Laplace - Contribuciones del usuario [es]

Equilibrio de una tabla

2025-12-10T08:15:24Z

Anamaram: /* Enunciado */

==Enunciado==
Se tiene una plataforma de masa <math>m = 6.0\,\mathrm{kg}</math> y longitud <math>L = 2.00\,\mathrm{m}</math> (estando la masa distribuida uniformemente) que se apoya horizontalmente sobre dos caballetes de forma que los puntos de apoyo A y B están a 60 cm y 20 cm del centro C de la tabla, respectivamente.

<center>[[Archivo:mesa-caballetes.png]]</center>
# Calcule la fuerza que cada caballete ejerce sobre la tabla.
# Halle el valor máximo de la masa que se puede apoyar en el borde izquierdo de la plataforma si no se quiere que esta vuelque.
# Suponga que sobre el extremo derecho de la plataforma se apoya una masa de 2.2 kg. ¿Volcará la tabla? Si es así, determine la aceleración angular que adquiere la tabla el comenzar a girar en torno al punto de apoyo, así como la fuerza que ejerce ese caballete sobre la mesa en el instante en que empieza a volcar.

Tómese <math>g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.

'''Dato:''' Momento de inercia de una barra de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math> respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro: <math>I = mL^2/12</math>.

==Fuerzas en equilibrio==
La plataforma constituye un sólido rígido. Cuando se encyentra en equilibrio deben cumplirse las dos condiciones

<center><math>\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}\qquad\qquad\sum_i\vec{M}_i=\vec{0}</math></center>

siendo los <math>\vec{M}_i</math> los momentos de las fuerzas respecto a un punto cualquiera de la tabla. Por comodidad, tomaremos como punto de referencia el centro de la tabla, que también es su centro de masas.

Sobre la plataforma actúan tres fuerzas

* El peso <math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}</math>
* La reacción del caballete de la izquierda <math>\vec{F}_A=F_A\vec{\jmath}</math>
* La reacción del caballete de la derecha <math>\vec{F}_B=F_B\vec{\jmath}</math>

<center>[[Archivo:mesa-caballetes-02.png]]</center>

Puesto que las tres fuerzas van en el mismo sentido, la condición de equilibrio de fuerzas se reduce a una escalar

<center><math>-mg+F_A+F_B=0\qquad\Rightarrow\qquad F_A + F_B = mg\simeq 60\,\mathrm{N}</math></center>

Con esta ecuación no nos basta para determinar las dos reacciones. Además necesitamos la anulación de sus momentos.

El momento de una fuerza aplicada en un punto P respecto a un punto fijo O lo da el producto vectorial

<center><math>\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_P</math></center>

En nuestro caso, empleando el punto C como referencia tenemos la condición de equilibrio

<center><math>\overrightarrow{CC}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{CA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{CB}\times\vec{F}_B=\vec{0}</math></center>

Desarrollando los vectores

<center><math>\vec{0}\times(-mg\vec{\jmath})+(-d_A\vec{\imath})\times(F_A\vec{\jmath})+(d_B\vec{\imath})\times(F_B\vec{\jmath})=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad (-d_AF_A+d_BF_B)\vec{k}=\vec{0}</math></center>

Esto nos da la segunda ecuación que necesitábamos

<center><math>0 - d_AF_A + d_BF_B = 0\qquad\Rightarrow\qquad d_AF_A = d_BF_B\qquad\Rightarrow\qquad 0.6F_A = 0.2F_B\qquad\Rightarrow\qquad F_B = 3F_A</math></center>

En el caso de fuerzas contenidas en un plano, como es nuestro caso, se puede simplificar el cálculo de momentos sin usar el producto vectorial. El momento de una fuerza en el caso de fuerzas paralelas es igual al producto de la [[Fuerza_sobre_una_barra|fuerza por su brazo]], y con un signo que indica si produce un giro antihorario (+) u horario (-).

Respecto al punto C, el peso, que está aplicado en él, no produce giro alguno y su momento es 0.

La reacción del caballete izquierdo produciría un giro en sentido horario, mientras que el del caballete derecho lo haría en sentido antihorario. Esto nos da directamente la condición anterior

<center><math>-d_AF_A+d_BF_B = 0\,</math></center>

Esta condición se puede escribir como una igualdad de proporciones

<center><math>\frac{F_B}{F_A}=\frac{d_A}{d_B}</math></center>

que nos dice que la fuerza de reacción más intensa será la que se aplique a menor distancia del CM.

Resolvemos el sistema de ecuaciones

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}F_A+F_B & = & mg\\ d_AF_A & = &d_BF_B\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad F_A=\frac{d_B mg}{d_A+d_B}\qquad\qquad F_B=\frac{d_Amg}{d_A+d_B}</math></center>

Empleando valores numéricos

<center><math>F_A = \frac{0.2\times 60}{0.2+0.8}\,\mathrm{N}=15\mathrm{N}\qquad\qquad F_B = \frac{0.6\times 60}{0.2+0.8}\,\mathrm{N}=45\mathrm{N}</math></center>

Como dijimos, la mesa carga más sobre el caballete más cercano al centro de masas.

==Masa máxima==
El cálculo de la masa máxima que no vuelca la tabla lo podemos hacer de dos formas sencillas:

* Reduciendo las fuerzas en el punto A, alrededor del cual rotaría la tabla si volcara.
* Reduciendo las fuerzas en el centro de masas como en el apartado anterior.

De las dos alternativas, la primera es la más sencilla.

Lo que ocurre al colocar una masa en el extremo es que se altera la distribución de fuerzas. la plataforma (con peso añadido) empieza a cargarse más sobre el caballete izquierdo, reduciendo la carga en el derecho. Llega un punto en que la reacción en B se anula. Esa es la masa máxima M que podemos colocar. Si aumentamos la carga, la fuerza en B se haría negativa, lo cual es imposible, ya que el caballete no puede tirar de la mesa hacia abajo. Se trata de un vinculo unilateral.

<center>[[Archivo:mesa-caballetes-03.png]]</center>

Dicho de otra forma, la masa máxima es aquella que deja la plataforma en equilibrio sobre el caballete de A, que actuaría como el fulcro de una balanza, cumpliéndose la ley de la palanca: la potencia por su brazo es igual a la resistencia por el suyo. Las longitudes de los brazos son respectivamente

<center><math>d_A = 0.60\,\mathrm{m}\qquad\qquad \frac{L}{2}-d_A = 0.40\,\mathrm{m}</math></center>

La condición de equilibrio en ese caso límite sería

<center><math>F_A = mg + Mg\,\qquad\qquad(F_B=0)</math></center>

y para los momentos respecto al punto A tendríamos

<center><math>Mg\left(\frac{L}{2}-d_A\right)-mgd_A=0\qquad\Rightarrow\qquad M = \frac{d_A}{L/2-d_A}m</math></center>

Con esta condición nos basta para determinar la masa crítica.

En valor numérico

<center><math>M = \frac{0.60}{0.40}6.0\,\mathrm{kg}=9.0\,\mathrm{kg}</math></center>


==Vuelco==
Ahora tenemos una situación análoga a la del apartado anterior, pero con la masa apoyada en el lado derecho. Al ser de solo 2.2kg parecería que esta masa no es capaz de volcar la tabla. Sin embargo, la condición para el vuelco en el lado derecho es

<center><math>M =\frac{d_B}{L/2-d_B}m = \frac{0.2}{0.8}6\mathrm{kg}=1.5\,\mathrm{kg}</math></center>

Como la mesa está tan desequilibrada, una masa pequeña es capaz de hacerla volcar. En este caso, con 2.2kg la mesa empezará a girar alrededor del punto B, que es el nuevo fulcro.

La condición para los momentos ya no es de equilibrio, sino dinámica:

<center><math>\sum_i\vec{M}_i= I_B\vec{\alpha}</math></center>

siendo <math>\vec{M}_i</math> los momentos de las distintas fuerzas respecto al punto de giro B e <math>I_B</math> el momento de inercia respecto a este punto.

En este caso como en los anteriores, los momentos van todos en la dirección perpendicular al plano de movimiento, y lo mismo ocurrirá con la aceleración angular

<center><math>\vec{M}_I =\pm F_id_i\vec{k}\qquad\qquad\vec{\alpha}=\alpha\vec{k}</math></center>

siendo el signo el dado por el sentido de giro que produce la fuerza.

El momento de inercia <math>I_B</math> vale, por el teorema de Steiner

<center><math>I_B = I_C + m d_B^2 =\left(\frac{1}{12}6.0(2.0)^2+6.0(0.2)^2\right)\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2 = 2.24\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2</math></center>

<center>[[Archivo:mesa-caballetes-04.png]]</center>

Aplicando la ecuación para los momentos nos queda, en el SI

<center><math>60\times 0.2- 22\times 0.8 = -5.6 = 2.24\alpha \qquad\Rightarrow\qquad \alpha = -2.5\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Una vez que tenemos la aceleración angular de la tabla, podemos hallar la aceleración lineal de su centro de masa, ya que en el instante en que comienza el giro el CM está describiendo un movimiento circular y por tanto

<center><math>\vec{a}_C=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

Cuando empieza a moverse la velocidad angular es nula, por lo que se reduce a

<center><math>\vec{a}_C = \vec{\alpha}\times\overrightarrow{BC}=(-2.5\vec{k})\times(-0.2\vec{\imath}) = +0.5\vec{\jmath}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

La aceleración es positiva, ya que el centro de la mesa empieza a elevarse.

Por último, la reacción del caballete la da la ecuación para las fuerzas

<center><math>\sum_i\vec{F}_i = m\vec{a}_C</math></center>

que en este caso da

<center><math>-mg + F_B - Mg = m a_C\qquad\qquad F_B = mg + Mg + ma_C = (60 + 22 + 3)\mathrm{N} = 85\,\mathrm{N}</math></center>

Es decir, el apoyo no solo compensa los dos pesos, sino que además es capaz de elevar el CM de la tabla.

[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]]

Piedra y pájaro que se mueven verticalmente

2024-07-23T22:26:27Z

Anamaram: /* Máximo valor de v1 */

==Enunciado==
Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante <math>v_1</math>.

Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando <math>g=9.8</math> m/s²:

# Calcule el máximo valor de <math>v_1</math> con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
# Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
# Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?

==Máximo valor de ''v''1==
Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.

La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,

<center><math>z_B = h_1 + v_1 t = 3.0 + v_1 t\,</math></center>

y la de la piedra

<center><math>z_P = h_2 + v_2t - \frac{1}{2}gt^2 = 1.4+7.0t-4.9t^2</math></center>

Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado

<center><math>3.0 + v_1 t = 1.4+7.0t-4.9t^2 \qquad\Rightarrow\qquad 4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0</math></center>

Esta ecuación no es suficiente para determinar el máximo valor de <math>v_1</math>, ya que tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Veamos primero que existe una velocidad máxima. Si no hubiera pájaro, la piedra llegaría hasta una altura de 3.9 m (hallando el máximo de <math>z_P</math>), con lo cual, si el pájaro se quedara quieto (<math>v_1=0</math>), le alcanzaría seguro. Si el pájaro sale volando con velocidad <math>v_1=7</math> (la inicial de la piedra) seguro que no le alcanzaría nunca, pues la piedra se va frenando y el pájaro sube a velocidad constante. Por tanto, debe haber algún valor entre 0 m/s y 7 m/s que es el máximo con el que se le puede dar.

El detalle clave es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro.

Gráficamente, corresponde a que, en la gráfica x(t), la recta que da el movimiento del pájaro sea tangente a la parábola de la piedra, con lo que la pendiente de la recta (<math>v_1</math>) debe coincidir con la pendiente de la parábola (<math>v_P(t)</math> en ese instante).

<center>[[Archivo:piedra-pajaro.png|400px]]</center>

Esto nos da la ecuación

<center><math>v_1 = 7.0-9.8t\,</math></center>

que junto con la igualdad de las posiciones nos da el sistema

<center><math>\left\{\begin{array}{l}4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0\\
9.8t +(v_1-7.0)=0\end{array}\right. </math></center>

Multiplicando la segunda por t y restándola de la primera llegamos al instante de impacto

<center><math>-4.9t^2+1.6=0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{4}{7}=0.571\,\mathrm{s}</math></center>

y a la velocidad

<center><math>v_1=1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

;Solución alternativa: Otra forma de llegar a este resultado, si no se ha llegado a la condición para la velocidad, es observar que la ecuación para la posición es una de segundo grado en t, con soluciones

<center><math>t = \frac{(7.0-v_1) \pm\sqrt{(7.0-v_1)^2 - 4\times 1.6\times 4.9}}{2\times 4.9}=\frac{(7.0-v_1)\pm\sqrt{(7.0-v_1)^2-31.36}}{9.8}</math></center>

Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.

El máximo valor posible de <math>v_1</math> será entonces el que anule esta cantidad

<center><math>(7.0-v_1)^2 - 31.36 = 0\qquad\Rightarrow\qquad 7.0-v_1 = 5.6 \qquad\Rightarrow\qquad v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es

<center><math>t = \frac{7.0-1,4}{9.8}\mathrm{s} = \frac{5.6}{9.8}\mathrm{s} = \frac{4}{7}\mathrm{s} = 0.571\,\mathrm{s}</math></center>

==Velocidades medias==
===Del pájaro===
Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea

<center><math>v_{m1} = v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

===De la piedra===
Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en

<center><math>z_2 = 1.4 + 7.0\frac{4}{7}-4.9\left(\frac{4}{7}\right)^2 = 3.8\,\mathrm{m}</math></center>

lo que da una velocidad media

<center><math>v_{m2}=\frac{\Delta z_2}{\Delta t} = \frac{3.8-1.4}{4/7} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

;Solución alternativa: Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas

<center><math>v_{m2}=\frac{7.0+1.4}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

:donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.
==Movimiento de la piedra==
Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es

<center><math>z = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\,</math></center>

que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula

<center><math>0 = v_z = \dot{z}= 7.0-9.8 t\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5}{7}\,\mathrm{s} = 0.714\,\mathrm{s}</math></center>

y en ese instante su altura es

<center><math>z_{2\mathrm{max}} = 1.4 + 7.0\frac{5}{7}-4.9\left(\frac{5}{7}\right)^2 = 3.9\,\mathrm{m}</math></center>

;Solución alternativa: esto se puede resolver observando que

<center><math>-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad z = z_0+\frac{v_{20}^2}{2g}</math></center>

La partícula impacta en el suelo cuando <math>z=0</math>. Esto ocurre en el instante

<center><math>0 = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5 + \sqrt{39}}{7} = 1.606\,\mathrm{s}</math></center>

y la velocidad en ese momento es

<center><math>v_{2i} = 7(5-\sqrt{39})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = -8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

;Solución alternativa: puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación

<center><math>-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad v_i = -\sqrt{v_{20}^2+2gz_0}=-\sqrt{7.0^2+2\times 9.8\times 1.4}=-8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIOI)]]

Segundo principio de la termodinámica (GIE)

2021-05-17T10:27:52Z

Anamaram: /* Procesos reversibles e irreversibles */

==Introducción==
El [[Primer_principio_de_la_termodinámica_(GIE)|primer principio de la termodinámica]] establece que la energía interna puede aumentar porque se realice trabajo sobre el sistema o porque se introduzca calor en él. Desde este punto de vista calor y trabajo son equivalentes. Sin embargo, la experiencia diaria nos muestra que no es así, sino que existe una diferencia esencial entre ambos mecanismos de transferencia de energía. Podemos trasformar todo el trabajo en calor, pero no podemos transformar todo el calor en trabajo (si descendemos por una cuerda nos calentamos las manos, pero si nos calentamos las manos poniéndolas al sol, esto no nos hace subir la cuerda).

Igualmente, la experiencia nos muestra que existe una dirección en el que ocurren los fenómenos. Sabemos que el calor va de los cuerpos calientes a los fríos y no al revés; que un gas tiende a expandirse ocupando todo el volumen posible, y no a contraerse; que por consecuencia de la fricción los cuerpos se paran, no se aceleran.

Este sentido de evolución de los sistemas no está contenido en el primer principio de la termodinámica, sino que requiere un principio adicional, conocido como Segundo Principio de la Termodinámica.

==Enunciado de Clausius==
El ''enunciado de Clausius'' del Segundo Principio de la Termodinámica prohíbe la existencia de refrigeradores ideales

<blockquote>''Es imposible un proceso que tenga como único resultado el paso de calor de un foco frío a un foco caliente''</blockquote>

<center>[[Imagen:clausius-02.png]]</center>

Como el enunciado de Kelvin-Planck, el enunciado de Clausius está formulado de manera negativa. Expresa un hecho empírico. En términos llanos, el enunciado de Clausius nos dice que para enfriar algo por debajo de la temperatura ambiente es necesario un trabajo adicional, esto es, que un frigorífico no funciona si no se enchufa

El enunciado de Clausius establece un sentido para la propagación del calor. Éste fluye de manera espontánea de los cuerpos calientes a los fríos, nunca a la inversa.

==Enunciado de Kelvin-Planck==
A la hora de aumentar la eficiencia de una máquina, el primer objetivo sería reducir, o eliminar si es posible, el calor de desecho <math>Q_\mathrm{out}</math>.

[[Archivo:esquema-maquina-vapor.png|300px|right]]

Se pueden plantear dos posibilidades

* ¿Es posible eliminar el condensador y que una máquina térmica que no genere calor de desecho, sino que todo el calor absorbido se transforme en trabajo neto? Por ejemplo, podría usarse la turbina para enfriar directamente el vapor y reenviarlo a la caldera, sin pasar por un condensador donde se ceda calor al ambiente sin realizar trabajo útil.

* ¿Es posible una reutilización del calor de desecho, de forma que se haga recircular y se incluya en el calor absorbido? La idea sería que el calor de desecho contribuya a calentar el vapor, en lugar de arrojarlo al exterior.

La respuesta a ambas preguntas es negativa.

El enunciado de Kelvin-Planck del Segundo Principio de la Termodinámica es el siguiente:

<blockquote>''Es imposible construir una máquina que, operando en un ciclo, produzca como único efecto la extracción de calor de un foco y la realización de una cantidad equivalente de trabajo''</blockquote>

<center>[[Imagen:kelvin-planck-01.png]]</center>

Este enunciado refleja un hecho empírico y no se deduce de ninguna ley previa.

El enunciado de Kelvin-Planck afirma que es imposible construir una máquina que tenga un rendimiento del 100%. Siempre habrá calor de desecho que, en la mayoría de los casos equivale a más de la mitad del calor absorbido.

Es importante señalar que el enunciado de Kelvin-Planck habla de procesos ''cíclicos'', que dejan al sistema en un estado final igual al inicial. Sí es posible transformar calor en trabajo si el estado final es diferente del inicial. Por ejemplo en una expansión isoterma de un gas, todo el calor que entra se transforma íntegramente en trabajo, pero al final el volumen del gas es diferente del inicial.

==Equivalencia entre enunciados==
Es fácil probar que el enunciado de Kelvin-Planck y el de Clausius son equivalentes, aunque hablen de cosas completamente diferentes (uno del rendimiento de máquinas térmicas y el otro de la dirección en que fluye el calor). Para ello basta suponer que uno de ellos no se cumple y demostrar que ello implica que el otro tampoco. Al efectuar la demostración en los dos sentidos, se llega a que son equivalentes.

Supongamos en primer lugar que no se verifica el enunciado de Kelvin-Planck, es decir, existe una máquina que transforma íntegramente el calor en trabajo. En ese caso basta con utilizar un trabajo para alimentar un refrigerador

<center>[[Archivo:kelvin-planck-clausius.png]]</center>

De esta forma el trabajo se emplea en absorber una cierta cantidad de calor del foco frío y cederla al foco caliente. Si ahora consideramos el conjunto de las dos máquinas como un solo dispositivo ya no hay trabajo en el sistema (ya que sería puramente interno) el único efecto sería el trasvase de calor del foco frío al caliente. Esto constituye una violación del enunciado de Clausius. Por tanto, si no se cumple el enunciado de Kelvin-Planck tampoco se cumple el de Clausius.

Supongamos ahora que no se cumple el enunciado de Clausius y que existe un proceso que es capaz de absorber calor de un foco frío y cederlo a uno caliente. En este caso, nos basta con usar este dispositivo como “bomba de achique” para devolver el calor de desecho de una máquina térmica al foco caliente. En ese caso el resultado neto es que una cierta cantidad de calor se convierte íntegramente en trabajo, lo que constituye una violación del enunciado de Kelvin-Planck.

<center>[[Archivo:clausius-kelvin-planck.png]]</center>

Por tanto, si no se cumple el primero no se cumple el segundo y viceversa. O los dos enunciados son ciertos (lo que corrobora la experiencia hasta el momento) o los dos son falsos.

Podemos ver cómo los dos enunciados se relacionan en la práctica. Una de las posibilidades teóricas que podrían plantearse para mejorar el rendimiento de una máquina de vapor sería enviar el calor de desecho en lugar de al ambiente, a la caldera, permitiendo el aprovechamiento de todo el calor que entra en la máquina. Sabemos que esto viola el enunciado de Kelvin-Planck. Es fácil ver que también viola el de Clausius: el vapor realiza trabajo moviendo la turbina. Al hacerlo se enfría, ya que el trabajo se hace a costa de la energía interna del vapor. Por tanto, el vapor que llega al condensador está más frío que el que sale de la caldera. Para reconducir el calor del condensador a la caldera tendríamos que hacer pasar calor de un punto más frío a uno más caliente, lo cual es imposible.

==Procesos reversibles e irreversibles==
El segundo principio establece que existen procesos que pueden recorrerse en un sentido, pero no el opuesto. Podemos transformar íntegramente el trabajo en calor (es lo que hace una estufa de resistencias), pero no el calor en trabajo (ya que lo prohíbe el enunciado de Kelvin-Planck). Los ejemplos cotidianos abundan: si colocamos una taza de café caliente en el ambiente, el café se enfría, nunca se calienta más. Si vertemos azúcar en agua, no podemos invertir la disolución.

El Segundo Principio, por tanto, permite clasificar los procesos en ''reversibles'' e ''irreversibles''.
Existen dos formas de definir los procesos reversibles, que expresan el mismo hecho, pero no se ha probado que sean equivalentes.

