI)|'''Solución''']]

==Refrigerador alimentado por máquina térmica==
Para alimentar un refrigerador que tiene un cierto COPR en una casa en el campo se usa un grupo electrógeno que es una máquina térmica con rendimiento η.
# {{nivel|2}} Si definimos el rendimiento del conjunto como la proporción entre el calor que extrae del interior de la cámara frigorífica y el calor que consume la máquina térmica, ¿cuánto vale este rendimiento en función de las dos cantidades anteriores?
# {{nivel|2}} Si el calor que extrae por segundo es <math>\dot{Q}_\mathrm{in}^R</math>, ¿cuánto calor de desecho produce por segundo?
# {{nivel|3}} Supongamos que esta máquina térmica sigue un ciclo Otto ideal con relación de compresión <math>r=8</math>, mientras que el refrigerador sigue un ciclo Brayton inverso con <math>r_p=2</math>, ¿cuánto vale el rendimiento del conjunto?
# {{nivel|2}} Si para este caso el calor absorbido por segundo es 1kW, ¿cuánto calor de desecho produce por segundo?
# {{nivel|2}} Si para este caso el grupo electrógeno funciona con gasolina, que produce calor a un ritmo de 45 MJ/kg (poder calorífico) y la densidad de la gasolina es de 0.73 kg/L, ¿cuántos litros de gasolina consume en un día?

[[Refrigerador alimentado por máquina térmica (GIOI)|'''Solución''']]