* Un '''proceso reversible''' es aquel:
:* que se puede recorrer en los dos sentidos, pasando exactamente por los mismos estados, de forma que el estado final ''del sistema'' y ''del entorno'' sea exactamente igual al inicial, es decir, que el proceso se puede deshacer sin dejar ninguna huella.
:* cuyo sentido puede invertirse mediante un cambio infinitesimal de las condiciones del entorno.

Un '''proceso irreversible''' es el que no es reversible.

Una violación de la primera definición sería la siguiente: imaginemos un cilindro con dos cámaras, estando una llena de aire y en la otra se ha hecho el vacío. Las cámaras están separadas por un diafragma. La cámara vacía está limitada por un pistón que puede moverse.
<center>[[Archivo:irreversible-01.png|425px]][[Archivo:irreversible-02.png|425px]][[Archivo:irreversible-03.png|425px]][[Archivo:irreversible-04.png|425px]]</center>
Si mediante una perforación dejamos que escape el aire a la cámara vacía, no se realiza trabajo alguno, ya que no hay presión externa. Si ahora devolvemos el aire a su tamaño inicial con el pistón, debemos realizar un trabajo. Por tanto el proceso es irreversible, ya que aunque el sistema ha vuelto a su estado inicial, el entorno no lo ha hecho, ya que ha debido realizar un trabajo neto (y ha absorbido una cantidad equivalente de calor).

Como ejemplo de la segunda versión sea un sistema formado por un recipiente con agua en equilibrio térmico con hielo a 1 atm de presión. El sistema estará a 0.00°C.

Supongamos que el conjunto se encuentra rodeado por un baño térmico a +0.01°C. Sabemos que el hielo se irá derritiendo progresivamente, pasando a ser agua líquida. Si ahora cambiamos la temperatura exterior a -0.01°C, el hielo volverá a crecer, a costa de la congelación de agua. Hemos invertido el proceso mediante un cambio infinitesimal del entorno y el proceso es reversible.

Si en cambio el baño exterior está a 20.01°C sabemos que el hielo se derretirá. Si ahora pasamos la temperatura exterior a 19.99°C el hielo se seguirá derritiendo, por lo que no se invierte el proceso. Este proceso es irreversible.

Más en general, siempre que tengamos una diferencia finita de temperaturas entre un sistema y su entorno o entre diferentes partes de un sistema, tendremos un proceso irreversible.

Un razonamiento análogo se puede hacer analizando la expansión de un gas frente a una presión exterior. Si hay una diferencia finita de presiones es irreversible, si la diferencia es infinitesimal será reversible.

“Reversible” no es lo mismo que “cuasiestático”. Todos los procesos reversibles deben ser cuasiestáticos, pero no todos los cuasiestáticos son reversibles. Por ejemplo, un café inicialmente a 40°C que que deja metido en un termo, estando el ambiente a 20°C, se va enfriando gradualmente; podrá enfriarse muy poquito a poco, de manera aproximadamente cuasiestática, pero irreversible.

Todos los procesos reales son irreversibles, si bien existen procesos más o menos ideales, que se acercan a la reversibilidad. Los procesos reversibles permiten establecer además criterios de máximos o mínimos para los procesos reales. Por ejemplo, el máximo rendimiento de una máquina térmica se obtiene si esta opera reversiblemente.

Existen numerosas causas de irreversibilidad, mecánicas, térmicas, químicas,… A su vez, pueden ser ''externas'' o ''internas''.

;Irreversibilidad interna: es la que se produce dentro del sistema, debido a que este no se encuentra en equilibrio. Por ejemplo, al comprimir un gas bruscamente, el gas próximo al pistón posee una presión mayor que los puntos alejados (produciéndose una onda de sonido). En este momento el gas no se encuentra en equilibrio (no existe la “presión del sistema”) y evoluciona de forma irreversible. Otro ejemplo sería la inmersión de un trozo de hielo en agua caliente, la diferencia finita de temperaturas entre partes de un sistema provoca irreversibilidad

;Irreversibilidad externa: es aquella en la que quizás el sistema evoluciona reversiblemente, por ejemplo, porque su temperatura varía lentamente (como le ocurre al café contenido en un termo), pero aun así el proceso es irreversible porque la interacción con el entorno es irreversible (en el caso del café, porque existe una diferencia finita de temperaturas entre el interior del termo y el ambiente).

Así, tenemos:

* Irreversibilidad mecánica:
** Externa: Se deben a la transformación de trabajo en calor por la interacción del sistema con el entorno. El ejemplo más sencillo es la ''fricción''. Consideremos el movimiento de ida y vuelta de un pistón en un cilindro, que roza tanto a la ida como a la vuelta. Es un proceso cíclico que transforma trabajo en calor. Su inversión significaría la transformación cíclica de calor en trabajo, lo que es imposible. Por ello, todo proceso mecánico que implique fricción (esto es, todos) es irreversible.
** Interna: Se debe a la conversión de trabajo en calor en el interior del sistema. Puede ser por fricción interna. Otro ejemplo es la expansión libre de un gas (el experimento de Joule). No hay trabajo ni intercambio de calor con el sistema, pero el proceso es irreversible.
* Irreversibilidad térmica:
** Externa: Se debe al intercambio de calor con el exterior de forma irreversible. El caso más importante es debido a una diferencia finita de temperaturas con el entorno. Su inversión implicaría que el calor debe pasar del cuerpo más frío al más caliente, lo que viola el enunciado de Clausius. Solo cuando es infinitesimal la diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno puede producirse una transferencia reversible de calor.
** Interna: Debido a las transferencias de calor entre distintas partes de un mismo sistema.
* Otras irreversibilidades: Aparte de las mecánicas y térmicas tenemos irreversibilidades químicas (debidas a las reacciones espontáneas), de mezclas y disoluciones, la producción de calor por efecto Joule, etc.

Como vemos, son tantas las causas de irreversibilidad que es difícil imaginar un proceso reversible. Debe ser cuasiestático (para que el sistema esté siempre en equilibrio), sin fricción, manteniendo en todo momento la misma temperatura que el exterior, etc. Por ello los procesos reversibles son solo idealizaciones útiles.

De la irreversibilidad térmica se deduce que una condición necesaria para que un proceso sea reversible debe ser:
* Si hay intercambio de calor, el proceso debe ser isotermo (debe haber una diferencia infinitesimal de temperatura entre el sistema y su ambiente).
* Recíprocamente, si existe una diferencia finita de temperaturas entre el sistema y el ambiente, el proceso debe ser adiabático.

Un proceso reversible tiene la ventaja teórica de que, como su nombre indica, puede invertirse su recorrido. Entonces, podemos considerar un camino que va de A a B y uno de B a A exactamente por la misma curva, de manera que

<center><math>W_{B\to A} = -W_{A\to B}\qquad\qquad Q_{B\to A} = -Q_{A\to B}\qquad\qquad \Delta E_{B\to A} = -\Delta E_{A\to B}</math></center>

Con los irreversibles no se puede hacer esto, ya que el camino inverso a uno irreversible no existe. Podremos devolver el sistema a su estado inicial pero por otro proceso y realizando un trabajo diferente.

==Máquinas térmicas reversibles==
Una máquina reversible es una que puede operar en ambos sentidos, esto es, tanto como motor como como refrigerador. Esta máquina debe funcionar describiendo una serie de procesos cada uno de los cuales debe ser reversible (esto es, son procesos cuyo sentido de evolución se puede invertir mediante un cambio infinitesimal de las condiciones del entorno).

El concepto de máquina reversible, como el de proceso reversible, es una idealización. No existen máquinas reversibles en el mundo real, sino que deben considerarse como el límite al que tienden máquinas irreversibles cada vez más perfeccionadas.

El ejemplo más sencillo de máquina reversible es el de la máquina de Carnot, la cual opera según un [[Ciclo de Carnot (GIE)|ciclo de Carnot]] reversible. En un ciclo de Carnot tenemos

* Una compresión y una expansión isotermas; si en cada una la temperatura del sistema es la misma del ambiente, pueden ser reversibles, aunque haya intercambio de calor.

* Una compresión y una expansión adiabáticas. En estas, aunque haya una diferencia finita de temperaturas con el ambiente, no se intercambia calor, por lo que pueden ser reversibles.

Por supuesto, la reversibilidad del ciclo de Carnot requiere además que se eliminen todas las irreversibilidades mecánicas. Por ello, se trata de un motor puramente ideal. Cuando esta máquina se invierte se convierte en un refrigerador (o bomba de calor) de Carnot.

El rendimiento de una máquina de Carnot reversible es

<center><math>\eta^\mathrm{rev} = 1-\frac{T_F}{T_C}</math></center>

Esto quiere decir que si tenemos una máquina de Carnot que opera entre dos temperaturas y absorbe un calor <math>Q_\mathrm{in}</math> el trabajo que realiza vale

<center><math>W_\mathrm{out}^\mathrm{rev}=\eta^\mathrm{rev} Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}=\left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}</math></center>

y el calor que desecha es

<center><math>Q_\mathrm{out}^\mathrm{rev}=Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}-W_\mathrm{out}^\mathrm{rev}= \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}</math></center>

Si ahora a esa máquina reversible le damos la vuelta y la convertimos en un refrigerador, el calor que absorbe es el que antes emitía. El trabajo necesario para operar es el mismo que antes producía y el calor que ahora desecha es el que antes absorbía

<center><math>{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'=Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}\qquad\qquad {W^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'=W^\mathrm{rev}_\mathrm{out}\qquad\qquad {Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}}'=Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}</math></center>

cumpliéndose en ese caso las relaciones

<center><math>{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}}'={Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'+{W^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'= \frac{T_C}{T_F}{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'</math></center>

mientras que el coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot vale

<center><math>\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev}=\frac{{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'}{{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}}'-{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'}=\frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>

==Teorema de Carnot==
El ''teorema de Carnot'' es un enunciado alternativo del Segundo Principio de la termodinámica, que se formula a partir de la comparación entre máquinas reversibles y máquinas irreversibles como:

<blockquote>''El rendimiento de una máquina térmica M que opere entre dos focos no puede ser superior que el de una máquina reversible R que opere entre los mismos focos''</blockquote>

<center><math>\eta_M \leq \eta_R^\mathrm{rev}\,</math></center>

<blockquote>''cumpliéndose la igualdad si la máquina M es también reversible y la desigualdad si es irreversible.''</blockquote>

Puede demostrarse que el teorema de Carnot es equivalente al enunciado de Clausius. Ello se hace por reducción al absurdo.

<center>[[Archivo:teorema-carnot-clausius.png]]</center>

Supongamos que la máquina M tiene una eficiencia mayor que la reversible. En este caso, para la misma cantidad de trabajo neto producido (pongamos una potencia de 600 MWe), M necesita menos calor que R (si R requiere 1200 MWt, pongamos que M requiere solo 1000 MWt). Entonces, si le damos la vuelta a R y la convertimos en refrigerador podríamos emplear la máquina M para hacerlo funcionar. En ese caso el resultado neto sería que estamos tomando calor del foco frío (200 MWt en nuestro ejemplo) y llevándolo al caliente, lo cual viola el enunciado de Clausius. Por tanto debe cumplirse el teorema de Carnot.

Si se trata de dos máquinas reversibles R1 y R2 entonces podemos darle la vuelta a cualquiera de ellas, por lo que se cumple

<center><math>\left.\begin{matrix}\eta^\mathrm{rev}_{R1} & \leq & \eta^\mathrm{rev}_{R2} \\ & \\ \eta^\mathrm{rev}_{R2} & \leq & \eta^\mathrm{rev}_{R1}\end{matrix}\right\} \qquad\Rightarrow\qquad \eta^\mathrm{rev}_{R1} = \eta^\mathrm{rev}_{R2}</math></center>

El teorema de Carnot es equivalente al de Kelvin-Planck, pero da un resultado mucho más concreto que éste.

El de Kelvin-Planck simplemente nos dice que no existe la máquina perfecta con rendimiento del 100%. El teorema de Carnot nos dice además que existe un máximo para ese rendimiento e incluso establece cómo hallar ese máximo. Basta con calcular el rendimiento de una máquina reversible que actúe entre las dos temperaturas indicadas.

Máquinas reversibles puede haber muchas con diferentes soportes (solo gas, agua y vapor, materiales magnéticos,…) por lo que puede resultar sorprendente que el rendimiento de todas ellas sea el mismo si trabajan entre las mismas temperaturas.

Puesto que ya conocemos una máquina reversible, la de Carnot, este teorema nos da un límite preciso para el rendimiento de una máquina térmica

<center><math>\eta \leq \eta^\mathrm{rev}=1-\frac{T_F}{T_C}</math></center>

Llegado al límite del rendimiento fijado por el teorema de Carnot, la única forma de aumentar este rendimiento es o bien bajando la temperatura del foco frío (lo cual suele ser imposible, al tratarse del ambiente) o elevar la del foco caliente.

Para una entrada de calor dada, el teorema de Carnot establece un valor máximo del trabajo

<center><math>W_\mathrm{out,neto}\leq \left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}</math></center>

y un valor minimo del calor de desecho

<center><math>Q_\mathrm{out}\geq \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}</math></center>

Equivalentemente, si lo que tenemos es el trabajo producido, nos da valores mínimos para el calor consumido y para el calor de desecho.
===Aplicación a refrigeradores y bombas de calor===
La aplicación del teorema de Carnot a un refrigerador establece que el COP máximo lo da un refrigerador que opere según un ciclo reversible, como el de Carnot. Este valor máximo es

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{Q_\mathrm{in}}{Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}} \leq \mathrm{COP}_\mathrm{R}^\mathrm{rev}=\frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>

Para un frigorífico que mantiene los productos a 5°C en una habitación a 22°C este valor máximo es 16.4. Un frigorífico real posee un COP en torno a 4.

Esto quiere decir que el COP de un refrigerador no tiene un valor ilimitado, sino que se encuentra acotado en el rango

<center><math>0 \leq \mathrm{COP}_R \leq \frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>

Para una bomba de calor, el COP máximo lo da también una bomba reversible, siendo su valor máximo

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{BC} = \frac{Q_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}}\leq \mathrm{COP}_\mathrm{BC}^\mathrm{rev}=\frac{T_C}{T_C-T_F}</math></center>

Una bomba de calor que mantiene una habitación a 22°C mientras el exterior está a 5°C tiene un coeficiente de desempeño máximo de 17.4 (uno más que para el frigorífico).

Esto da el rango de valores admisibles para el COP de una bomba de calor

<center><math>1 \leq \mathrm{COP}_\mathrm{BC} \leq \frac{T_C}{T_C-T_F}</math></center>

==Rendimiento de la segunda ley==
Puesto que el rendimiento de una máquina M siempre va a ser menor o igual que el de una máquina reversible R que opere entre las misma temperaturas, puede definirse el rendimiento relativo al máximo posible

<center><math>\epsilon = \frac{\eta}{\eta^\mathrm{rev}}=\frac{T_C}{T_C-T_F}\eta</math></center>

Este rendimiento relativo se conoce como ''rendimiento de la segunda ley'' y nos informa de cómo de eficiente es una máquina comparado con lo que podría alcanzar teóricamente.

Así, si tenemos dos máquinas diferentes, ambas con un rendimiento del 30%, pero la primera opera entre 300K y 600K, mientras que la segunda opera entre 300K y 1200K, entonces la primera máquina es más eficiente que la segunda, ya que

<center><math>\epsilon_1 = \frac{0.30}{0.50}=60\%\qquad\qquad \epsilon_2 = \frac{0.30}{0.75} = 40\%</math></center>

y la primera máquina está más cerca del ideal que la segunda.

Análogamente pueden definirse los coeficientes de desempeño de la segunda ley, como la proporción respecto al máximo posible de un refrigerador o una bomba de calor reversibles.

==Trabajo perdido==
===Para una máquina térmica===
El que el rendimiento de una máquina térmica sea siempre inferior al de una máquina reversible permite definir el ''trabajo perdido'' como la diferencia entre el que podría haber realizado la máquina y que realiza de verdad.

<center><math>W_\mathrm{per} =W_\mathrm{out,neto}^\mathrm{rev}- W_\mathrm{out,neto}\,</math></center>

Podemos expresar este resultado en función del calor que entra y sale de la máquina

<center><math>
W_\mathrm{out,neto} = Q_\mathrm{in}-Q_\mathrm{out}\qquad\qquad W_\mathrm{out,neto}^\mathrm{rev}=\eta^\mathrm{rev}Q_\mathrm{in}=\left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}\qquad\Rightarrow\qquad W_\mathrm{per} = Q_\mathrm{out}-\frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}</math></center>

Vemos que el trabajo perdido equivale a la diferencia entre el calor de desecho que se produce realmente y el que se produciría si la máquina fuera óptima.

===Para un refrigerador===
De la misma manera, puede calcularse el trabajo extra necesario para hacer funcionar un refrigerador por el hecho de no ser reversible.

<center><math>W_\mathrm{per}=W_\mathrm{in}-W_\mathrm{in}^\mathrm{rev}\,</math></center>

Para la misma cantidad de calor extraído, esta diferencia es igual a la diferencia entre el calor de desecho en un refrigerador real y uno ideal

<center><math>W_\mathrm{per}=Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{out}^\mathrm{rev}\,</math></center>

En un refrigerador reversible se cumple

<center><math>Q_\mathrm{out}^\mathrm{rev}=\frac{T_C}{T_F}Q_\mathrm{in}</math></center>

por lo que el trabajo perdido es igual a

<center><math>W_\mathrm{per} = Q_\mathrm{out}-\frac{T_C}{T_F}Q_\mathrm{in}</math></center>

===Para una bomba de calor===
Operando igualmente para una bomba de calor

<center><math>W_\mathrm{per}=W_\mathrm{in}-W_\mathrm{in}^\mathrm{rev}\,</math></center>

Para la misma cantidad de calor vertida al foco frío, este trabajo equivale a la diferencia entre el calor que se extrae en un caso y en otro

<center><math>W_\mathrm{per}=Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}-Q_\mathrm{in}\,</math></center>

En el caso reversible

<center><math>Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}=\frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{out}</math></center>

por lo que

<center><math>W_\mathrm{per} = \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}</math></center>

[[Categoría:Segundo principio de la termodinámica (GIE)]]
[[Categoría:Termodinámica (GIE)]]

Segundo principio de la termodinámica (GIE)

2021-05-17T10:26:47Z

Anamaram: /* Procesos reversibles e irreversibles */

==Introducción==
El [[Primer_principio_de_la_termodinámica_(GIE)|primer principio de la termodinámica]] establece que la energía interna puede aumentar porque se realice trabajo sobre el sistema o porque se introduzca calor en él. Desde este punto de vista calor y trabajo son equivalentes. Sin embargo, la experiencia diaria nos muestra que no es así, sino que existe una diferencia esencial entre ambos mecanismos de transferencia de energía. Podemos trasformar todo el trabajo en calor, pero no podemos transformar todo el calor en trabajo (si descendemos por una cuerda nos calentamos las manos, pero si nos calentamos las manos poniéndolas al sol, esto no nos hace subir la cuerda).

Igualmente, la experiencia nos muestra que existe una dirección en el que ocurren los fenómenos. Sabemos que el calor va de los cuerpos calientes a los fríos y no al revés; que un gas tiende a expandirse ocupando todo el volumen posible, y no a contraerse; que por consecuencia de la fricción los cuerpos se paran, no se aceleran.

Este sentido de evolución de los sistemas no está contenido en el primer principio de la termodinámica, sino que requiere un principio adicional, conocido como Segundo Principio de la Termodinámica.

==Enunciado de Clausius==
El ''enunciado de Clausius'' del Segundo Principio de la Termodinámica prohíbe la existencia de refrigeradores ideales

<blockquote>''Es imposible un proceso que tenga como único resultado el paso de calor de un foco frío a un foco caliente''</blockquote>

<center>[[Imagen:clausius-02.png]]</center>

Como el enunciado de Kelvin-Planck, el enunciado de Clausius está formulado de manera negativa. Expresa un hecho empírico. En términos llanos, el enunciado de Clausius nos dice que para enfriar algo por debajo de la temperatura ambiente es necesario un trabajo adicional, esto es, que un frigorífico no funciona si no se enchufa

El enunciado de Clausius establece un sentido para la propagación del calor. Éste fluye de manera espontánea de los cuerpos calientes a los fríos, nunca a la inversa.

==Enunciado de Kelvin-Planck==
A la hora de aumentar la eficiencia de una máquina, el primer objetivo sería reducir, o eliminar si es posible, el calor de desecho <math>Q_\mathrm{out}</math>.

[[Archivo:esquema-maquina-vapor.png|300px|right]]

Se pueden plantear dos posibilidades

* ¿Es posible eliminar el condensador y que una máquina térmica que no genere calor de desecho, sino que todo el calor absorbido se transforme en trabajo neto? Por ejemplo, podría usarse la turbina para enfriar directamente el vapor y reenviarlo a la caldera, sin pasar por un condensador donde se ceda calor al ambiente sin realizar trabajo útil.

* ¿Es posible una reutilización del calor de desecho, de forma que se haga recircular y se incluya en el calor absorbido? La idea sería que el calor de desecho contribuya a calentar el vapor, en lugar de arrojarlo al exterior.

La respuesta a ambas preguntas es negativa.

El enunciado de Kelvin-Planck del Segundo Principio de la Termodinámica es el siguiente:

<blockquote>''Es imposible construir una máquina que, operando en un ciclo, produzca como único efecto la extracción de calor de un foco y la realización de una cantidad equivalente de trabajo''</blockquote>

<center>[[Imagen:kelvin-planck-01.png]]</center>

Este enunciado refleja un hecho empírico y no se deduce de ninguna ley previa.

El enunciado de Kelvin-Planck afirma que es imposible construir una máquina que tenga un rendimiento del 100%. Siempre habrá calor de desecho que, en la mayoría de los casos equivale a más de la mitad del calor absorbido.

Es importante señalar que el enunciado de Kelvin-Planck habla de procesos ''cíclicos'', que dejan al sistema en un estado final igual al inicial. Sí es posible transformar calor en trabajo si el estado final es diferente del inicial. Por ejemplo en una expansión isoterma de un gas, todo el calor que entra se transforma íntegramente en trabajo, pero al final el volumen del gas es diferente del inicial.

==Equivalencia entre enunciados==
Es fácil probar que el enunciado de Kelvin-Planck y el de Clausius son equivalentes, aunque hablen de cosas completamente diferentes (uno del rendimiento de máquinas térmicas y el otro de la dirección en que fluye el calor). Para ello basta suponer que uno de ellos no se cumple y demostrar que ello implica que el otro tampoco. Al efectuar la demostración en los dos sentidos, se llega a que son equivalentes.

Supongamos en primer lugar que no se verifica el enunciado de Kelvin-Planck, es decir, existe una máquina que transforma íntegramente el calor en trabajo. En ese caso basta con utilizar un trabajo para alimentar un refrigerador

<center>[[Archivo:kelvin-planck-clausius.png]]</center>

De esta forma el trabajo se emplea en absorber una cierta cantidad de calor del foco frío y cederla al foco caliente. Si ahora consideramos el conjunto de las dos máquinas como un solo dispositivo ya no hay trabajo en el sistema (ya que sería puramente interno) el único efecto sería el trasvase de calor del foco frío al caliente. Esto constituye una violación del enunciado de Clausius. Por tanto, si no se cumple el enunciado de Kelvin-Planck tampoco se cumple el de Clausius.

Supongamos ahora que no se cumple el enunciado de Clausius y que existe un proceso que es capaz de absorber calor de un foco frío y cederlo a uno caliente. En este caso, nos basta con usar este dispositivo como “bomba de achique” para devolver el calor de desecho de una máquina térmica al foco caliente. En ese caso el resultado neto es que una cierta cantidad de calor se convierte íntegramente en trabajo, lo que constituye una violación del enunciado de Kelvin-Planck.

<center>[[Archivo:clausius-kelvin-planck.png]]</center>

Por tanto, si no se cumple el primero no se cumple el segundo y viceversa. O los dos enunciados son ciertos (lo que corrobora la experiencia hasta el momento) o los dos son falsos.

Podemos ver cómo los dos enunciados se relacionan en la práctica. Una de las posibilidades teóricas que podrían plantearse para mejorar el rendimiento de una máquina de vapor sería enviar el calor de desecho en lugar de al ambiente, a la caldera, permitiendo el aprovechamiento de todo el calor que entra en la máquina. Sabemos que esto viola el enunciado de Kelvin-Planck. Es fácil ver que también viola el de Clausius: el vapor realiza trabajo moviendo la turbina. Al hacerlo se enfría, ya que el trabajo se hace a costa de la energía interna del vapor. Por tanto, el vapor que llega al condensador está más frío que el que sale de la caldera. Para reconducir el calor del condensador a la caldera tendríamos que hacer pasar calor de un punto más frío a uno más caliente, lo cual es imposible.

==Procesos reversibles e irreversibles==
El segundo principio establece que existen procesos que pueden recorrerse en un sentido, pero no el opuesto. Podemos transformar íntegramente el trabajo en calor (es lo que hace una estufa de resistencias), pero no el calor en trabajo (ya que lo prohíbe el enunciado de Kelvin-Planck). Los ejemplos cotidianos abundan: si colocamos una taza de café caliente en el ambiente, el café se enfría, nunca se calienta más. Si vertemos azúcar en agua, no podemos invertir la disolución.

El Segundo Principio, por tanto, permite clasificar los procesos en ''reversibles'' e ''irreversibles''.
Existen dos formas de definir los procesos reversibles, que expresan el mismo hecho, pero no se ha probado que sean equivalentes.

* Un '''proceso reversible''' es aquel:
:* que se puede recorrer en los dos sentidos, pasando exactamente por los mismos estados, de forma que el estado final ''del sistema'' y ''del entorno'' sea exactamente igual al inicial, es decir, que el proceso se puede deshacer sin dejar ninguna huella.
:* cuyo sentido puede invertirse mediante un cambio infinitesimal de las condiciones del entorno.

Un '''proceso irreversible''' es el que no es reversible.

Una violación de la primera definición sería la siguiente: imaginemos un cilindro con dos cámaras, estando una llena de aire y en la otra se ha hecho el vacío. Las cámaras están separadas por un diafragma. La cámara vacía está limitada por un pistón que puede moverse.
<center>[[Archivo:irreversible-01.png|425px]][[Archivo:irreversible-02.png|425px]][[Archivo:irreversible-03.png|425px]][[Archivo:irreversible-04.png|425px]]</center>
Si mediante una perforación dejamos que escape el aire a la cámara vacía, no se realiza trabajo alguno, ya que no hay presión externa. Si ahora devolvemos el aire a su tamaño inicial con el pistón, debemos realizar un trabajo. Por tanto el proceso es irreversible, ya que aunque el sistema ha vuelto a su estado inicial, el entorno no lo ha hecho, ya que ha debido realizar un trabajo neto (y ha absorbido una cantidad equivalente de calor).

Como ejemplo de la segunda versión sea un sistema formado por un recipiente con agua en equilibrio térmico con hielo a 1 atm de presión. El sistema estará a 0.00°C.

Supongamos que el conjunto se encuentra rodeado por un baño térmico a +0.01°C. Sabemos que el hielo se irá derritiendo progresivamente, pasando a ser agua líquida. Si ahora cambiamos la temperatura exterior a -0.01°C, el hielo volverá a crecer, a costa de la congelación de agua. Hemos invertido el proceso mediante un cambio infinitesimal del entorno y el proceso es reversible.

Si en cambio el baño exterior está a 20.01°C sabemos que el hielo se derretirá. Si ahora pasamos la temperatura exterior a 19.99°C el hielo se seguirá derritiendo, por lo que no se invierte el proceso. Este proceso es irreversible.

Más en general, siempre que tengamos una diferencia finita de temperaturas entre un sistema y su entorno o entre diferentes partes de un sistema, tendremos un proceso irreversible.

Un razonamiento análogo se puede hacer analizando la expansión de un gas frente a una presión exterior. Si hay una diferencia finita de presiones es irreversible, si la diferencia es infinitesimal será reversible.

“Reversible” no es lo mismo que “cuasiestático”. Todos los procesos reversibles deben ser cuasiestáticos, pero no todos los cuasiestáticos son reversibles. Por ejemplo, un café inicialmente a 40°C que que deja metido en un termo, estando el ambiente a 20°C, se va enfriando gradualmente; podrá enfriarse muy poquito a poco, de manera aproximadamente cuasiestática, pero irreversible.

Todos los procesos reales son irreversibles, si bien existen procesos más o menos ideales, que se acercan a la reversibilidad. Los procesos reversibles permiten establecer además criterios de máximos o mínimos para los procesos reales. Por ejemplo, el máximo rendimiento de una máquina térmica se obtiene si esta opera reversiblemente.

Existen numerosas causas de irreversibilidad, mecánicas, térmicas, químicas,… A su vez, pueden ser ''externas'' o ''internas''.

;Irreversibilidad interna: es la que se produce dentro del sistema, debido a que este no se encuentra en equilibrio. Por ejemplo, al comprimir un gas bruscamente, el gas próximo al pistón posee una presión mayor que los puntos alejados (produciéndose una onda de sonido). En este momento el gas no se encuentra en equilibrio (no existe la “presión del sistema”) y evoluciona de forma irreversible. Otro ejemplo sería la inmersión de un trozo de hielo en agua caliente, la diferencia finita de temperaturas entre partes de un sistema provoca irreversibilidad

;Irreversibilidad externa: es aquella en la que quizás el sistema evoluciona reversiblemente, por ejemplo, porque su temperatura varía lentamente (como le ocurre al café contenido en un termo), pero aun así el proceso es irreversible porque la interacción con el entorno es irreversible (en el caso del café, porque existe una diferencia finita de temperaturas entre el interior del termo y el ambiente).

Así, tenemos:

* Irreversibilidad mecánica:
** Externa: Se deben a la transformación de trabajo en calor por la interacción del sistema con el entorno. El ejemplo más sencillo es la ''fricción''. Consideremos el movimiento de ida y vuelta de un pistón en un cilindro, que roza tanto a la ida como a la vuelta. Es un proceso cíclico que transforma trabajo en calor. Su inversión significaría la transformación cíclica de calor en trabajo, lo que es imposible. Por ello, todo proceso mecánico que implique fricción (esto es, todos) es irreversible.
** Interna: Se debe a la conversión de trabajo en calor en el interior del sistema. Puede ser por fricción interna. Otro ejemplo es la expansión libre de un gas (el experimento de Joule). No hay trabajo ni intercambio de calor con el sistema, pero el proceso es irreversible.
* Irreversibilidad térmica:
** Externa: Se debe al intercambio de calor con el exterior de forma irreversible. El caso más importante es debido a una diferencia finita de temperaturas con el entorno. Su inversión implicaría que el calor debe pasar del cuerpo más frío al más caliente, lo que viola el enunciado de Clausius. Solo cuando es infinitesimal la diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno puede producirse una transferencia reversible de calor.
** Interna: Debido a las transferencias de calor entre distintas partes de un mismo sistema.
* Otras irreversibilidades: Aparte de las mecánicas y térmicas tenemos irreversibilidades químicas (debidas a las reacciones espontáneas), de mezclas y disoluciones, la producción de calor por efecto Joule, etc.

Como vemos, son tantas las causas de irreversibilidad que es difícil imaginar un proceso reversible. Debe ser cuasiestático (para que el sistema esté siempre en equilibrio), sin fricción, manteniendo en todo momento la misma temperatura que el exterior, etc. Por ello los procesos reversibles son solo idealizaciones útiles.

De la irreversibilidad térmica se deduce que una condición necesaria para que un proceso sea reversible debe ser:
* Si hay intercambio de calor, el proceso debe ser isotermo (debe haber una diferencia infinitesimal de temperatura entre el sistema y su ambiente).
* Recíprocamente, si existe una diferencia finita de temperaturas entre el sistema y el ambiente, el proceso debe ser adiabático.

Un proceso reversible tiene la ventaja teórica de que, como su nombre indica, puede invertirse su recorrido. Entonces, podemos considerarl un camino que va de A a B y uno de B a A exactamente por la misma curva, de manera que

<center><math>W_{B\to A} = -W_{A\to B}\qquad\qquad Q_{B\to A} = -Q_{A\to B}\qquad\qquad \Delta E_{B\to A} = -\Delta E_{A\to B}</math></center>

Con los irreversibles no se puede hacer esto, ya que el camino inverso a uno irreversible no existe. Podremos devolver el sistema a su estado inicial pero por otro proceso y realizando un trabajo diferente.

==Máquinas térmicas reversibles==
Una máquina reversible es una que puede operar en ambos sentidos, esto es, tanto como motor como como refrigerador. Esta máquina debe funcionar describiendo una serie de procesos cada uno de los cuales debe ser reversible (esto es, son procesos cuyo sentido de evolución se puede invertir mediante un cambio infinitesimal de las condiciones del entorno).

El concepto de máquina reversible, como el de proceso reversible, es una idealización. No existen máquinas reversibles en el mundo real, sino que deben considerarse como el límite al que tienden máquinas irreversibles cada vez más perfeccionadas.

El ejemplo más sencillo de máquina reversible es el de la máquina de Carnot, la cual opera según un [[Ciclo de Carnot (GIE)|ciclo de Carnot]] reversible. En un ciclo de Carnot tenemos

* Una compresión y una expansión isotermas; si en cada una la temperatura del sistema es la misma del ambiente, pueden ser reversibles, aunque haya intercambio de calor.

* Una compresión y una expansión adiabáticas. En estas, aunque haya una diferencia finita de temperaturas con el ambiente, no se intercambia calor, por lo que pueden ser reversibles.

Por supuesto, la reversibilidad del ciclo de Carnot requiere además que se eliminen todas las irreversibilidades mecánicas. Por ello, se trata de un motor puramente ideal. Cuando esta máquina se invierte se convierte en un refrigerador (o bomba de calor) de Carnot.

El rendimiento de una máquina de Carnot reversible es

<center><math>\eta^\mathrm{rev} = 1-\frac{T_F}{T_C}</math></center>

Esto quiere decir que si tenemos una máquina de Carnot que opera entre dos temperaturas y absorbe un calor <math>Q_\mathrm{in}</math> el trabajo que realiza vale

<center><math>W_\mathrm{out}^\mathrm{rev}=\eta^\mathrm{rev} Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}=\left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}</math></center>

y el calor que desecha es

<center><math>Q_\mathrm{out}^\mathrm{rev}=Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}-W_\mathrm{out}^\mathrm{rev}= \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}</math></center>

Si ahora a esa máquina reversible le damos la vuelta y la convertimos en un refrigerador, el calor que absorbe es el que antes emitía. El trabajo necesario para operar es el mismo que antes producía y el calor que ahora desecha es el que antes absorbía

<center><math>{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'=Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}\qquad\qquad {W^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'=W^\mathrm{rev}_\mathrm{out}\qquad\qquad {Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}}'=Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}</math></center>

cumpliéndose en ese caso las relaciones

<center><math>{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}}'={Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'+{W^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'= \frac{T_C}{T_F}{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'</math></center>

mientras que el coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot vale

<center><math>\mathrm{COP}_R^\mathrm{rev}=\frac{{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'}{{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{out}}'-{Q^\mathrm{rev}_\mathrm{in}}'}=\frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>

==Teorema de Carnot==
El ''teorema de Carnot'' es un enunciado alternativo del Segundo Principio de la termodinámica, que se formula a partir de la comparación entre máquinas reversibles y máquinas irreversibles como:

<blockquote>''El rendimiento de una máquina térmica M que opere entre dos focos no puede ser superior que el de una máquina reversible R que opere entre los mismos focos''</blockquote>

<center><math>\eta_M \leq \eta_R^\mathrm{rev}\,</math></center>

<blockquote>''cumpliéndose la igualdad si la máquina M es también reversible y la desigualdad si es irreversible.''</blockquote>

Puede demostrarse que el teorema de Carnot es equivalente al enunciado de Clausius. Ello se hace por reducción al absurdo.

<center>[[Archivo:teorema-carnot-clausius.png]]</center>

Supongamos que la máquina M tiene una eficiencia mayor que la reversible. En este caso, para la misma cantidad de trabajo neto producido (pongamos una potencia de 600 MWe), M necesita menos calor que R (si R requiere 1200 MWt, pongamos que M requiere solo 1000 MWt). Entonces, si le damos la vuelta a R y la convertimos en refrigerador podríamos emplear la máquina M para hacerlo funcionar. En ese caso el resultado neto sería que estamos tomando calor del foco frío (200 MWt en nuestro ejemplo) y llevándolo al caliente, lo cual viola el enunciado de Clausius. Por tanto debe cumplirse el teorema de Carnot.

Si se trata de dos máquinas reversibles R1 y R2 entonces podemos darle la vuelta a cualquiera de ellas, por lo que se cumple

<center><math>\left.\begin{matrix}\eta^\mathrm{rev}_{R1} & \leq & \eta^\mathrm{rev}_{R2} \\ & \\ \eta^\mathrm{rev}_{R2} & \leq & \eta^\mathrm{rev}_{R1}\end{matrix}\right\} \qquad\Rightarrow\qquad \eta^\mathrm{rev}_{R1} = \eta^\mathrm{rev}_{R2}</math></center>

El teorema de Carnot es equivalente al de Kelvin-Planck, pero da un resultado mucho más concreto que éste.

El de Kelvin-Planck simplemente nos dice que no existe la máquina perfecta con rendimiento del 100%. El teorema de Carnot nos dice además que existe un máximo para ese rendimiento e incluso establece cómo hallar ese máximo. Basta con calcular el rendimiento de una máquina reversible que actúe entre las dos temperaturas indicadas.

Máquinas reversibles puede haber muchas con diferentes soportes (solo gas, agua y vapor, materiales magnéticos,…) por lo que puede resultar sorprendente que el rendimiento de todas ellas sea el mismo si trabajan entre las mismas temperaturas.

Puesto que ya conocemos una máquina reversible, la de Carnot, este teorema nos da un límite preciso para el rendimiento de una máquina térmica

<center><math>\eta \leq \eta^\mathrm{rev}=1-\frac{T_F}{T_C}</math></center>

Llegado al límite del rendimiento fijado por el teorema de Carnot, la única forma de aumentar este rendimiento es o bien bajando la temperatura del foco frío (lo cual suele ser imposible, al tratarse del ambiente) o elevar la del foco caliente.

Para una entrada de calor dada, el teorema de Carnot establece un valor máximo del trabajo

<center><math>W_\mathrm{out,neto}\leq \left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}</math></center>

y un valor minimo del calor de desecho

<center><math>Q_\mathrm{out}\geq \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}</math></center>

Equivalentemente, si lo que tenemos es el trabajo producido, nos da valores mínimos para el calor consumido y para el calor de desecho.
===Aplicación a refrigeradores y bombas de calor===
La aplicación del teorema de Carnot a un refrigerador establece que el COP máximo lo da un refrigerador que opere según un ciclo reversible, como el de Carnot. Este valor máximo es

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{Q_\mathrm{in}}{Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}} \leq \mathrm{COP}_\mathrm{R}^\mathrm{rev}=\frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>

Para un frigorífico que mantiene los productos a 5°C en una habitación a 22°C este valor máximo es 16.4. Un frigorífico real posee un COP en torno a 4.

Esto quiere decir que el COP de un refrigerador no tiene un valor ilimitado, sino que se encuentra acotado en el rango

<center><math>0 \leq \mathrm{COP}_R \leq \frac{T_F}{T_C-T_F}</math></center>

Para una bomba de calor, el COP máximo lo da también una bomba reversible, siendo su valor máximo

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{BC} = \frac{Q_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}}\leq \mathrm{COP}_\mathrm{BC}^\mathrm{rev}=\frac{T_C}{T_C-T_F}</math></center>

Una bomba de calor que mantiene una habitación a 22°C mientras el exterior está a 5°C tiene un coeficiente de desempeño máximo de 17.4 (uno más que para el frigorífico).

Esto da el rango de valores admisibles para el COP de una bomba de calor

<center><math>1 \leq \mathrm{COP}_\mathrm{BC} \leq \frac{T_C}{T_C-T_F}</math></center>

==Rendimiento de la segunda ley==
Puesto que el rendimiento de una máquina M siempre va a ser menor o igual que el de una máquina reversible R que opere entre las misma temperaturas, puede definirse el rendimiento relativo al máximo posible

<center><math>\epsilon = \frac{\eta}{\eta^\mathrm{rev}}=\frac{T_C}{T_C-T_F}\eta</math></center>

Este rendimiento relativo se conoce como ''rendimiento de la segunda ley'' y nos informa de cómo de eficiente es una máquina comparado con lo que podría alcanzar teóricamente.

Así, si tenemos dos máquinas diferentes, ambas con un rendimiento del 30%, pero la primera opera entre 300K y 600K, mientras que la segunda opera entre 300K y 1200K, entonces la primera máquina es más eficiente que la segunda, ya que

<center><math>\epsilon_1 = \frac{0.30}{0.50}=60\%\qquad\qquad \epsilon_2 = \frac{0.30}{0.75} = 40\%</math></center>

y la primera máquina está más cerca del ideal que la segunda.

Análogamente pueden definirse los coeficientes de desempeño de la segunda ley, como la proporción respecto al máximo posible de un refrigerador o una bomba de calor reversibles.

==Trabajo perdido==
===Para una máquina térmica===
El que el rendimiento de una máquina térmica sea siempre inferior al de una máquina reversible permite definir el ''trabajo perdido'' como la diferencia entre el que podría haber realizado la máquina y que realiza de verdad.

<center><math>W_\mathrm{per} =W_\mathrm{out,neto}^\mathrm{rev}- W_\mathrm{out,neto}\,</math></center>

Podemos expresar este resultado en función del calor que entra y sale de la máquina

<center><math>
W_\mathrm{out,neto} = Q_\mathrm{in}-Q_\mathrm{out}\qquad\qquad W_\mathrm{out,neto}^\mathrm{rev}=\eta^\mathrm{rev}Q_\mathrm{in}=\left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}\qquad\Rightarrow\qquad W_\mathrm{per} = Q_\mathrm{out}-\frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}</math></center>

Vemos que el trabajo perdido equivale a la diferencia entre el calor de desecho que se produce realmente y el que se produciría si la máquina fuera óptima.

===Para un refrigerador===
De la misma manera, puede calcularse el trabajo extra necesario para hacer funcionar un refrigerador por el hecho de no ser reversible.

<center><math>W_\mathrm{per}=W_\mathrm{in}-W_\mathrm{in}^\mathrm{rev}\,</math></center>

Para la misma cantidad de calor extraído, esta diferencia es igual a la diferencia entre el calor de desecho en un refrigerador real y uno ideal

<center><math>W_\mathrm{per}=Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{out}^\mathrm{rev}\,</math></center>

En un refrigerador reversible se cumple

<center><math>Q_\mathrm{out}^\mathrm{rev}=\frac{T_C}{T_F}Q_\mathrm{in}</math></center>

por lo que el trabajo perdido es igual a

<center><math>W_\mathrm{per} = Q_\mathrm{out}-\frac{T_C}{T_F}Q_\mathrm{in}</math></center>

===Para una bomba de calor===
Operando igualmente para una bomba de calor

<center><math>W_\mathrm{per}=W_\mathrm{in}-W_\mathrm{in}^\mathrm{rev}\,</math></center>

Para la misma cantidad de calor vertida al foco frío, este trabajo equivale a la diferencia entre el calor que se extrae en un caso y en otro

<center><math>W_\mathrm{per}=Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}-Q_\mathrm{in}\,</math></center>

En el caso reversible

<center><math>Q_\mathrm{in}^\mathrm{rev}=\frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{out}</math></center>

por lo que

<center><math>W_\mathrm{per} = \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in}</math></center>

[[Categoría:Segundo principio de la termodinámica (GIE)]]
[[Categoría:Termodinámica (GIE)]]

Coeficientes de inducción mutua y autoinducción (GIE)

2021-04-24T21:23:26Z

Anamaram: /* Caso de dos espiras */

==Autoinducción==
===Concepto===
Cuando se tiene una espira cerrada por la cual circula una corriente variable en el tiempo, esa corriente produce un campo magnético (de acuerdo con la ley de Biot y Savart), el cual será también variable en el tiempo. Este campo tendrá un flujo magnético a través de la propia espira, y será también variable en el tiempo. De acuerdo con la ley de Faraday, un flujo magnético variable en el tiempo induce una fuerza electromotriz en la espira. Esta f.e.m. hay que añadirla a las otras que hubiera y por tanto modifica a la propia corriente.

<center>[[Archivo:Ejemplo-autoinduccion.png]]</center>

Por tanto, una corriente variable en el tiempo produce un efecto sobre sí misma, debido al campo magnético que genera. Este efecto se denomina autoinducción.

===Coeficiente de autoinducción===
El campo magnético debido a una corriente eléctrica, según la ley de Biot y Savart es proporcional a la intensidad de corriente que lo causa. Asimismo, este campo verifica la regla de la mano derecha respecto a la corriente.

Dada una curva cerrada <math>C</math>, el flujo magnético lo da la integral

<center><math>\Phi_m = \int_S \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}</math></center>

siendo S una superficie abierta apoyada en C y orientada según la regla de la mano derecha (es decir, en el mismo sentido que el campo magnético).

<center>[[Archivo:Autoflujo-magnetico.png]]</center>

Al ser el campo proporcional a la intensidad de corriente, también lo será su flujo

<center><math>\Phi_m = L I\,</math></center>

siendo <math>L</math> el denominado ''coeficiente de autoinducción'', cuya unidad es el Henrio (H)

<center><math>1\,\mathrm{H} = \frac{1\,\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{A}} = 1\,\Omega\cdot \mathrm{s}
</math></center>

Por aplicación de la regla de la mano derecha, se llega a que este coeficiente es siempre positivo.

El coeficiente de autoinducción es una propiedad global del circuito. Sin embargo, dado a que a menudo el campo magnético es mucho más intenso en las bobinas presentes, puede considerarse que el flujo magnético se concentra en ellas y asignarle el valor de la autoinducción como algo localizado.

La fuerza electromotriz debida a la presencia de la autoinducción se calcula mediante la derivada

<center><math>\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(LI)</math></center>

Si la espira es rígida (lo que es lo habitual), el coeficiente de autoinducción es constante y puede salir de la derivada, quedando el resultado más familiar

<center><math>\mathcal{E}=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}</math></center>

===Comportamiento de un circuito===
Supongamos una espira rígida caracterizada por una resistencia eléctrica <math>R</math> y un coeficiente de autoinducción <math>L</math>. Si esta espira se encuentra sometida a una fuera electromotriz externa (causada por un campo magnético aplicado, o por un generador), la ecuación para la corriente que pasa por el circuito es

<center><math>IR=\mathcal{E}_g+\mathcal{E}_L = \mathcal{E}_g-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR = \mathcal{E}_g</math></center>

Podemos leer esta ecuación diferencial como que existe solo una fuente de tensión, <math>\mathcal{E}_g</math> que alimenta a dos elementos en serie:

<center><math>\mathcal{E}_g = (\Delta V)_L+(\Delta V)_R</math></center>

* Una resistencia R sin autoinducción, <math>(\Delta V)_R = IR</math>
* Una autoinducción L sin resistencia, <math>(\Delta V)_L = L(\mathrm{d}I/\mathrm{d}t)</math>´. que se representa con un nuevo símbolo

Así, lo que podría ser una simple anilla conductora sometida a un campo externo se modela por tres elementos de circuito. Nunca hay que olvidar que esto es un modelo. No tenemos una resistencia por un lado y una autoinducción por otro. Las dos propiedades van juntas en el mismo elemento real.

Este voltaje <math>\Delta V_L</math> es justamente el que mediría un voltímetro conectado a los extremos de una bobina ideal. Para ver por qué el signo es positivo y no negativo hay que clarificar el convenio de signos.

Supongamos un elemento de circuito, como puede ser un resistor, que tiene dos extremos A y B. Suponemos que la corriente es positiva si va de A a B (y negativa en caso contrario) Si ahora situamos un voltímetro puesto en paralelo entre los dos extremos tomamos la polaridad de forma que el voltímetro mide el voltaje

<center><math>\Delta V = V_A-V_B\,</math></center>

(si es necesario se indica con signos + en en lado de A y - en el de B). En este caso, para un resistor se cumple laey de Ohm

<center><math>\Delta V_R = V_A - V_B = IR</math></center>

Obsérvese que si se cambia el criterio de signos para la corriente o para el voltaje, esta ley aparecería con signo cambiado.

Una expresión análoga se tiene para el caso de un condensador

<center><math>\Delta V_C = \frac{Q}{C}</math></center>

donde, para que el criterio de signos sea el correcto, Q representa la carga de la placa conectada a A.

Si ahora lo aplicamos a un generador observamos que, dado que la corriente en un generador entra por su polo negativo y sale por el positivo, se cumple

<center><math>\Delta V = V_A-V_B = V_N-V_P = -(V_P-V_N)=-(\mathcal{E}-Ir)=Ir-\mathcal{E}</math></center>

que podemos leer como una asociación en serie de una resistencia interna y una fuente ideal.

Si este caso lo particularizamos para una autoinducción

<center><math>\mathcal{E}_L=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta V= Ir+L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = \Delta V_R+\Delta V_L</math></center>

===Corrientes de cierre y de ruptura===

La presencia de la autoinducción afecta a la corriente que circula por el circuito.

Consideremos el caso particular de una señal escalón, es decir, que la fuente externa se conecta en t=0 cerrando el circuito y partir de ese momento tiene un valor <math>\mathcal{E}_0</math>. Si no hubiera autoinducción, el efecto sería la aparición de una corriente continua de valor

<center><math>I_\mathrm{dc}=\frac{\mathcal{E}_0}{R}</math></center>

Debido a la autoinducción la conducta es un poco más complicada. Tenemos la ecuación

<center><math>L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR = \mathcal{E}_0\qquad\qquad I(0) = 0</math></center>

La segunda condición viene de que justo al cerrar el interruptor aun no circula corriente por la espira. La solución de esta ecuación diferencial es

<center><math>I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)\qquad\qquad \tau = \frac{L}{R}</math></center>

Esta solución nos dice que la corriente no se establece instantáneamente, sino que tiende exponencialmente a su valor estacionario. El tiempo que tarda es proporcional a <math>\tau = L/R</math>, de forma que cuando ha pasado 4 o 5 veces el valor de tau ya se puede decir que la corriente ha llegado a su valor estacionario. El efecto de la autoinducción es entonces el de retardar este establecimiento. Como consecuencia de la ley de Lenz, la f.e.m. inducida se opone al cambio y retrasa su variación, tanto más cuanto mayor sea el coeficiente de autoinducción L.

Supongamos ahora el mismo circuito, con la misma fuente, en el que ha pasado el tiempo suficiente para que circule una corriente continua <math>I_0</math>, si ahora cortocircuitamos el generador (es decir, lo mantenemos cerrado pero sin fuente externa que lo alimente), ¿desaparece instantáneamente la corriente? No. La ecuación diferencial para la corriente es ahora

<center><math>L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR = 0\qquad\qquad I(0) = I_0</math></center>

y su solución

<center><math>I(t) = I_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\qquad\qquad \tau = \frac{L}{R}</math></center>

que quiere decir que la corriente tarda un tiempo del orden de tau en extinguirse. De nuevo, el efecto de la autoinducción es retrasar el cambio, manteniendo una corriente aunque ya no haya fuente externa que la produzca. Este efecto es transitorio y usualmente muy breve. Esta es la causa de que al desconectar un aparato salte una chispa. la autoinducción intenta mantener una corriente circulando por el circuito.

===Caso de una bobina===
El ejemplo más sencillo de autoinducción lo da una bobina cilíndrica de radio <math>a</math>, gran longitud <math>h</math> y número de espiras <math>N</math>. Cuando por ella pasa una intensidad de corriente <math>I</math>, el campo magnético que produce en su interior es aproximadamente

<center><math>\vec{B}\simeq \frac{\mu_0NI}{h}\vec{k}</math></center>

siendo <math>\vec{k}</math> el unitario a lo largo del eje. El campo es nulo en su exterior. Para hallar el flujo de este campo a través de la propia bobina hay que tener en cuenta que el campo no atraviesa una sola espira, sino todas ellas, por lo que

<center><math>\Phi_m = N\phi\,</math></center>

siendo <math>\phi\,</math> el flujo a través de una espira

<center><math>\phi = \left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)\pi a^2</math></center>

lo que nos da el coeficiente de autoinducción

<center><math>L = \frac{\mu_0N^2S}{h}\qquad \qquad S = \pi a^2</math></center>

Esta bobina también tiene una resistencia eléctrica, por tratarse de un hilo de cobre enrollado. Su valor es

<center><math>R = \frac{l}{\sigma A}=\frac{2\pi Na}{\sigma A}</math></center>

siendo A la sección transversal de cable (no de la bobina; esa es S).

===Lectura de un voltímetro===
Un voltímetro es un dispositivo que mide el voltaje (es decir, la integral del campo eléctrico), a lo largo del propio voltímetro. Si este aparato se halla en una región donde no hay campo magnético, esta medida coincide con la diferencia de potencial eléctrico.

Si tenemos una bobina, en la cual la corriente entra por su extremo A y sale por su extremo B, y colocamos un voltímetro entre sus extremos, la lectura que marca es

<center><math>\Delta V = V_A-V_B = -(V_B-V_A) = -(\mathcal{E}-IR)=+L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR</math></center>

que de nuevo leemos como que tenemos dos elementos puestos en serie, aunque tengamos un solo elemento real.

==Inducción mutua==
===Concepto===
Si en lugar de una sola espira tenemos un conjunto de ellas, por las cuales circulan corrientes <math>I_k</math>, el flujo a través de una superficie <math>S_i</math> apoyada en la espira <math>i</math> tendrá una contribución por cada una de las espiras

<center><math>\Phi_{mi} =\int_{S_i}\vec{B}_1\cdot \mathrm{d}\vec{S}_i +
\int_{S_i}\vec{B}_2\cdot \mathrm{d}\vec{S}_i +\cdots =
\sum_k L_{ik}I_k</math></center>

Las cantidades <math>L_{ik}</math> para <math>i\neq k</math> se denominan coeficientes de inducción mutua. Se miden asimismo en Henrios. Para <math>i = k</math> tenemos los coeficientes de autoinducción (del cual el sistema de una sola espira es un caso particular).

Los coeficientes de inducción mutua forman una matriz simétrica

<center><math>L_{ik}=L_{ki}\,</math></center>

en la que los términos diagonales son siempre estrictamente positivos, mientras que los no diagonales pueden tener cualquier signo o ser
nulos.

<center>[[Archivo:Induccion-mutua.png]]</center>

Para conocer el signo de cada coeficiente debe aplicarse el criterio siguiente:

* Para cada espira <math>C_i</math> se asigna un sentido de recorrido de la corriente.
* La regla de la mano derecha establece el sentido de la normal <math>\vec{n}_i</math> a la superficie <math>S_i</math> apoyada en <math>C_i</math>.
* El campo magnético producido por la espira <math>C_k</math> verifica asimismo la regla de la mano derecha respecto de la corriente que lo produce.
* El flujo del campo magnético es positivo si <math>\vec{B}</math> y <math>\vec{n}</math> van el mismo sentido y negativo en caso contrario.
* Por tanto, si el campo <math>\vec{B}_k</math> entra en la espira <math>i</math> según la orientación dada por la regla de la mano derecha para esta espira, <math>L_{ik}>0</math>. En caso contrario <math>L_{ik}<0</math>.
* Como caso particular, los coeficientes de autoinducción <math>L_{kk}</math>, son siempre positivos.

===Fuerza electromotriz===
La inducción electromagnética se basa en que, a lo largo de una espira <math>C</math>, atravesada por un campo magnético cuyo flujo es variable en el tiempo, se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) dada por

<center><math>\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}</math></center>

Si en lugar de una espira tenemos <math>N</math> espiras, rígidas y en una posición relativa fija, la f.e.m. que se induce en la espira <math>i</math> tendrá contribuciones de cada una de las espiras

<center><math>\mathcal{E}_i = -\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_k L_{ik}I_k\right)= -\sum_k L_{ik}\frac{\mathrm{d}I_k}{\mathrm{d}t}</math></center>

Esta fuerza electromotriz inducida habrá que añadirla a otras posibles fuentes, como generadores de tensión.

Si las espiras no son rígidas, hay que tener cuidado con la derivación. Un caso particular importante es el de un alternador. Si tenemos una bobina que gira en el campo magnético de otra, el coeficiente de inducción mutua no es constante, sino que oscila en el tiempo de forma aproximadamente sinusoidal

<center><math>M(t) = M_0\cos(\omega t)\,</math></center>

de forma que la fuerza electromotriz inducida en la bobina en reposo (el estátor) por la bobina giratoria (el rotor) cuando por esta circula una corriente continua es una función oscilante

<center><math>\mathcal{E}_{21}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_{21}}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(M_0I_0\cos(\omega t)) = M_0I_0\omega\, \mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

Esta es la base de los generadores de corriente alterna.

===Caso de dos espiras===
Cuando solo tenemos dos espiras, el sistema se reduce a dos ecuaciones

<center><math>\begin{array}{rcl}
\Phi_1 & = & L_{11}I_1+L_{12}I_2 \\\Phi_2 & = & L_{21}I_1+L_{22}I_2
\end{array}</math></center>

pero por las propiedades de simetría, esto se reduce a tres coeficientes

<center><math>L_{1}=L_{11}\qquad\qquad M = L_{12}=L_{21}\qquad L_2=L_{22}</math></center>

siendo <math>L_1</math> y <math>L_2</math> los coeficientes de autoinducción y <math>M</math> el único coeficiente de inducción mutua. A partir de ellos se define el coeficiente de acoplamiento

<center><math>k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}</math></center>

Puede demostrarse que <math>k</math> es un número menor que la unidad en valor absoluto.

<center><math>-1 \leq k \leq +1</math></center>

Cuando k es igual a la unidad (en valor absoluto) se dice que el acoplamiento es total. En ese caso todas las líneas de campo magnético que pasan por el interior de una espira, pasan también por el interior de la otra.

<center>[[Image:dosbobinas.png]]</center>

Así, en el caso de [[Autoinducción_e_inducción_mutua_de_bobinas|dos bobinas concéntricas]] las autoinducciones de cada bobina valen

<center><math>L_1 = \frac{\mu_0 N_1^2 \pi a^2}{h}\qquad\qquad L_2 = \frac{\mu_0 N_2^2 \pi b^2}{h}</math></center>

siendo <math>N_1</math> y <math>N_2</math> el numero de vueltas de la bobina interior y exterior, y <math>a</math> y <math>b</math> sus respectivos radios (<math>b>a</math>).

El coeficiente de inducción mutua en este caso vale

<center><math>M = \frac{\mu_0 N_1N_2 \pi a^2}{h}</math></center>

siendo el coeficiente de acoplamiento

<center><math>k = \frac{\mu_0 N_1N_2 \pi a^2}{\sqrt{\mu_0N_1^2\pi a^2/h}\sqrt{\mu_0N_2^2\pi b^2/h}}=\frac{a}{b}</math></center>

Esta cantidad es siempre menor que la unidad, pues <math>a < b</math>.

==Transformador ideal==
Un modelo muy simplificado de transformador es un conjunto de dos bobinas del mismo radio pero diferente número de espiras y montadas de forma que su acoplamiento es total. Esto puede conseguirse montando una sobre otra o, lo más usual, las dos alrededor de un núcleo de hierro que conduce el flujo magnético provocando que las líneas de campo que pasan por una bobina lo hagan por la otra.

Si <math>\phi\,</math> es el flujo que atraviesa cada una de las espiras (el mismo en ambas bobinas), el flujo total en cada bobina será

<center><math>\Phi_1 = N_1\phi\qquad\qquad \Phi_2 = N_2\phi</math></center>

Si colocamos un voltímetro entre los bornes de cada bobina sus lecturas serán

<center><math>\Delta V_1 = \frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = N_1\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \qquad\qquad
\Delta V_2 = \frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = N_2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}</math></center>

y por tanto los dos voltajes son proporcionales

<center><math>\frac{\Delta V_2}{\Delta V_1}=\frac{N_2}{N_1}</math></center>

Esto quiere decir que si por la bobina 1 (el ''primario'') se establece un voltaje dependiente del tiempo <math>\Delta V_1</math>, en la bobina 2 (el “secundario”) aparece un voltaje <math>\Delta V_2</math>, relacionado por el anterior solo por la proporción entre los números de espiras. Es decir, que no depende de cómo varía la señal del primario con el tiempo, con tal de que no sea constante. Si el número de vueltas del secundario es superior al del primario, el voltaje del secundario será mayor en la misma proporción. Esto quiere decir que mediante este dispositivo se puede aumentar o reducir el voltaje a voluntad. Por ello, éste es un transformador ideal.

Podría parece que si se puede incrementar el voltaje, se puede “fabricar” energía de la nada. No es así. De la igualdad en los flujos magnéticos se puede demostrar que en un transformador ideal

<center><math>\frac{I_2}{I_1}=\frac{N_1}{N_2}</math></center>

es decir, que si el voltaje aumenta, la intensidad de corriente disminuye en la misma proporción, cumpliéndose

<center><math>P_\mathrm{in}=I_1\,\Delta V_1 = I_2\,\Delta V_2 = P_\mathrm{out}</math></center>

(en realidad sale menos de la que entra, porque siempre hay disipación por efecto Joule).

Podemos preguntarnos entonces por la utilidad de un transformador. Una importante es precisamente cambiar la intensidad de la corriente. Supongamos que tenemos una central eléctrica situada a 100km de una ciudad. Para llevar la energía eléctrica desde la central es necesario hacerla circular por un tendido eléctrico, en el cual se disipa energía por efecto Joule. Si la intensidad de corriente por este tendido es demasiado alta, las pérdidas pueden constituir una parte importante del total producido (y también hay que pagarlas). Por ello se emplea una serie de transformadores en la propia central para elevar la tensión al máximo posible. Se hace circular la corriente por un tendido de alta tensión y en la proximidad de la ciudad se vuelve a bajar la tensión a valores domésticos. Esto solo se puede hacer si la señal es variable en el tiempo, por lo que es necesario el uso de corriente alterna.
[[Categoría:Inducción electromagnética (GIE)]]

Ciclo con un proceso reversible y otro irreversible

2021-04-14T10:37:19Z

Anamaram: /* Balance total de entropía */

== Enunciado==

Un mol de un gas ideal sufre en primer lugar una expansión libre desde <math>V_1=12.4\,\mathrm{l}</math> y
<math>T_1=300\,\mathrm{K}</math> hasta <math>V_2=24.6\,\mathrm{l}</math> y <math>T_1=300\,\mathrm{K}</math>.
Luego se comprime isoterma y cuasiestáticamente, volviendo a su estado original.

#¿Cuál es la variación de entropía del Universo en el ciclo completo?
#¿Cuanto trabajo se desperdicia en este ciclo?
#Demuestre que este trabajo perdido es <math>T\Delta S_u</math>.

== Variación de entropía del Universo==
En este problema se nos plantea un sistema que recorre un ciclo, pues el estado final y el estado inicial son
el mismo. Este ciclo tiene la particularidad de que tiene una parte irreversible y otra reversible. La parte
irreversible es la expansión inicial y la reversible la compresión posterior. Ambos procesos son isotermos.
Analicemos cada uno de ellos por separado

===Expansión isoterma irreversible===
En este proceso el gas no realiza trabajo, pues la expansión es libre y no empuja ninguna pared o pistón. Como
las temperaturas inicial y final son iguales, la variación de energía interna del gas es nula. Entonces el calor
absorbido por el gas es
<center>
<math>
Q_{12}^g=\Delta U_{12}^g-W_{12}^g=0
</math>
</center>
El gas no absorbe calor durante el proceso.

La variación de entropía del gas entre los estados 1 y 2 es
<center>
<math>
\Delta S_{12}^g=\int\limits_1^2\frac{\mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}^g}{T}
</math>
</center>
donde <math>\mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}^g</math> es el calor que el gas absorbe al pasar del estado 1 y 2 a lo largo
de un proceso reversible. Como en este proceso el gas no absorbe calor podríamos estar tentados de decir que su entropía
no varía. Pero esto no sería correcto, pues '''la expansión libre es irreversible y no puede usarse para calcular la variación de entropía'''.

Para poder calcular <math>\Delta S_{12}^g</math> hemos de imaginar un proceso reversible que una los estados 1 y 2. Como
tienen la misma temperatura, este proceso imaginario puede ser una expansión isoterma reversible entre los estados 1 y 2.
En este proceso imaginario, la variación de energía interna es nula de nuevo, pero el gas realiza trabajo y absorbe calor
de su entorno. De hecho usamos el trabajo que realiza para calcular el calor que absorbe. En cada paso infinitesimal de este
proceso tenemos
<center>
<math>
\mathrm{d}U_r^g=\mathrm{d}Q_r^g+\mathrm{d}W_r^g=0\Longrightarrow
\mathrm{d}Q_r^g=-\mathrm{d}W_r^g=P\mathrm{d}V=nRT\frac{\mathrm{d}V}{V}
</math>
</center>
En cada uno de estos pasos infinitesimales la variación de entropía es
<center>
<math>
\mathrm{d}S^g=\frac{\mathrm{d}Q_r^g}{T}=nR\frac{\mathrm{d}V}{V}
</math>
</center>
y la variación de entropía total en el proceso es
<center>
<math>
\Delta S_{12}^g=\int\limits_1^2\frac{\mathrm{d}Q_r}{T}=\int\limits_1^2nR\frac{\mathrm{d}V}{V}=nR\ln\frac{V_2}{V_1}>0
</math>
</center>
EL signo es positivo pues se tiene <math>V_2>V_1</math>. El gas aumenta su entropía aunque no absorbe calor. Este incremento
de entropía proviene de la irreversibilidad del proceso.

La variación del entropía del entorno es 0, pues al no absorber calor del gas ni recibir trabajo de él su estado
no se ve alterado. Entonces
<center>
<math>
\Delta S_{12}^e=0
</math>
</center>
Y la variación de entropía del Universo es
<center>
<math>
\Delta S_{12}^u = \Delta S_{12}^g+\Delta S_{12}^e=nR\ln\frac{V_2}{V_1}=
1\,\mathrm{mol}\times8.31\mathrm{\frac{J}{mol\,K}}\times\ln\frac{24.6\,\mathrm{l}}{12.4\,\mathrm{l}}=5.69\,\mathrm{J/K}>0
</math>
</center>
La variación total de entropía del Universo es positiva pues el proceso es irreversible.

===Compresión isoterma reversible===

La entropía es una función de estado, por lo que la variación entre dos estados no depende del proceso
realizado, ya sea reversible o irreversible. Por tanto tenemos
<center>
<math>
\Delta S_{21}^g=-\Delta S_{12}^g=-nR\ln\frac{V_2}{V_1}<0
</math>
</center>
A diferencia de la expansión irreversible anterior, la variación de entropía proviene del calor cedido
por el gas en la compresión isoterma reversible.

Ahora el entorno sí que ve variar su entropía, pues absorbe calor del gas. Este proceso es, de hecho, el inverso
del proceso reversible imaginario que hemos usado para calcular la variación de entropía del gas en la expansión
irreversible. Así pues, la variación de entropía del entorno en el proceso 21 es
<center>
<math>
\Delta S_{21}^e=\int\limits_2^1\frac{\mathrm{d}Q^e}{T}=-\int\limits_2^1\frac{\mathrm{d}Q^g}{T}=\int\limits_2^1\frac{\mathrm{d}W^g}{T}=
-\int\limits_2^1\frac{P}{T}\mathrm{d}V=
-\int\limits_2^1nR\frac{\mathrm{d}V}{V}=nR\ln\frac{V_2}{V_1}>0
</math>
</center>
El aumento de entropía del entorno proviene del calor que absorbe del gas.

Entonces, la variación de entropía del Universo en la compresión es
<center>
<math>
\Delta S_{21}^u=\Delta S_{21}^g+\Delta S_{21}^e=0
</math>
</center>
La variación de entropía del Universo es cero pues el proceso es reversible.

===Balance total de entropía===
La variación total de entropía del gas, el entorno y el Universo en el ciclo completo es
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\displaystyle\Delta S^g=\Delta S_{12}^g+\Delta S_{21}^g=0\\ \\
\displaystyle\Delta S^e=\Delta S_{12}^e+\Delta S_{21}^e=nR\ln\frac{V_2}{V_1}=5.69\,\mathrm{J/K}>0\\ \\
\displaystyle\Delta S^u=\Delta S_{12}^u+\Delta S_{21}^u=nR\ln\frac{V_2}{V_1}=5.69\,\mathrm{J/K}>0
\end{array}
</math>
</center>
La variación de entropía del sistema en el ciclo es cero, pues el estado inicial y final coinciden. Pero la variación
de entropía del Universo es positiva, pues el ciclo contiene procesos irreversibles.

== Trabajo desperdiciado ==
En la expansión libre el gas no realiza trabajo. Sin embargo, si la expansión se hubiera hecho de manera reversible,
habría realizado un trabajo
<center>
<math>
W_r=-\int\limits_1^2P\mathrm{d}V=-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}<0
</math>
</center>
El trabajo lo habría hecho sobre el entorno. Es decir, al realizar el proceso de manera completamente irreversible se ha
perdido este trabajo. <math>W_r</math> representa el trabajo máximo que podríamos sacar de la expansión isoterma del gas,
<math>W_{\mathrm{max}}=|W_r|</math>.
Un proceso real en el cual el gas se expande contra un pistón no será completamente reversible, y el trabajo obtenido será
menor que <math>W_{\mathrm{max}}</math>.

== Relación entre el trabajo perdido y la variación de entropía ==
La variación de entropía del Universo puede desglosarse en la variación en cada uno de los procesos
<center>
<math>
\Delta S^u=\Delta S_{12}^u + \Delta S_{21}^u
</math>
</center>
El proceso 21 es reversible, por lo que <math>\Delta S_{21}^u=0</math>. En el proceso 12 el entorno no se ve alterado, por lo que
<math>\Delta S_{12}^e=0</math>. Por tanto
<center>
<math>
\Delta S^u=\Delta S_{12}^g=\int\limits_1^2\frac{\mathrm{d}Q_r}{T}=\frac{1}{T}\int\limits_1^2\mathrm{d}Q_r=\frac{Q_r}{T}=-\frac{W_r}{T}=
\frac{W_{\mathrm{max}}}{T}
</math>
</center>
Por tanto obtenemos
<center>
<math>
W_{\mathrm{max}}=T\Delta S^u\,
</math>
</center>
Esto nos dice que la irreversibilidad lleva asociada pérdida de trabajo útil, es decir, una degradación de la energía. En general
para que un dispositivo sea eficiente hay que diseñarlo de manera que trabaje del modo más reversible posible. Esto quiere decir
disminuir el rozamiento, hacer que las transferencias de calor se hagan entre objetos con temperaturas lo mas parecidas posible, etc.
[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica]]

Física II (GIE)

2021-04-08T11:01:32Z

Anamaram: /* Programa */

__TOC__
https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720224/electricidad-y-magnetismo-300-problemas-tipo-test-resueltos
==Programa==
==='''Bloque I:''' Termodinámica===
# Introducción a la termodinámica
## [[Sistemas termodinámicos (GIE)|Sistemas termodinámicos]]
## [[Equilibrio_t%C3%A9rmico._Temperatura_%28GIE%29|Presión y temperatura]]
## [[Los gases ideales (GIE)|Introducción al gas ideal]]
## [[Dilatación y compresibilidad (GIE)|Dilatación y compresibilidad]]
## [[Propiedades del agua]]
## [[Problemas de introducción a la termodinámica (GIE)|Problemas]]
# Primer principio de la termodinámica
## [[Trabajo en termodinámica (GIE)|Trabajo]]
## [[Calor y calorimetría]]
## [[Primer principio de la termodinámica (GIE)|Primer principio de la termodinámica]]
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## [[Máquinas térmicas (GIE)|Máquinas térmicas y ciclos termodinámicos]]
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# Segundo principio de la termodinámica
## [[Segundo principio de la termodinámica (GIE)|Enunciados y aplicaciones]]
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## [[Entropía (GIE)|Entropía]]
## [[Cálculos de entropía (GIE)|Cálculos de entropía]]
## [[Introducción a la exergía]]
## [[Problemas del segundo principio de la termodinámica (GIE)|Problemas]]
:'''Tema transversal:''' [[El gas ideal (GIE)|El gas ideal]]

==='''Bloque II:''' Electricidad y magnetismo===
# [[Introducción al electromagnetismo]]
# Electrostática en el vacío
## [[Principios de la electrostática (GIE)|Principios de la electrostática]]
## [[Ley de Gauss (GIE)|Ley de Gauss]]
## [[Potencial y energía electrostática (GIE)|Potencial y energía electrostática]]
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:'''Tema transversal:''' Circuitos eléctricos

==Exámenes y otros documentos==
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Momento de inercia de sólidos esféricos

2021-01-12T13:43:39Z

Anamaram: /* Enunciado */

==Enunciado==
Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa ''M'' y radio ''R'' alrededor de un eje que pasa por su centro.

A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa ''M'', radio interior ''R''1 y exterior ''R''2 respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio ''R''?

==Esfera maciza==
Existen diferentes formas de abordar este problema, que es un clásico de cálculo integral.

Aquí lo haremos considerando la esfera como superposición de discos de espesor diferencial.

<center>[[Archivo:momento-inercia-esferas-01.png]]</center>

Si tenemos un disco de radio <math>r</math>, altura diferencial <math>\mathrm{d}z</math>, su momento de inercia, también diferencial, es el correspondiente a un cilindro macizo

<center><math>\mathrm{d}I = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\,r^2</math></center>

siendo la masa de cada disco el producto de la densidad por el volumen

<center><math>\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V= \pi\rho r^2\,\mathrm{d}z</math></center>

La densidad de una esfera maciza homogénea es igual a la masa total dividida por el volumen total

<center><math>\rho = \frac{M}{4\pi R^3/3}=\frac{3M}{4\pi R^3}</math></center>

lo que nos da el diferencial de masa

<center><math>\mathrm{d}m = \frac{3M r^2\,\mathrm{d}z}{4 R^3}</math></center>

y de momento de inercia

<center><math>\mathrm{d}I = \frac{3M r^4}{8R^3}\,\mathrm{d}z</math></center>

El momento de inercia total de la esfera será la suma de los de todos los discos apilados

<center><math>I = \int_M \mathrm{d}I = \int_{-R}^R \frac{3M r^4}{8R^3}\,\mathrm{d}z</math></center>

En esta integral aparece el radio de cada disco, pero la variable de integración es la altura z a la que se encuentra cada uno (considerando el origen en el centro de la esfera). Estas dos cantidades se relacionan por el teorema de Pitágoras

<center><math>r^2+ z^2 = R^2\,</math></center>

lo que nos deja con la integral

<center><math>I=\frac{3M}{8R^3}\int_{-R}^R(R^2-z^2)^2\,\mathrm{d}z</math></center>

con solución

<center><math>I = \frac{2}{5}M R^2</math></center>

==Corona esférica==
Cuando tenemos una corona esférica, de masa M, radio interior <math>R_1</math> y exterior <math>R_2</math>, podemos emplear la misma técnica que en otros problemas y considerar masas negativas.

La corona esférica puede verse como la superposición de una esfera de radio <math>R_2</math> y densidad <math>+\rho</math> con una de radio <math>R_1</math>, densidad <math>-\rho</math>, concéntrica con la primera.

<center>[[Archivo:momento-inercia-esferas-02.png]]</center>

La masa de cada esfera sería

<center><math>M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho R_2^3\qquad \qquad M_1 = -\frac{4\pi}{3}\rho R_1^3</math></center>

debiéndose cumplir que la masa total valga <math>M</math>

<center><math>M = M_1 + M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho (R_2^3-R_1^3) \qquad\Rightarrow\qquad \rho = \frac{3M}{4\pi(R_2^3-R_1^3)}</math></center>

Los momentos de inercia de cada esfera valen, de la misma manera,

<center><math>I_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2 = \frac{8\pi}{15}\rho R_2^5\qquad \qquad I_1 = \frac{2}{5}M_1R_1^3 = -\frac{8\pi}{15}\rho R_1^5</math></center>

Sumando las dos contribuciones hallamos el momento de inercia de la esfera completa

<center><math>I=I_1+I_2= \frac{8\pi \rho (R_2^5-R_1^5)}{15}</math></center>

Sustituimos aquí el valor de la densidad de masa

<center><math>I = \frac{2M(R_2^5-R_1^5)}{5(R_2^3-R_1^3)}</math></center>

==Esfera hueca==
La expresión anterior conduce a la de una esfera maciza sin más que hacer <math>R_1=0</math>.

Para obtener el momento de inercia de una superficie esférica de masa M y radio R hay que ser más cuidadoso, ya que al hacer <math>R_1 = R_2=R</math> aparece una indeterminación del tipo 0/0. Puede resolverse aplicando la regla de L'Hôpital

<center><math>I = \lim_{R_1\to R}\frac{2M(R^5-R_1^5)}{5(R^3-R_1^3)}= \frac{2M}{5}\,\frac{(-5R^4)}{(-3R^2)}= \frac{2}{3}MR^2</math></center>
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (CMR)]]

Partícula en el interior de un tubo (GIOI)

2020-12-01T19:33:50Z

Anamaram: /* Aceleración normal */

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular <math>\omega</math> constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

<center><math>x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

donde <math>\rho = \rho(t)\,</math>, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer <math>\rho(t)\,</math> sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Suponga que <math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math>
## Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
## Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
## Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
## ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
## ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

==Ecuación para ρ==
Si escribimos las ecuaciones de movimiento en polares, separadas en componentes,

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) & = & F_\rho \\
m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right) & = & F_\theta\end{array}\right.</math></center>

tenemos que se simplifican notablemente, teniendo en cuenta los datos del enunciado:

* El tubo está rotando de forma conocida, es decir, sabemos que el ángulo <math>\theta</math> varía como

<center><math>\theta = \omega t \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=\omega \qquad\qquad\ddot{\theta}=0</math></center>

* El tubo solo ejerce fuerza mediante el empuje que sus paredes realizan lateralmente sobre la partícula, no a lo largo del propio tubo:

<center><math>F_\rho = 0\qquad F_\theta = {}F_n</math></center>

Esto nos deja con

<center><math>m\left(\ddot{\rho} - \rho\omega^2\right) = 0 \qquad\qquad 2m\omega\dot{\rho}={}F_n</math></center>

La primera de las dos es la ecuación buscada, ya que nos permite determinar <math>\rho(t)</math>
<center>
<math>\ddot{\rho}=\omega^2\rho</math></center>

Una vez que la hemos resuelto, podemos emplear la segunda para calcular la fuerza que ejerce el tubo, que es desconocida ''a priori''

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}</math></center>

==Análisis de la solución==
===Verificación===
Tenemos que, como dato, se nos da

<center><math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math></center>

Para comprobar que es la solución, simplemente se sustituye en la ecuación de movimiento

<center><math>\dot{\rho} =A\omega\mathrm{e}^{\omega t}\, \qquad\qquad \ddot{\rho} =A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}=\omega^2\rho\,</math></center>

Luego efectivamente es una solución.

Este movimiento radial, combinado con la variación angular

<center><math>\rho =A\mathrm{e}^{\omega t}\qquad\qquad\theta = \omega t</math></center>

nos dicen que la partícula describe una espiral logarítmica, alejándose del centro del tubo de forma exponencial

===Fuerza ejercida por el tubo===
La fuerza la hallamos sustituyendo la solución anterior en la ecuación de movimiento acimutal

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}=2m\omega^2\rho</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{{}F_n}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Forma vectorial====
La aceleración de la partícula en cada instante no requiere derivar en coordenadas polares. Basta con emplear la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{{}F_n}}{m}=2\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

====Aceleración tangencial====
La aceleración tangencial la hallamos derivando la rapidez respecto al tiempo. En general se tiene

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

Sustituyendo nuestra solución

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t}+(A^2\mathrm{e}^{2\omega t})\omega^2} = \sqrt{2}A\omega\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Derivando aquí

<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración total y la tangencial, hallamos la normal

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2} = \sqrt{4A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2\omega t}-2A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2\omega t}}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Esto es, las dos componentes de la aceleración tienen el mismo valor y por tanto, la aceleración forma un ángulo constante de 45° con la velocidad.

==Análisis en un sistema rotatorio==
Si empleamos un sistema de referencia ligado al tubo, el movimiento ya no es espiral, sino rectilíneo, ya que el tubo se ve inmóvil en este sistema.

Si el tubo está inmóvil y la única fuerza que puede ejercer es ortogonal a él, ¿por qué se acelera la partícula? ¿quién la mueve?

Este es un sistema de referencia no inercial en el que hay que incluir las fuerzas ficticias. Dado que la velocidad angular del tubo es constante, sólo necesitamos considerar dos fuerzas ficticias:

* La centrífuga

<center><math>\vec{F}_c =-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

* La de Coriolis

<center><math>\vec{F}_C = -2m\vec{\omega}\times\vec{v}</math></center>

En este sistema, la posición de la partícula, su velocidad y su aceleración cumplen

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{\imath}\qquad \vec{v}=\dot{\rho}\vec{\imath}\qquad\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{\imath}</math></center>

siendo la velocidad angular

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Esto nos da, para las fuerzas ficticias

<center><math>\vec{F}_c = m\omega^2\rho\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Si las incluimos en las ecuaciones de movimiento en este sistema

<center><math>m\vec{a}=\vec{F}_n+\vec{F}_c+\vec{F}_C</math></center>

queda

<center><math>m\ddot{\rho}\vec{\imath}=F_n\vec{\jmath}+m\omega^2\rho\vec{\imath}-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Igualamos componente a componente

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\ddot{\rho} & = & m\omega^2\rho \\ 0 & = & F-2m\omega\dot{\rho}\end{array}\right.</math></center>

y llegamos a la misma ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{\rho}-\omega^2\rho = 0\,</math></center>

y al mismo valor de la fuerza ejercida por el tubo

<center><math>F_n = 2m\omega\dot{\rho}\,</math></center>

Sin embargo, la interpretación de este resultado es completamente diferente en este sistema. Aquí es la fuerza centrífuga, radial y hacia afuera, la que acelera exponencialmente a la partícula.

En su movimiento, la partícula experimenta una fuerza de Coriolis que la lleva a impactar con la pared del tubo. Es por ello por lo que aparece una fuerza de reacción ejercida por este, que no es la que acelera la partícula sino que solo resiste a la otra.

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIOI)]]

Partícula en el interior de un tubo (GIOI)

2020-12-01T19:33:18Z

Anamaram: /* Aceleración tangencial */

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular <math>\omega</math> constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

<center><math>x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

donde <math>\rho = \rho(t)\,</math>, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer <math>\rho(t)\,</math> sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Suponga que <math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math>
## Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
## Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
## Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
## ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
## ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

==Ecuación para ρ==
Si escribimos las ecuaciones de movimiento en polares, separadas en componentes,

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) & = & F_\rho \\
m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right) & = & F_\theta\end{array}\right.</math></center>

tenemos que se simplifican notablemente, teniendo en cuenta los datos del enunciado:

* El tubo está rotando de forma conocida, es decir, sabemos que el ángulo <math>\theta</math> varía como

<center><math>\theta = \omega t \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=\omega \qquad\qquad\ddot{\theta}=0</math></center>

* El tubo solo ejerce fuerza mediante el empuje que sus paredes realizan lateralmente sobre la partícula, no a lo largo del propio tubo:

<center><math>F_\rho = 0\qquad F_\theta = {}F_n</math></center>

Esto nos deja con

<center><math>m\left(\ddot{\rho} - \rho\omega^2\right) = 0 \qquad\qquad 2m\omega\dot{\rho}={}F_n</math></center>

La primera de las dos es la ecuación buscada, ya que nos permite determinar <math>\rho(t)</math>
<center>
<math>\ddot{\rho}=\omega^2\rho</math></center>

Una vez que la hemos resuelto, podemos emplear la segunda para calcular la fuerza que ejerce el tubo, que es desconocida ''a priori''

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}</math></center>

==Análisis de la solución==
===Verificación===
Tenemos que, como dato, se nos da

<center><math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math></center>

Para comprobar que es la solución, simplemente se sustituye en la ecuación de movimiento

<center><math>\dot{\rho} =A\omega\mathrm{e}^{\omega t}\, \qquad\qquad \ddot{\rho} =A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}=\omega^2\rho\,</math></center>

Luego efectivamente es una solución.

Este movimiento radial, combinado con la variación angular

<center><math>\rho =A\mathrm{e}^{\omega t}\qquad\qquad\theta = \omega t</math></center>

nos dicen que la partícula describe una espiral logarítmica, alejándose del centro del tubo de forma exponencial

===Fuerza ejercida por el tubo===
La fuerza la hallamos sustituyendo la solución anterior en la ecuación de movimiento acimutal

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}=2m\omega^2\rho</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{{}F_n}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Forma vectorial====
La aceleración de la partícula en cada instante no requiere derivar en coordenadas polares. Basta con emplear la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{{}F_n}}{m}=2\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

====Aceleración tangencial====
La aceleración tangencial la hallamos derivando la rapidez respecto al tiempo. En general se tiene

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

Sustituyendo nuestra solución

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t}+(A^2\mathrm{e}^{2\omega t})\omega^2} = \sqrt{2}A\omega\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Derivando aquí

<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración total y la tangencial, hallamos la normal

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2} = \sqrt{4A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}-2A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Esto es, las dos componentes de la aceleración tienen el mismo valor y por tanto, la aceleración forma un ángulo constante de 45° con la velocidad.

==Análisis en un sistema rotatorio==
Si empleamos un sistema de referencia ligado al tubo, el movimiento ya no es espiral, sino rectilíneo, ya que el tubo se ve inmóvil en este sistema.

Si el tubo está inmóvil y la única fuerza que puede ejercer es ortogonal a él, ¿por qué se acelera la partícula? ¿quién la mueve?

Este es un sistema de referencia no inercial en el que hay que incluir las fuerzas ficticias. Dado que la velocidad angular del tubo es constante, sólo necesitamos considerar dos fuerzas ficticias:

* La centrífuga

<center><math>\vec{F}_c =-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

* La de Coriolis

<center><math>\vec{F}_C = -2m\vec{\omega}\times\vec{v}</math></center>

En este sistema, la posición de la partícula, su velocidad y su aceleración cumplen

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{\imath}\qquad \vec{v}=\dot{\rho}\vec{\imath}\qquad\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{\imath}</math></center>

siendo la velocidad angular

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Esto nos da, para las fuerzas ficticias

<center><math>\vec{F}_c = m\omega^2\rho\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Si las incluimos en las ecuaciones de movimiento en este sistema

<center><math>m\vec{a}=\vec{F}_n+\vec{F}_c+\vec{F}_C</math></center>

queda

<center><math>m\ddot{\rho}\vec{\imath}=F_n\vec{\jmath}+m\omega^2\rho\vec{\imath}-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Igualamos componente a componente

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\ddot{\rho} & = & m\omega^2\rho \\ 0 & = & F-2m\omega\dot{\rho}\end{array}\right.</math></center>

y llegamos a la misma ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{\rho}-\omega^2\rho = 0\,</math></center>

y al mismo valor de la fuerza ejercida por el tubo

<center><math>F_n = 2m\omega\dot{\rho}\,</math></center>

Sin embargo, la interpretación de este resultado es completamente diferente en este sistema. Aquí es la fuerza centrífuga, radial y hacia afuera, la que acelera exponencialmente a la partícula.

En su movimiento, la partícula experimenta una fuerza de Coriolis que la lleva a impactar con la pared del tubo. Es por ello por lo que aparece una fuerza de reacción ejercida por este, que no es la que acelera la partícula sino que solo resiste a la otra.

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIOI)]]

Partícula en el interior de un tubo (GIOI)

2020-12-01T19:32:13Z

Anamaram: /* Verificación */

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular <math>\omega</math> constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

<center><math>x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

donde <math>\rho = \rho(t)\,</math>, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer <math>\rho(t)\,</math> sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Suponga que <math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math>
## Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
## Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
## Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
## ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
## ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

==Ecuación para ρ==
Si escribimos las ecuaciones de movimiento en polares, separadas en componentes,

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) & = & F_\rho \\
m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right) & = & F_\theta\end{array}\right.</math></center>

tenemos que se simplifican notablemente, teniendo en cuenta los datos del enunciado:

* El tubo está rotando de forma conocida, es decir, sabemos que el ángulo <math>\theta</math> varía como

<center><math>\theta = \omega t \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=\omega \qquad\qquad\ddot{\theta}=0</math></center>

* El tubo solo ejerce fuerza mediante el empuje que sus paredes realizan lateralmente sobre la partícula, no a lo largo del propio tubo:

<center><math>F_\rho = 0\qquad F_\theta = {}F_n</math></center>

Esto nos deja con

<center><math>m\left(\ddot{\rho} - \rho\omega^2\right) = 0 \qquad\qquad 2m\omega\dot{\rho}={}F_n</math></center>

La primera de las dos es la ecuación buscada, ya que nos permite determinar <math>\rho(t)</math>
<center>
<math>\ddot{\rho}=\omega^2\rho</math></center>

Una vez que la hemos resuelto, podemos emplear la segunda para calcular la fuerza que ejerce el tubo, que es desconocida ''a priori''

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}</math></center>

==Análisis de la solución==
===Verificación===
Tenemos que, como dato, se nos da

<center><math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math></center>

Para comprobar que es la solución, simplemente se sustituye en la ecuación de movimiento

<center><math>\dot{\rho} =A\omega\mathrm{e}^{\omega t}\, \qquad\qquad \ddot{\rho} =A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}=\omega^2\rho\,</math></center>

Luego efectivamente es una solución.

Este movimiento radial, combinado con la variación angular

<center><math>\rho =A\mathrm{e}^{\omega t}\qquad\qquad\theta = \omega t</math></center>

nos dicen que la partícula describe una espiral logarítmica, alejándose del centro del tubo de forma exponencial

===Fuerza ejercida por el tubo===
La fuerza la hallamos sustituyendo la solución anterior en la ecuación de movimiento acimutal

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}=2m\omega^2\rho</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{{}F_n}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Forma vectorial====
La aceleración de la partícula en cada instante no requiere derivar en coordenadas polares. Basta con emplear la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{{}F_n}}{m}=2\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

====Aceleración tangencial====
La aceleración tangencial la hallamos derivando la rapidez respecto al tiempo. En general se tiene

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

Sustituyendo nuestra solución

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t}+(A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t})\omega^2} = \sqrt{2}A\omega\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Derivando aquí

<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>
====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración total y la tangencial, hallamos la normal

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2} = \sqrt{4A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}-2A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Esto es, las dos componentes de la aceleración tienen el mismo valor y por tanto, la aceleración forma un ángulo constante de 45° con la velocidad.

==Análisis en un sistema rotatorio==
Si empleamos un sistema de referencia ligado al tubo, el movimiento ya no es espiral, sino rectilíneo, ya que el tubo se ve inmóvil en este sistema.

Si el tubo está inmóvil y la única fuerza que puede ejercer es ortogonal a él, ¿por qué se acelera la partícula? ¿quién la mueve?

Este es un sistema de referencia no inercial en el que hay que incluir las fuerzas ficticias. Dado que la velocidad angular del tubo es constante, sólo necesitamos considerar dos fuerzas ficticias:

* La centrífuga

<center><math>\vec{F}_c =-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

* La de Coriolis

<center><math>\vec{F}_C = -2m\vec{\omega}\times\vec{v}</math></center>

En este sistema, la posición de la partícula, su velocidad y su aceleración cumplen

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{\imath}\qquad \vec{v}=\dot{\rho}\vec{\imath}\qquad\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{\imath}</math></center>

siendo la velocidad angular

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Esto nos da, para las fuerzas ficticias

<center><math>\vec{F}_c = m\omega^2\rho\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Si las incluimos en las ecuaciones de movimiento en este sistema

<center><math>m\vec{a}=\vec{F}_n+\vec{F}_c+\vec{F}_C</math></center>

queda

<center><math>m\ddot{\rho}\vec{\imath}=F_n\vec{\jmath}+m\omega^2\rho\vec{\imath}-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Igualamos componente a componente

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\ddot{\rho} & = & m\omega^2\rho \\ 0 & = & F-2m\omega\dot{\rho}\end{array}\right.</math></center>

y llegamos a la misma ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{\rho}-\omega^2\rho = 0\,</math></center>

y al mismo valor de la fuerza ejercida por el tubo

<center><math>F_n = 2m\omega\dot{\rho}\,</math></center>

Sin embargo, la interpretación de este resultado es completamente diferente en este sistema. Aquí es la fuerza centrífuga, radial y hacia afuera, la que acelera exponencialmente a la partícula.

En su movimiento, la partícula experimenta una fuerza de Coriolis que la lleva a impactar con la pared del tubo. Es por ello por lo que aparece una fuerza de reacción ejercida por este, que no es la que acelera la partícula sino que solo resiste a la otra.

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIOI)]]

Partícula en el interior de un tubo (GIE)

2020-12-01T19:27:14Z

Anamaram: /* Aceleración normal */

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular <math>\omega</math> constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

<center><math>x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

donde <math>\rho = \rho(t)\,</math>, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer <math>\rho(t)\,</math> sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Suponga que <math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math>
## Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
## Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
## Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
## ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
## ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

==Ecuación para ρ==
Si escribimos las ecuaciones de movimiento en polares, separadas en componentes,

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) & = & F_\rho \\
m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right) & = & F_\theta\end{array}\right.</math></center>

tenemos que se simplifican notablemente, teniendo en cuenta los datos del enunciado:

* El tubo está rotando de forma conocida, es decir, sabemos que el ángulo <math>\theta</math> varía como

<center><math>\theta = \omega t \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=\omega \qquad\qquad\ddot{\theta}=0</math></center>

* El tubo solo ejerce fuerza mediante el empuje que sus paredes realizan lateralmente sobre la partícula, no a lo largo del propio tubo:

<center><math>F_\rho = 0\qquad F_\theta = {}F_n</math></center>

Esto nos deja con

<center><math>m\left(\ddot{\rho} - \rho\omega^2\right) = 0 \qquad\qquad 2m\omega\dot{\rho}={}F_n</math></center>

La primera de las dos es la ecuación buscada, ya que nos permite determinar <math>\rho(t)</math>
<center>
<math>\ddot{\rho}=\omega^2\rho</math></center>

Una vez que la hemos resuelto, podemos emplear la segunda para calcular la fuerza que ejerce el tubo, que es desconocida ''a priori''

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}</math></center>

==Análisis de la solución==
===Verificación===
Tenemos que, como dato, se nos da

<center><math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math></center>

Para comprobar que es la solución, simplemente se sustituye en la ecuación de movimiento

<center><math>\dot{\rho} =A\omega\mathrm{e}^{\omega t}\, \qquad\qquad \ddot{\rho} =A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}=\omega^2\rho\,</math></center>

Luego efectivamente es una solución.

Este movimiento radial, combinado con la variación angular

<center><math>\rho =A\mathrm{e}^{\omega t}\qquad\qquad\theta = \omega t</math></center>

nos dicen que la partícula describe una espiral logarítmica, alejándose del centro del tubo de forma exponencial

===Fuerza ejercida por el tubo===
La fuerza la hallamos sustituyendo la solución anterior en la ecuación de movimiento acimutal

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}=2m\omega^2\rho</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{{}F_n}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Forma vectorial====
La aceleración de la partícula en cada instante no requiere derivar en coordenadas polares. Basta con emplear la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{{}F_n}}{m}=2\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

====Aceleración tangencial====
La aceleración tangencial la hallamos derivando la rapidez respecto al tiempo. En general se tiene

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

Sustituyendo nuestra solución

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t}+(A^2\mathrm{e}^{2\omega t})\omega^2} = \sqrt{2}A\omega\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Derivando aquí

<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración total y la tangencial, hallamos la normal

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2} = \sqrt{4A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2\omega t}-2A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2\omega t}}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Esto es, las dos componentes de la aceleración tienen el mismo valor y por tanto, la aceleración forma un ángulo constante de 45° con la velocidad.

==Análisis en un sistema rotatorio==
Si empleamos un sistema de referencia ligado al tubo, el movimiento ya no es espiral, sino rectilíneo, ya que el tubo se ve inmóvil en este sistema.

Si el tubo está inmóvil y la única fuerza que puede ejercer es ortogonal a él, ¿por qué se acelera la partícula? ¿quién la mueve?

Este es un sistema de referencia no inercial en el que hay que incluir las fuerzas ficticias. Dado que la velocidad angular del tubo es constante, sólo necesitamos considerar dos fuerzas ficticias:

* La centrífuga

<center><math>\vec{F}_c =-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

* La de Coriolis

<center><math>\vec{F}_C = -2m\vec{\omega}\times\vec{v}</math></center>

En este sistema, la posición de la partícula, su velocidad y su aceleración cumplen

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{\imath}\qquad \vec{v}=\dot{\rho}\vec{\imath}\qquad\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{\imath}</math></center>

siendo la velocidad angular

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Esto nos da, para las fuerzas ficticias

<center><math>\vec{F}_c = m\omega^2\rho\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Si las incluimos en las ecuaciones de movimiento en este sistema

<center><math>m\vec{a}=\vec{F}_n+\vec{F}_c+\vec{F}_C</math></center>

queda

<center><math>m\ddot{\rho}\vec{\imath}=F_n\vec{\jmath}+m\omega^2\rho\vec{\imath}-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Igualamos componente a componente

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\ddot{\rho} & = & m\omega^2\rho \\ 0 & = & F-2m\omega\dot{\rho}\end{array}\right.</math></center>

y llegamos a la misma ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{\rho}-\omega^2\rho = 0\,</math></center>

y al mismo valor de la fuerza ejercida por el tubo

<center><math>F_n = 2m\omega\dot{\rho}\,</math></center>

Sin embargo, la interpretación de este resultado es completamente diferente en este sistema. Aquí es la fuerza centrífuga, radial y hacia afuera, la que acelera exponencialmente a la partícula.

En su movimiento, la partícula experimenta una fuerza de Coriolis que la lleva a impactar con la pared del tubo. Es por ello por lo que aparece una fuerza de reacción ejercida por este, que no es la que acelera la partícula sino que solo resiste a la otra.

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]

Partícula en el interior de un tubo (GIE)

2020-12-01T19:26:11Z

Anamaram: /* Aceleración tangencial */

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular <math>\omega</math> constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

<center><math>x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

donde <math>\rho = \rho(t)\,</math>, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer <math>\rho(t)\,</math> sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Suponga que <math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math>
## Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
## Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
## Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
## ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
## ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

==Ecuación para ρ==
Si escribimos las ecuaciones de movimiento en polares, separadas en componentes,

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) & = & F_\rho \\
m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right) & = & F_\theta\end{array}\right.</math></center>

tenemos que se simplifican notablemente, teniendo en cuenta los datos del enunciado:

* El tubo está rotando de forma conocida, es decir, sabemos que el ángulo <math>\theta</math> varía como

<center><math>\theta = \omega t \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=\omega \qquad\qquad\ddot{\theta}=0</math></center>

* El tubo solo ejerce fuerza mediante el empuje que sus paredes realizan lateralmente sobre la partícula, no a lo largo del propio tubo:

<center><math>F_\rho = 0\qquad F_\theta = {}F_n</math></center>

Esto nos deja con

<center><math>m\left(\ddot{\rho} - \rho\omega^2\right) = 0 \qquad\qquad 2m\omega\dot{\rho}={}F_n</math></center>

La primera de las dos es la ecuación buscada, ya que nos permite determinar <math>\rho(t)</math>
<center>
<math>\ddot{\rho}=\omega^2\rho</math></center>

Una vez que la hemos resuelto, podemos emplear la segunda para calcular la fuerza que ejerce el tubo, que es desconocida ''a priori''

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}</math></center>

==Análisis de la solución==
===Verificación===
Tenemos que, como dato, se nos da

<center><math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math></center>

Para comprobar que es la solución, simplemente se sustituye en la ecuación de movimiento

<center><math>\dot{\rho} =A\omega\mathrm{e}^{\omega t}\, \qquad\qquad \ddot{\rho} =A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}=\omega^2\rho\,</math></center>

Luego efectivamente es una solución.

Este movimiento radial, combinado con la variación angular

<center><math>\rho =A\mathrm{e}^{\omega t}\qquad\qquad\theta = \omega t</math></center>

nos dicen que la partícula describe una espiral logarítmica, alejándose del centro del tubo de forma exponencial

===Fuerza ejercida por el tubo===
La fuerza la hallamos sustituyendo la solución anterior en la ecuación de movimiento acimutal

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}=2m\omega^2\rho</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{{}F_n}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Forma vectorial====
La aceleración de la partícula en cada instante no requiere derivar en coordenadas polares. Basta con emplear la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{{}F_n}}{m}=2\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

====Aceleración tangencial====
La aceleración tangencial la hallamos derivando la rapidez respecto al tiempo. En general se tiene

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

Sustituyendo nuestra solución

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t}+(A^2\mathrm{e}^{2\omega t})\omega^2} = \sqrt{2}A\omega\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Derivando aquí

<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración total y la tangencial, hallamos la normal

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2} = \sqrt{4A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}-2A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Esto es, las dos componentes de la aceleración tienen el mismo valor y por tanto, la aceleración forma un ángulo constante de 45° con la velocidad.

==Análisis en un sistema rotatorio==
Si empleamos un sistema de referencia ligado al tubo, el movimiento ya no es espiral, sino rectilíneo, ya que el tubo se ve inmóvil en este sistema.

Si el tubo está inmóvil y la única fuerza que puede ejercer es ortogonal a él, ¿por qué se acelera la partícula? ¿quién la mueve?

Este es un sistema de referencia no inercial en el que hay que incluir las fuerzas ficticias. Dado que la velocidad angular del tubo es constante, sólo necesitamos considerar dos fuerzas ficticias:

* La centrífuga

<center><math>\vec{F}_c =-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

* La de Coriolis

<center><math>\vec{F}_C = -2m\vec{\omega}\times\vec{v}</math></center>

En este sistema, la posición de la partícula, su velocidad y su aceleración cumplen

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{\imath}\qquad \vec{v}=\dot{\rho}\vec{\imath}\qquad\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{\imath}</math></center>

siendo la velocidad angular

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Esto nos da, para las fuerzas ficticias

<center><math>\vec{F}_c = m\omega^2\rho\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Si las incluimos en las ecuaciones de movimiento en este sistema

<center><math>m\vec{a}=\vec{F}_n+\vec{F}_c+\vec{F}_C</math></center>

queda

<center><math>m\ddot{\rho}\vec{\imath}=F_n\vec{\jmath}+m\omega^2\rho\vec{\imath}-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Igualamos componente a componente

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\ddot{\rho} & = & m\omega^2\rho \\ 0 & = & F-2m\omega\dot{\rho}\end{array}\right.</math></center>

y llegamos a la misma ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{\rho}-\omega^2\rho = 0\,</math></center>

y al mismo valor de la fuerza ejercida por el tubo

<center><math>F_n = 2m\omega\dot{\rho}\,</math></center>

Sin embargo, la interpretación de este resultado es completamente diferente en este sistema. Aquí es la fuerza centrífuga, radial y hacia afuera, la que acelera exponencialmente a la partícula.

En su movimiento, la partícula experimenta una fuerza de Coriolis que la lleva a impactar con la pared del tubo. Es por ello por lo que aparece una fuerza de reacción ejercida por este, que no es la que acelera la partícula sino que solo resiste a la otra.

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Partícula en el interior de un tubo (GIE)

2020-12-01T19:25:25Z

Anamaram: /* Verificación */

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular <math>\omega</math> constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

<center><math>x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

donde <math>\rho = \rho(t)\,</math>, función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

# Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer <math>\rho(t)\,</math> sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
# Suponga que <math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math>
## Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
## Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
## Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
# Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
## ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
## ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

==Ecuación para ρ==
Si escribimos las ecuaciones de movimiento en polares, separadas en componentes,

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) & = & F_\rho \\
m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right) & = & F_\theta\end{array}\right.</math></center>

tenemos que se simplifican notablemente, teniendo en cuenta los datos del enunciado:

* El tubo está rotando de forma conocida, es decir, sabemos que el ángulo <math>\theta</math> varía como

<center><math>\theta = \omega t \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}=\omega \qquad\qquad\ddot{\theta}=0</math></center>

* El tubo solo ejerce fuerza mediante el empuje que sus paredes realizan lateralmente sobre la partícula, no a lo largo del propio tubo:

<center><math>F_\rho = 0\qquad F_\theta = {}F_n</math></center>

Esto nos deja con

<center><math>m\left(\ddot{\rho} - \rho\omega^2\right) = 0 \qquad\qquad 2m\omega\dot{\rho}={}F_n</math></center>

La primera de las dos es la ecuación buscada, ya que nos permite determinar <math>\rho(t)</math>
<center>
<math>\ddot{\rho}=\omega^2\rho</math></center>

Una vez que la hemos resuelto, podemos emplear la segunda para calcular la fuerza que ejerce el tubo, que es desconocida ''a priori''

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}</math></center>

==Análisis de la solución==
===Verificación===
Tenemos que, como dato, se nos da

<center><math>\rho(t) =A\mathrm{e}^{\omega t}\,</math></center>

Para comprobar que es la solución, simplemente se sustituye en la ecuación de movimiento

<center><math>\dot{\rho} =A\omega\mathrm{e}^{\omega t}\, \qquad\qquad \ddot{\rho} =A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}=\omega^2\rho\,</math></center>

Luego efectivamente es una solución.

Este movimiento radial, combinado con la variación angular

<center><math>\rho =A\mathrm{e}^{\omega t}\qquad\qquad\theta = \omega t</math></center>

nos dicen que la partícula describe una espiral logarítmica, alejándose del centro del tubo de forma exponencial

===Fuerza ejercida por el tubo===
La fuerza la hallamos sustituyendo la solución anterior en la ecuación de movimiento acimutal

<center><math>{}F_n = 2m\omega\dot{\rho}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}=2m\omega^2\rho</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{{}F_n}=2m\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

===Componentes de la aceleración===
====Forma vectorial====
La aceleración de la partícula en cada instante no requiere derivar en coordenadas polares. Basta con emplear la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{{}F_n}}{m}=2\omega^2A\mathrm{e}^{\omega t}\vec{u}_\theta</math></center>

====Aceleración tangencial====
La aceleración tangencial la hallamos derivando la rapidez respecto al tiempo. En general se tiene

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

Sustituyendo nuestra solución

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t}+(A^2\omega^2\mathrm{e}^{2\omega t})\omega^2} = \sqrt{2}A\omega\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Derivando aquí

<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>
====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración total y la tangencial, hallamos la normal

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2} = \sqrt{4A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}-2A^2\omega^4 \mathrm{e}^{2-\omega t}}=\sqrt{2}A\omega^2\mathrm{e}^{\omega t}</math></center>

Esto es, las dos componentes de la aceleración tienen el mismo valor y por tanto, la aceleración forma un ángulo constante de 45° con la velocidad.

==Análisis en un sistema rotatorio==
Si empleamos un sistema de referencia ligado al tubo, el movimiento ya no es espiral, sino rectilíneo, ya que el tubo se ve inmóvil en este sistema.

Si el tubo está inmóvil y la única fuerza que puede ejercer es ortogonal a él, ¿por qué se acelera la partícula? ¿quién la mueve?

Este es un sistema de referencia no inercial en el que hay que incluir las fuerzas ficticias. Dado que la velocidad angular del tubo es constante, sólo necesitamos considerar dos fuerzas ficticias:

* La centrífuga

<center><math>\vec{F}_c =-m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

* La de Coriolis

<center><math>\vec{F}_C = -2m\vec{\omega}\times\vec{v}</math></center>

En este sistema, la posición de la partícula, su velocidad y su aceleración cumplen

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{\imath}\qquad \vec{v}=\dot{\rho}\vec{\imath}\qquad\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{\imath}</math></center>

siendo la velocidad angular

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Esto nos da, para las fuerzas ficticias

<center><math>\vec{F}_c = m\omega^2\rho\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_C=-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Si las incluimos en las ecuaciones de movimiento en este sistema

<center><math>m\vec{a}=\vec{F}_n+\vec{F}_c+\vec{F}_C</math></center>

queda

<center><math>m\ddot{\rho}\vec{\imath}=F_n\vec{\jmath}+m\omega^2\rho\vec{\imath}-2m\omega\dot{\rho}\vec{\jmath}</math></center>

Igualamos componente a componente

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}m\ddot{\rho} & = & m\omega^2\rho \\ 0 & = & F-2m\omega\dot{\rho}\end{array}\right.</math></center>

y llegamos a la misma ecuación de movimiento

<center><math>\ddot{\rho}-\omega^2\rho = 0\,</math></center>

y al mismo valor de la fuerza ejercida por el tubo

<center><math>F_n = 2m\omega\dot{\rho}\,</math></center>

Sin embargo, la interpretación de este resultado es completamente diferente en este sistema. Aquí es la fuerza centrífuga, radial y hacia afuera, la que acelera exponencialmente a la partícula.

En su movimiento, la partícula experimenta una fuerza de Coriolis que la lleva a impactar con la pared del tubo. Es por ello por lo que aparece una fuerza de reacción ejercida por este, que no es la que acelera la partícula sino que solo resiste a la otra.

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]

Usuario:Anamaram

2020-11-24T20:00:05Z

Anamaram:

Ana María Marco Ramírez es profesora de las asignaturas de Física I y Física II del Grado en Ingeniería de la Energía.

Fuerza en anilla ensartada en varillas

2020-11-24T19:37:35Z

Anamaram: /* Sin considerar el peso */

==Enunciado==
Para el sistema de la [[Anilla ensartada en dos varillas (GIE)|anilla ensartada en dos varillas]], calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

<center>[[Archivo:anilla-dos-varillas.png]]</center>

==Sin considerar el peso==
Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en [[Anilla_ensartada_en_dos_varillas_(GIE)|este problema]] y en [[Ejemplo_de_movimiento_expresado_en_polares|este otro]]: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular <math>2\Omega</math> y el radio de giro <math>L/2</math>. La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,

<center><math>\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto

<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t</math></center>

La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}</math></center>

que en coordenadas polares queda

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta</math></center>

Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R</math></center>

La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza <math>\vec{F}_R</math>. Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto

<center><math>\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho</math></center>

Calculamos los términos que aparecen en esta expresión

<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\rho}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)</math></center>

<center><math>\theta = \Omega t \qquad\qquad\dot{\theta}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\theta}=0</math></center>

y por tanto

<center><math>\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho</math></center>

Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección de <math>\vec{u}_\theta</math> y es igual a

<center><math>\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta</math></center>

[[Archivo:fuerza-dos-variilas-01.png|right]]

==Incluyendo el peso==
Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda

<center><math>\vec{F}_L+\vec{F}_R + m\vec{g} = m\vec{a}</math></center>

o, equivalentemente,

<center><math>\vec{F}_L+\vec{F}_R = m\vec{a} - m\vec{g}</math></center>

Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad.

Como en el apartado anterior

<center><math>\vec{F}_R=F_\rho\vec{u}_\rho\qquad\qquad \vec{F}_L=F_\theta\vec{u}_\theta</math></center>

Lo único que nos resta hacer es descomponer el peso en sus componentes polares. Esto se consigue empleando la relación entre bases:

<center><math>\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta</math></center>

y por tanto

<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho-mg\cos(\theta)\vec{u}_\theta</math></center>

Sumando esto a los resultados que ya teníamos nos queda

<center><math>\vec{F}_R =\left( -2mL\Omega^2\cos(\Omega t)-mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho</math></center>

<center><math>\vec{F}_L =\left( -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)-mg\,\mathrm{cos}(\Omega t)\right)\vec{u}_\theta</math></center>

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

Preguntas de test de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)

2020-11-10T17:13:28Z

Anamaram: /* Pregunta 3 */

==Posición de una partícula==
La posición de una partícula se describe según las siguientes ecuaciones horarias
<center><math>x=A \cos⁡(2\Omega t)-2A \cos^2⁡(\Omega t)\qquad\qquad y=A\cos⁡(2\Omega t)-2A\,\mathrm{sen}^2⁡(\Omega t)\qquad\qquad z=0</math></center>
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
:* '''A''' Circular.
:* '''B''' Parabólico.
:* '''C''' Armónico simple.
:* '''D''' Está en reposo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

==Movimiento circular==
Una partícula describe el movimiento circular de ecuación, en el SI,
<center><math>\vec{r}(t)=5\cos⁡(5t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}⁡(5t)\vec{\jmath}+4\,\mathrm{sen}⁡(5t)\vec{k}</math></center>
===Pregunta 1===
La velocidad angular de este movimiento vale, en rad/s
:* '''A''' <math>\vec{\omega}=-4\vec{\jmath}+3\vec{k}</math>.
:* '''B''' <math>\vec{\omega}=5\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+4\vec{k}</math>.
:* '''C''' <math>\vec{\omega}=5</math>.
:* '''D''' <math>\vec{\omega}=5\vec{k}</math>.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.
===Pregunta 2===
¿Cuánto vale el radio de este movimiento circular, en m?
:* '''A''' <math>\sqrt{10}</math>.
:* '''B''' <math>50</math>.
:* '''C''' <math>5</math>.
:* '''D''' No hay información suficiente para determinarlo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

==Vector tangente constante==
De un movimiento de una partícula sabemos que el vector tangente es constante. Podemos asegurar que este movimiento es…
:* '''A''' Uniforme.
:* '''B''' Rectilíneo.
:* '''C''' Circular.
:* '''D''' Helicoidal.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

==Ángulo entre velocidad y aceleración==
Una partícula se mueve de forma que en un instante dado su aceleración y su velocidad forman un ángulo de <math>3\pi/4</math>. En ese momento la partícula…

:* '''A''' está cambiando su dirección pero manteniendo constante su rapidez.
:* '''B''' esta frenando, pero manteniendo su dirección de movimiento.
:* '''C''' está frenando y cambiando su dirección.
:* '''D''' está acelerando mientras cambia su dirección.

;Solución
La respuesta correcta es la '''C'''.

La aceleración normal no es nula

<center><math>a_n=\left|\vec{a}\right|\mathrm{sen}(\alpha)=\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}}</math></center>

por lo que la dirección está cambiando.

También es distinta de cero la aceleración tangencial

<center><math>a_t=\left|\vec{a}\right|\mathrm{cos}(\alpha)=-\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}}</math></center>

Al ser negativa, quiere decir que la rapidez está disminuyendo y por tanto la partícula está frenando.

==Movimiento oscilatorio sobre circunferencia==
Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, ρ = 1.00m, siguiendo la ley horaria

<center><math>\theta = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t</math></center>

con <math>\theta</math> el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.

===Pregunta 1===
La aceleración angular en t = (1/3)s vale aproximadamente, en rad/s²,…

* '''A''' <math>-4.93\vec{k}</math>
* '''B''' <math>-8.54\vec{k}</math>
* '''C''' <math>-15.5\vec{k}</math>
* '''D''' <math>+8.54\vec{k}</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

En el caso de un movimiento circular en el plano XY con centro el origen de coordenadas, la aceleración angular es un vector en la dirección del eje OZ y cuya componente vertical es igual a la segunda derivada del ángulo <math>\theta</math> respecto al tiempo

<center><math>\vec{\alpha}=\ddot{\theta}\vec{k}</math></center>

En este caso

<center><math>\vec{\omega} = \dot{\theta}\vec{k}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha} = -\pi^3\cos(\pi t)\vec{k}</math></center>

En <math>t = (1/3)\mathrm{s}</math>, su valor es

<center><math>\vec{\alpha}(t=1/3) = \left(-\pi^3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-\frac{\pi^3}{2}\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-15.5\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
===Pregunta 2===
Para este mismo movimiento, la velocidad lineal cuando pasa por <math>\theta=0</math> es…

* '''A''' <math>\pm(9.86\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
* '''B''' nula.
* '''C''' <math>\pm (3.14 \vec{\imath})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
* '''D''' <math>(9.86 \vec{u}_\rho)\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

A la respuesta correcta se puede llegar sin hacer ningún cálculo.

Al pasar por el origen la velocidad no es nula, sino máxima como ocurre siempre en el punto de equilibrio de un movimiento oscilatorio. Esto descarta la respuesta B.

Asimismo, la velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria. En <math>\theta=0</math> la circunferencia tiene tangente vertical, que es la dirección de <math>\vec{\jmath}</math>. Por lo tanto no puede ser correcta la respuesta C ni la D (perpendiculares ambas a la circunferencia).

Esto nos deja solo con la opción A, que es la correcta.

Podemos, no obstante, calcular la velocidad lineal en ese punto.

La velocidad lineal en un movimiento circular la podemos calcular a partir de la velocidad angular y el vector de posición

<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

Cuando la partícula pasa por <math>\theta=0</math> su posición es

<center><math>\vec{r}=R\vec{\imath}</math></center>

por lo que

<center><math>\vec{v}=\omega R\vec{\jmath}</math></center>

La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.

<center><math>\omega = \dot{\theta}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)</math></center>

La partícula pasa por <math>\theta=0</math> cuando

<center><math>\pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}{\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}</math></center>

Para estos instantes

<center><math>\omega = -\pi^2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\pm \pi^2\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>

El signo depende del valor de <math>n</math>. Si n es par es negativo, y positivo si es impar. De aquí nos quedan los valores para la velocidad

<center><math>\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

<center>[[Archivo:movimiento-circular-oscilatorio.gif]]</center>

Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada <math>\theta</math>, esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto <math>\theta=0</math> corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.

===Pregunta 3===
Para el mismo movimiento, indique cuál de las siguientes figuras representa la velocidad y la aceleraciones lineales en t = (1/3)s.

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-01.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-03.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-04.png]]
|-
! C
! D
|}

;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

En principio las cuatro figuras corresponden a situaciones posibles del movimiento circular, por lo que sería necesario hallar cuánto vale la velocidad y la aceleración en el instante indicado para discernir entre las cuatro posibilidades.

Sin embargo, no es necesario. Nos basta con determinar la posición en el instante indicado. Cuando <math>t = (1/3)\,\mathrm{s}</math>

<center><math>\theta=\pi\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}</math></center>

es decir, la partícula se encuentra en

<center><math>\vec{r}=R\cos(\theta)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}=(1.00\,\vec{\jmath})\,\mathrm{m}</math></center>

y hay una sola figura correspondiente a esta posición:

<center>[[Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png]]</center>

Podemos, no obstante, hallar la velocidad y la aceleración para este punto. Usando las expresiones en coordenadas polares se llega a que

<center><math>\vec{v}=8.55\,\mathrm{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad \vec{a}=\left(15.5\vec{\imath}-73.1\,\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Este punto corresponde al primer cuarto de periodo. En él la rapidez está aumentando, y por tanto la aceleración tangencial es positiva. La aceleración normal es no nula y va hacia adentro de la circunferencia. Ello nos da el resultado de la figura.

==Lanzamiento horizontal desde una torre==
Una partícula se lanza horizontalmente con una rapidez de 8.0 m/s desde una torre de 20.0 m de altura, estando sometida exclusivamente a la aceleración de
la gravedad.

===Pregunta 1 ===
¿Cuánto tarda aproximadamente en impactar con el suelo y a qué distancia de la torre lo hace?

* '''A''' 0.8 s y 6.4 m
* '''B''' 2.5 s y 20 m
* '''C''' 1.4 s y 11 m
* '''D''' 2.0 s y 16 m
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

El movimiento de una partícula sometida exclusivamente a la acción de la gravedad es un movimiento parabólico, cuya ecuación horaria es

<center><math>\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2</math></center>

donde

<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}+z\vec{k}\qquad \vec{g}=-g\vec{k}\qquad\vec{r}_0 = h\vec{k}\qquad\vec{v}_0 = v_0\vec{\imath}</math></center>

lo que nos da

<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}+z\vec{k} = h\vec{k}+v_0t\vec{\imath}-\frac{1}{2}gt^2\vec{k}</math></center>

Separando por componentes

<center><math>x = v_0 t\qquad\qquad z = h -\frac{1}{2}gt^2</math></center>

El movimiento es una superposición de un movimiento uniforme en la dirección horizontal con uno uniformemente acelerado en la vertical.

El impacto se produce cuando la altura se hace igual a 0.

<center><math>0 = z = h - \frac{1}{2}gt^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}= \sqrt{\frac{2\cdot 20\,\mathrm{m}}{9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{m}^2}} = 2.0\,\mathrm{s}</math></center>

La distancia de la torre a la cual impacta la da el desplazamiento horizontal en el mismo tiempo

<center><math>x_i = v_0 t_i = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}=16\,\mathrm{m}</math></center>

===Pregunta 2===
¿Con qué rapidez impacta con el suelo?

* '''A''' 8.0 m/s
* '''B''' 21.4 m/s
* '''C''' 19.8 m/s
* '''D''' -19.8 m/s
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

La velocidad con la que se mueve la partícula en cada instante es

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t = v_0\vec{\imath}-gt\vec{k}</math></center>

En el momento del impacto esta velocidad vale

<center><math>\vec{v}_i = v_0\vec{\imath}-g\sqrt{\frac{2h}{g}}\vec{k}=v_0\vec{\imath}-\sqrt{2gh}\vec{k}=\left(8.0\vec{\imath}-19.8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

La rapidez con la que impacta la masa es el módulo de esta velocidad

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{8.0^2+19.8^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 21.4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Estudio de magnitudes instantáneas==
En un instante dado, una partícula ocupa la posición <math>\vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}</math>, tiene una velocidad <math>\vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y una aceleración <math>\vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.

===Pregunta 1===
¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s²?

* '''A''' <math>a_t=0.00</math> y <math>a_n=2.50</math>
* '''B''' <math>a_t=2.00</math> y <math>a_n=1.50</math>
* '''C''' <math>a_t=-2.50</math> y <math>a_n=0.00</math>
* '''D''' <math>a_t=-1.50</math> y <math>a_n=2.00</math>

;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

No podemos hallar la aceleración tangencial como la derivada de la rapidez, ya que la conocemos en un solo instante. En su lugar, calculamos esta componente como la proyección sobre la velocidad. En forma escalar

<center><math>a_t = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}</math></center>

Siendo la rapidez

<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{4.00^2+3.00^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

y

<center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(0\cdot 0+0\cdot 4.00+(-2.50)\cdot 3.00\right)\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=-7.50\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}</math></center>

Así obtenemos

<center><math>a_t = -\frac{7.50}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Con esto ya tenemos la respuesta correcta, pues hay solo una con este valor, la D.

No obstante, podemos hallar la aceleración normal escalar

<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{2.50^2-(1.50)^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=2.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

===Pregunta 2===
¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?

* '''A''' R = 10.0 m
* '''B''' R <math>\to\infty\,</math>
* '''C''' R = 16.7 m
* '''D''' R = 12.5 m
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

Una vez que tenemos la rapidez y la aceleración normal calculamos el radio de curvatura

<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}= \frac{(5.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{2.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}\,\mathrm{m}=12.5\,\mathrm{m}</math></center>

===Pregunta 3===
¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo Δt = 10 s más tarde?

* '''A''' <math>\vec{r}= 40\vec{\jmath}-90\vec{k}</math> y <math>\vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}</math>.
* '''B''' <math>\vec{r}=40\vec{\jmath}+35\vec{k}</math> y <math>\vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}</math>.
* '''C''' <math>\vec{r}= 40\vec{\jmath}-95\vec{k}</math> y <math>\vec{v}=4\vec{\jmath}+3\vec{k}</math>.
* '''D''' No hay información suficiente para calcularlas.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

Para hallar la posición en un instante posterior no nos basta con los datos de la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado. No sabemos cómo cambian en el tiempo estas cantidades y por tanto no disponemos de información suficiente para responder a esta pregunta.

==Caso de aceleración tangencial constante==
Una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia de radio R en el plano OXY con centro el origen, de forma que su aceleración tangencial es constante.
En este movimiento la aceleración normal…

* '''A''' aumenta cuadráticamente con el tiempo, <math>a_n = At^2+Bt+C</math>
* '''B''' puede tener cualquier valor y cualquier variación
* '''C''' es constante.
* '''D''' aumenta linealmente con el tiempo, <math>a_n = At+B</math>

;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Si la aceleración tangencial es constante, quiere decir que la rapidez varía linealmente con el tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t =\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}| = v_0+ a_t t</math></center>

y por tanto la aceleración normal aumenta cuadráticamente con el tiempo

<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R} = \frac{(v_0+a_tt)^2}{R}=\frac{a_t^2}{R}t^2+\frac{2v_0a_t}{R}t+\frac{v_0^2}{R} = At^2+B t + C</math></center>

==Varillas que giran en sentidos opuestos==
Se tiene una pequeña anilla P ensartada en la intersección de dos barras situadas en el plano XY: una pasa por el origen de coordenadas, girando uniformemente con velocidad angular Ω; la otra gira en sentido opuesto con la misma velocidad angular en valor absoluto en torno a un punto del eje OX situado a una distancia L del origen. En t = 0 ambas barras coinciden con el propio eje OX

<center>[[Archivo:varillas-rotatorias-simetricas.png]]</center>

===Pregunta 1===
¿Qué trayectoria sigue la anilla?

* '''A''' Circular
* '''B''' Parabólica
* '''C''' Rectilínea
* '''D''' Helicoidal
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

Las dos varillas giran con la misma velocidad angular pero en sentidos opuestos, partiendo ambas del valor 0. Esto quiere decir que en todo instante, los ángulos en O y en A son iguales y el triángulo OPA es isósceles. Por tanto, el punto P se encuentra siempre sobre el punto medio de la base y su movimiento es estrictamente vertical.

<center>[[Archivo:varillas-opuestas.gif]]</center>

Analíticamente podemos ver que si la partícula se encuentra en

<center><math>\vec{r} = x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}</math></center>

debe cumplirse

<center><math>\frac{y}{x}=\mathrm{tg}(\Omega t)\qquad\qquad \frac{y}{L-x}=\mathrm{tg}(\Omega t)</math></center>

y por tanto

<center><math>\frac{y}{x}=\frac{y}{L-x}\qquad \Rightarrow\qquad x = \frac{L}{2}\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)</math></center>

Vemos que efectivamente la anilla asciende por la recta x = L/2. Su ecuación horaria es

<center><math>\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}+\frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

===Pregunta 2===
¿Cuales son las ecuaciones horarias de P en coordenadas polares?

* '''A''' <math>\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t</math>
* '''B''' <math>\rho = (L/2)\cos(\Omega t)\qquad \theta = \Omega t</math>
* '''C''' <math>\rho = L\tan(\Omega t)/2\qquad \theta = \Omega t</math>
* '''D''' <math>\rho = L/2\qquad \theta = \Omega t</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Para pasar de cartesianas a polares tenemos las relaciones

<center><math>x = \rho\cos(\theta)\qquad \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta)</math></center>

y sus opuestas

<center><math>\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math></center>

<center>[[Archivo:varilla-rotatoria-triangulo.png]]</center>

En este caso evidentemente el ángulo <math>\theta</math> coincide con el ángulo <math>\theta</math>

<center><math>\theta=\theta = \Omega t</math></center>

mientras que <math>\rho</math> es la hipotenusa de un triángulo cuyo cateto contiguo mide L/2

<center><math>\rho = \frac{x}{\cos(\theta)} = \frac{L/2}{\cos(\Omega t)}</math></center>

(o directamente a partir de la raíz cuadrada por el teorema de Pitágoras).

Las coordenadas polares de la anilla son entonces

<center><math>\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t</math></center>

===Pregunta 3===
¿Cuánto vale su aceleración como función del tiempo?
* '''A''' <math>\vec{a}=(L\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)/\cos(\Omega t))\vec{\jmath}</math>
* '''B''' <math>\vec{a}=(L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)/\cos^3(\Omega t))\vec{\jmath}</math>
* '''C''' <math>\vec{a}=(L\Omega^2/\cos^3(\Omega t))(\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath})</math>
* '''D''' <math>\vec{a}=\vec{0}</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

Podemos responder a esta pregunta sin necesidad de calcular la aceleración.

La partícula se mueve de forma no uniforme, por lo que su aceleración no es nula. Esto descarta la respuesta D.

La anilla describe un movimiento rectilíneo en todo momento, por lo que la velocidad y la aceleración llevan la dirección de la recta de movimiento, que tiene la dirección de <math>\vec{\jmath}</math>. Por ello la respuesta C no puede ser correcta.

Quedan las opciones A y B. La aceleración tiene dimensiones de L/T², pero la opción de la respuesta A tiene dimensiones de longitud solamente, por lo que no puede ser correcta. Por tanto, solo queda la opción B.

Veamos que efectivamente es así calculando la aceleración. Teníamos que

<center><math>\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}+\frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

Calculamos la velocidad derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=\frac{L\Omega}{2\cos^2(\Omega t)}\vec{\jmath}</math></center>

y derivando otra vez obtenemos la aceleración

<center><math>\vec{a}=\frac{L\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)}{\cos^3(\Omega t)}\vec{\jmath}</math></center>

==Estudio de movimiento instantáneo==
En un instante dado una partícula se encuentra en <math>\vec{r}_1=2\vec{\imath}-3\vec{k}</math> (m), moviéndose con velocidad <math>\vec{v}_1 = -3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}</math> (m/s)y aceleración <math>\vec{a}_1 = 25\vec{\jmath}-20\vec{k}</math> (m/s²). En ese instante…

===Pregunta 1===
¿cuánto vale la aceleración tangencial (escalar)?
* '''A''' Necesitamos conocer como varía <math>|\vec{v}|</math> con el tiempo.
* '''B''' 20 m/s²
* '''C''' <math>(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''D''' 0 m/s²
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

La aceleración tangencial la calculamos proyectando la aceleración sobre la velocidad

<center><math>a_t=\frac{\vec{a}_1\cdot\vec{v}_1}{|\vec{v}|}</math></center>

siendo la rapidez

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Esto da

<center><math>a_t = \frac{0\cdot(-3)+25\cdot 4-20\cdot 0}{5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

===Pregunta 2===
¿cuánto vale la aceleración normal (vector)?

* '''A''' <math>\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''B''' 25 m/s²
* '''C''' <math>(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''D''' <math>(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

Podemos calcular la aceleración normal sin necesidad de hallar la tangencial calculando la componente ortogonal de la aceleración

<center><math>\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}</math></center>

El primer producto vectorial vale

<center><math>\vec{v}_1\times\vec{a}_1=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -3 & 4 & 0 \\ 0 & 25 & -20\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=(-80\vec{\imath}-60\vec{\jmath}-75\vec{k})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}</math></center>

y el segundo

<center><math>(\vec{v}_1\times\vec{a}_1)\times\vec{v}_1=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -80 & -60 & -75 \\ -3 & 4 & 0 \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}^4}=(300\vec{\imath}+225\vec{\jmath}-500\vec{k})\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}^4}</math></center>

y obtenemos finalmente

<center><math>\vec{a}_n = \frac{300\vec{\imath}+225\vec{\jmath}-500\vec{k}}{25}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=\left(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

===Pregunta 3===
¿cuánto vale el radio de curvatura?

* '''A''' 1.25 m.
* '''B''' 1 m.
* '''C''' No hay información suficiente para hallarlo.
* '''D''' 0.80 m.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

El radio de curvatura lo podemos calcular con la expresión

<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{(5\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^3}{\sqrt{(-80)^2+(-60^2)+(-75)^2}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^3}=\frac{125}{125}\mathrm{m}=1\,\mathrm{m}</math></center>

==Movimiento circular en función del ángulo==
Una partícula describe un movimiento circular de radio R en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de forma que su velocidad angular cumple en cada instante

<center><math>\vec{\omega}=\left(\sqrt{C\theta}\right)\vec{k}</math></center>

siendo C una constante positiva y <math>\theta=\theta(t)</math> el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX. La partícula parte en <math>t = 0</math> desde <math>\theta=\pi/2</math>.

===Pregunta 1===
¿Qué tipo de movimiento describe esta partícula?

* '''A''' Circular uniformemente acelerado.
* '''B''' Oscilatorio a lo largo de la circunferencia.
* '''C''' Uno con aceleración angular que va como <math>1/\sqrt{\theta}</math>
* '''D''' Circular uniforme.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Este problema es la versión circular de uno [[Ejemplos_de_velocidad_en_funci%C3%B3n_de_la_posici%C3%B3n|rectilíneo]].

Para identificar el movimiento calculamos su aceleración angular. Esta se define como la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}</math></center>

siendo

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \omega = \sqrt{C\theta}</math></center>

En este caso tenemos la velocidad angular como función del ángulo por lo que aplicamos la regla de la cadena

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}</math></center>

pero

<center><math>\dot{\theta}=\omega</math></center>

así que la aceleración angular equivale a

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\theta}\omega\vec{k}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\theta}\left(\frac{\omega^2}{2}\right)\vec{k}</math></center>

Elevando al cuadrado

<center><math>\frac{1}{2}\omega^2 = \frac{1}{2}C\theta</math></center>

así que queda

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\theta}\left(\frac{C\theta}{2}\right)\vec{k}=\frac{C}{2}\vec{k}</math></center>

La aceleración angular es constante y por tanto el movimiento es circular uniformemente acelerado.

===Pregunta 2===
En este movimiento, ¿son constantes las aceleraciones tangencial y normal (escalares)?

* '''A''' La tangencial sí, pero la normal no.
* '''B''' Las dos son constantes.
* '''C''' No son constantes ni una ni la otra.
* '''D''' La normal sí, pero la tangencial no.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La aceleración tangencial (tangencial) en un movimiento circular es igual a

<center><math>a_t=\alpha R\,</math></center>

En este caso sabemos que la aceleración angular es constante, por lo que la tangencial también lo es

<center><math>a_t = \frac{CR}{2}\,</math></center>

La aceleración normal, en cambio, aumenta al crecer la velocidad angular

<center><math>a_n =\omega^2R\,</math></center>

Por tanto en este movimiento la aceleración tangencial (escalar) es constante y la normal no.

===Pregunta 3===
¿Cuánto vale la aceleración lineal de la partícula en t = 0?

* '''A''' <math>(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}</math>
* '''B''' <math>(CR/2)\vec{k}</math>
* '''C''' <math>-(C R/2)\vec{\imath}</math>
* '''D''' <math>-(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

En t = 0 la partícula se encuentra en <math>\theta = \pi/2</math>, esto quiere decir que su vector de posición instantáneo es

<center><math>\vec{r} = R\vec{\jmath}</math></center>

Para este punto la velocidad angular es

<center><math>\vec{\omega}=\sqrt{C\theta}\vec{k}=\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}</math></center>

y la aceleración angular

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{C}{2}\vec{k}</math></center>

Con todo esto, podemos calcular la aceleración mediante la fórmula

<center><math>\vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>

El primer término, el vector aceleración tangencial vale

<center><math>\vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\left(\frac{C}{2}\vec{k}\right)\times(R\vec{\jmath})=-\frac{CR}{2}\vec{\imath}</math></center>

y el segundo, la aceleración normal

<center><math>\vec{a}_n=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(\left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(R\vec{\jmath}\right)\right)= \left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(-R\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{\imath}\right)=-\frac{C\pi R}{2}\vec{\jmath}</math></center>

==Movimiento circular==
Una partícula describe un movimiento circular uniforme tal que en <math>t=0</math> pasa por el origen de coordenadas con velocidad <math>\vec{v}=2\vec{\imath}+8\vec{\jmath}+16\vec{k}</math> (m/s) y con aceleración <math>\vec{a}=4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}</math> (m/s²).

===Pregunta 1===
¿Cuál es la posición del centro de curvatura, <math>\vec{r}_c</math>?

:* '''A''' <math>(16\vec{\imath}+28\vec{\jmath}-16\vec{k})</math> m
:* '''B''' <math>(4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k})</math> m
:* '''C''' <math>(36\vec{\imath}+63\vec{\jmath}-36\vec{k})</math> m
:* '''D''' <math>\vec{0}</math> m
;Solución
La respuesta correcta es la '''A'''.

En este instante, la aceleración es puramente normal

<center><math>\vec{v}\cdot\vec{a}=2\cdot 4+8\cdot 7-16\cdot 4 = 0</math></center>

por lo que el vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración

<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}=\frac{4}{9}\vec{\imath}+\frac{7}{9}\vec{\jmath}-\frac{4}{9}\vec{k}</math></center>

La rapidez en este instante es

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{2^2+8^2+16^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=18\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

y el radio de curvatura vale

<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{324}{9}=36\,\mathrm{m}</math></center>

por lo que el centro de curvatura se encuentra en

<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\vec{0}+36\left(\frac{4}{9}\vec{\imath}+\frac{7}{9}\vec{\jmath}-\frac{4}{9}\vec{k}\right)=(16\vec{\imath}+28\vec{\jmath}-16\vec{k})\mathrm{m}</math></center>
===Pregunta 2===
¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre <math>t=0</math> s y <math>t=4\pi</math> s?

:* '''A''' No hay información suficiente para saberlo.
:* '''B''' <math>\vec{0}</math> m
:* '''C''' 36 m
:* '''D''' 72π m
;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

La rapidez de una partícula que describe un movimiento circular uniforme es igual a

<center><math>|\vec{v}|=\omega R</math></center>

y el periodo de revolución

<center><math>T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi R}{|\vec{v}|}</math></center>

En este caso

<center><math>T=\frac{2\pi\times 36\,\mathrm{m}}{18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\pi\,\mathrm{s}
</math></center>

Por tanto, el intervalo que se da es justamente un periodo completo, al final del cual la partícula se encuentra en el mismo punto que al principio y el desplazamiento es nulo.

==Movimiento en polares==
Una partícula se mueve en el plano de forma que en todo momento sus coordenadas polares verifican

<center><math>\rho(t)=\frac{A}{t}\qquad\qquad \theta(t)=B t^2</math></center>

con <math>A</math> y <math>B</math> constantes. Para esta partícula es constante…

:* '''A''' la aceleración
:* '''B''' la componente radial de la velocidad.
:* '''C''' la componente acimutal de la velocidad.
:* '''D''' la rapidez.

;Solución
La respuesta correcta es la '''C'''.

La velocidad, expresada en polares, es de la forma

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta</math></center>

siendo en este caso

<center><math>\vec{v}=-\frac{A}{t^2}\vec{u}_\rho+\frac{A}{t}(2Bt)\vec{u}_\theta=
-\frac{A}{t^2}\vec{u}_\rho+2AB\vec{u}_\theta</math></center>

Vemos que la componente acimutal de la velocidad es una constante, <math>2AB</math>.

La rapidez y la aceleración no son constantes, como se comprueba sustituyendo en la fórmulas

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>

y

<center><math>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta</math></center>

==Triedro de Frenet==
En el movimiento de una partícula, en un instante dado el vector tangente a la trayectoria es
<math>
\vec{T}=0.64\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.48\vec{k}
</math>

===Pregunta 1===
¿Cuál de los siguientes vectores puede ser el vector normal, <math>\vec{N}</math>, de dicho movimiento?

:* '''A''' <math>\vec{N}=-0.30\vec{\imath}+0.40\vec{k}</math>
:* '''B''' <math>\vec{N}=0.48\vec{\imath}+0.80\vec{\jmath}+0.36\vec{k}</math>
:* '''C''' <math>\vec{N}=0.24\vec{\imath}+0.40\vec{\jmath}+0.18\vec{k}</math>
:* '''D''' <math>\vec{N}=0.80\vec{\imath}+0.50\vec{\jmath}+0.60\vec{k}</math>

;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

El vector normal debe ser unitario y ortogonal a <math>\vec{T}</math>. El único unitario es el de la opción B.

===Pregunta 2===
Y dados los vectores <math>\vec{T}</math> y <math>\vec{N}</math> anteriores, ¿cuál puede ser el vector binormal, <math>\vec{B}</math>?

:* '''A''' <math>\vec{B}=-0.80\vec{\imath}+0.60\vec{k}</math>
:* '''B''' <math>\vec{B}=-0.60\vec{\imath}+0.80\vec{k}</math>
:* '''C''' <math>\vec{B}=0.60\vec{\imath}-0.80\vec{k}</math>
:* '''D''' <math>\vec{B}=-0.30\vec{\imath}+0.40\vec{k}</math>
;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

Se calcula como

<center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{B}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.64 & -0.60 & 0.48 \\ 0.48 & 0.80 & 0.36 \end{matrix}\right|=\left\{\begin{array}{rc}\left(-0.60\times 0.36-0.48\times 0.80\right)\vec{\imath} & + \\ \left(0.48\times 0.48-0.64\times 0.36\right)\vec{\jmath}& + \\ \left(0.64\times 0.80+0.60\times 0.48\right)\vec{k}&\end{array}\right\}=-0.60\vec{\imath}+0\vec{\jmath}+0.80\vec{k}</math></center>

[[Categoría:Preguntas de test de Física I (GIE)]]

Anilla ensartada en dos varillas (GIE)

2019-10-14T10:48:34Z

Anamaram: /* Método 2: Ecuaciones implícitas */

==Enunciado==
Una pequeña anilla <math>P</math> se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. \ellos extremos fijos de las barras distan una cantidad <math>\ell</math>
y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante <math>\Omega</math> de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

<center>[[Archivo:anilla-dos-varillas-2.png|400px]]</center>

# ¿Cuáles son las ecuaciones horarias de <math>P</math>?
# ¿Qué clase de trayectoria describe?
# ¿Qué tipo de movimiento realiza?

==Ecuaciones horarias==
===Método 1: ángulo en P===
La forma más directa de obtener las ecuaciones horarias es observando que el ángulo que forman las dos varillas en P es recto.

[[Archivo:angulos-anilla-varillas-3.png|right|400px]]

Para ver que es así, notamos que el ángulo que la varilla de la derecha forma con el sentido negativo del eje OX es el complementario de <math>\theta</math>, esto es

<center><math>\varphi=90^\circ-\theta</math></center>

Por otro lado, como los ángulos de un triángulo suman <math>\pi</math>, el ángulo <math>\beta</math> que forman las varillas en P es igual a

<center><math>\beta = 180^\circ-\theta-\phi = 180^\circ - \theta - \left(90^\circ-\theta\right) = 90^\circ</math></center>

Una vez que sabemos que se trata de un triángulo rectángulo, la obtención de las ecuaciones horarias es inmediata.

La distancia <math>r = |\overrightarrow{OP}|</math> es el cateto contiguo del triángulo, respecto al ángulo en O, por tanto

<center><math>r = |\overrightarrow{OP}| = \ell\cos(\theta)=\ell\cos(\Omega t)</math></center>

Una vez que tenemos esta distancia, proyectamos sobre los ejes cartesianos, para obtener las dos coordenadas

<center><math>x = r\cos(\theta) = \ell\cos^2(\Omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = \ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\vec{r}(t) = \ell\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

===Método 2: cálculo de las coordenadas===
Supongamos que la idea de medir el ángulo en P no es inmediata, ¿no pueden hallarse las ecuaciones horarias de una manera más sistemática? Por supuesto que sí. Sean <math>x</math> e <math>y</math> las coordenadas cartesianas del punto P, <math>r(t)</math> la distancia entre O y P (variable) y <math>b</math> la distancia entre A y P (también variable). Se cumple

<center><math>x = r \cos(\theta) = r \cos(\Omega t)\qquad\qquad y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = r\,\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center>

Si tomamos la base y la altura del triángulo se cumple

<center><math>r\cos(\Omega t)+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)=\ell\qquad\qquad
r\,\mathrm{sen}(\Omega t) = b\cos(\Omega t) </math></center>

Multiplicando la primera ecuación por el coseno, la segunda por el seno y sumando queda

<center><math>r = \ell\cos(\Omega t)</math></center>

y una vez que tenemos <math>r(t)</math> tenemos las ecuaciones horarias:

<center><math>\vec{r}(t) = \ell\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

==Trayectoria==
Una vez que tenemos las ecuaciones horarias, ya poseemos una parametrización de la trayectoria (usando el tiempo como variable). No obstante, es de interés el determinar si esta trayectoria posee una ecuación reconocible.

===Método 1: Arco capaz===
[[Archivo:trayectoria-anilla-varillas.png|right]]

Una vez que se sabe que el ángulo que forman las varillas en <math>P</math> es recto, es inmediato que la trayectoria es circular. Tal como se ve en el problema del [[Arco capaz (GIE)|arco capaz]], cuando tenemos dos segmentos <math>\overrightarrow{OP}</math> y <math>\overrightarrow{AP}</math> que son siempre perpendiculares en P, entonces, si C es el punto medio entre O y A, la distancia entre C y P cumple

<center><math>|\overrightarrow{CP}|=\frac{\ell}{2} = \mathrm{cte}</math></center>

y por tanto P describe un movimiento circular sobre una circunferencia de radio <math>\ell/2</math> centrada en C, el punto medio de O y A

===Método 2: Ecuaciones implícitas===
Si no se conocen las propiedades de un arco capaz, puede identificarse la trayectoria obteniendo unas ecuaciones implícitas de ella a partir de las ecuaciones horarias

Tenemos en primer lugar que la trayectoria es plana, ya que la anilla se encuentra en todo momento en el plano OXY, esto es,

<center><math>z = 0\,</math></center>

Vimos anteriormente que la distancia OP cumple

<center><math>\sqrt{x^2+y^2}= r = |\overrightarrow{OP}| = \ell\cos(\Omega t)</math></center>

y que las coordenadas cartesianas del punto P valen

<center><math>x = \ell \cos^2(\Omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y = \ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\,</math></center>

Entonces es inmediato que

<center><math>x^2 +y^2 = r^2 = \ell^2\cos^2(\Omega t) = \ell x\,</math></center>

La ecuación

<center><math>x^2 - \ell x + y^2 = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>z=0\,</math></center>

representa una circunferencia en el plano OXY en el que se encuentra la partícula. Obtenemos su centro y su radio completando cuadrados

<center><math>x^2 - \ell x + \frac{\ell^2}{4}+y^2 = \frac{\ell^2}{4}</math>{{tose}}<math>\left(x-\frac{\ell}{2}\right)^2+y^2 = \left(\frac{\ell}{2}\right)^2</math></center>

por lo que el centro de la circunferencia y su radio son

<center><math>\vec{r}_c = \frac{\ell}{2}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>R = \frac{\ell}{2}</math></center>

Por tanto, como dijimos, el punto P describe un movimiento circular de centro C y radio <math>\frac{\ell}{2}</math>.

===Método 3: Radio de curvatura===
Si no se conocen ni las propiedades del arco capaz, ni se han hallado ecuaciones implícitas, puede también determinarse que el movimiento es circular estableciendo que el movimiento es plano y que su radio de curvatura es constante.

Que la trayectoria es plana es inmediato de que la anilla se encuentre limitada al plano OXY

<center><math>z = 0\,</math></center>

Para hallar el radio de curvatura, según la fórmula

<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}</math></center>

calculamos en primer lugar la velocidad

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\ell\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Usando las funciones trigonométricas del ángulo doble esto se simplifica a

<center><math>\vec{v}= \ell\Omega\left(-\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>

La rapidez de este movimiento es

<center><math>v=|\vec{v}| = \ell\Omega</math></center>

que es una cantidad constante, por lo que el movimiento es uniforme.

Hallamos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-2\ell\Omega^2\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>

Calculamos el producto vectorial de la velocidad y la aceleración

<center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -\ell\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t) & \ell\Omega\cos(2\Omega t) & 0 \\ -2\ell\Omega^2\cos(2\Omega t) & -2\ell\Omega^2\mathrm{sen}(2\Omega t) & 0 \end{matrix}\right| = 2\ell^2\Omega^3\vec{k}</math></center>

lo que nos da el radio de curvatura

<center><math>R = \frac{v^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|} = \frac{\ell^3\Omega^3}{2\ell^2\Omega^3}=\frac{\ell}{2}=\mathrm{cte}</math></center>

Tenemos entonces que la partícula describe una trayectoria plana con radio de curvatura constante. Por tanto, su movimiento es circular.

==Tipo de movimiento==

[[Archivo:animacion-anilla-varillas.gif|right]]

Según hemos dicho, la velocidad la calculamos derivando el vector de posición respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\ell\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math><math>=\ell\Omega\left(-\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>

La rapidez de este movimiento es

<center><math>|\vec{v}| = \ell\Omega</math></center>

que por ser constante, define este movimiento como uniforme.

Por tanto, la anilla describe un movimiento circular uniforme en el plano OXY, con centro en el punto medio entre los puntos de anclaje de las dos varillas y radio la mitad de la distancia entre estos dos puntos

<center><math>\vec{r}=\frac{\ell}{2}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>R=\frac{\ell}{2}</math></center>

A partir de la expresión para la velocidad en un movimiento circular

<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_c)</math></center>

se obtiene que la velocidad angular de este movimiento es

<center><math>\vec{\omega}=2\Omega\vec{k}</math></center>

[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]][[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-10-14T10:03:49Z

Anamaram: /* Enunciado */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto P para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>

==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}_0|=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>

== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Comparación de dos producciones de entropía

2019-07-24T10:06:11Z

Anamaram: /* Agua fría en tanque caliente */

==Enunciado==
Halle la variación de entropía del sistema, del ambiente y del universo en los dos casos siguientes:

# Se vierte un litro de agua a 80°C en una piscina a 20°C.
# Se vierte un litro de agua a 20°C en una piscina a 80°C.

==Solución general==
Los dos fenómenos son del mismo tipo: una cierta cantidad de sustancia a una temperatura <math>T_i</math> es puesta en contacto con un baño térmico a una temperatura <math>T_f</math>. Como resultado, la temperatura de la sustancia cambia hasta igualarse con la del baño. En el proceso se produce una transferencia de calor y una variación en la entropía del universo.

Para hallar esta variación separamos en la variación de la entropía del sistema, del baño y la total.

===Variación de entropía del ambiente===
Cuando el agua del sistema se enfría o se calienta intercambia una cierta cantidad de calor igual a

<center><math>Q_\mathrm{sis} = \Delta U - W\,</math></center>

Puesto que el proceso ocurre a presión constante, el trabajo realizado sobre el sistema no es nulo, sino que vale <math>-p\Delta V</math>. Para incluirlo en los cálculos, en lugar de la energía interna usamos la entalpía <math>H = U + p V</math>. A presión constante, el calor equivale a la variación de la entalpía, y es proporcional a la variación de la temperatura

<center><math>Q_\mathrm{sis} = \Delta H = mc_p(T_f-T_i)\,</math></center>

siendo <math>c_p = 1\,\mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}</math> el calor específico del agua (por unidad de masa).

Este calor es negativo si el sistema se enfría (pues en realidad sale del sistema) y positivo si se calienta.

El calor que ''entra'' en el ambiente es este mismo, cambiado de signo

<center><math>Q_\mathrm{amb} = -Q_\mathrm{sis} = mc_p(T_i-T_f)\,</math></center>

Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente) <math>T_f</math>, por lo que el aumento de entropía del ambiente es

<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=\frac{Q_\mathrm{amb}}{T_\mathrm{amb}} = \frac{mc_p(T_i-T_f)}{T_f} </math></center>

===Variación de entropía del sistema===
El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. Al verter el agua, el cambio de temperatura se producirá en general de una forma complicada. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados.

Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el agua vertida se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente diferente al siguiente, de forma que situaríamos al agua en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía.

La variación de entropía cuando el agua pasa de una temperatura <math>T</math> a una <math>T + dT</math> es

<center><math>\mathrm{d}S = \frac{\delta Q^\mathrm{rev}}{T}= \frac{mc_p\,\mathrm{d}T}{T}</math></center>

Si suponemos que el calor específico no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía

<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)</math></center>

===Variación de entropía total===
Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo.

<center><math>\Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{amb}+\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p\left(\frac{T_i-T_f}{T_f}+\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\right)</math></center>

La fórmula puede aplicarse tanto al primer caso, de enfriamiento, como al segundo, de calentamiento. Puesto que los dos procesos parecen simétricos, podría pensarse que van a resultar iguales y de signo contrario. Veremos que no es así.

==Agua caliente en tanque frío==
En el primer caso

<center><math>T_i = 353\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_f = 293\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m=1.0\,\mathrm{kg}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>c_p=4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}</math></center>

lo que nos da para la variación de entropía del sistema

<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = -778\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

Para el ambiente es

<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=\frac{mc_p(T_i-T_f)}{T_f}=+856\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

La del universo es

<center><math>\Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{amb}+\Delta S_\mathrm{sis} = +78\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

La variación de la entropía es positiva, como corresponde a un proceso irreversible. El sistema reduce su entropía al enfriarse, pero al ambiente ve incrementada la suya en una cantidad mayor.

==Agua fría en tanque caliente==
En el segundo caso

<center><math>T_i = 293\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_f = 353\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m=1\,\mathrm{kg}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>c_p=4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}</math></center>

lo que nos da para la variación de entropía del sistema

<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = +778\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

Esta es igual a la del caso anterior, pero cambiada de signo. Esto está de acuerdo con que se trata del mismo proceso reversible recorrido en sentido contrario.

Para el ambiente es ahora

<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=\frac{mc_p(T_i-T_f)}{T_f}=-710\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

que es ''diferente'' de la del caso anterior (el denominador es distinto).

La del universo es en este caso

<center><math>\Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{amb}+\Delta S_\mathrm{sis} = +68\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

La variación de la entropía vuelve a ser ''positiva'', ya que de nuevo tenemos un proceso irreversible. El sistema aumenta su entropía al calentarse, y la reducción en la entropía del ambiente es más pequeña.

[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica (GIE)]]

Comparación de dos producciones de entropía

2019-07-24T10:05:40Z

Anamaram: /* Agua caliente en tanque frío */

==Enunciado==
Halle la variación de entropía del sistema, del ambiente y del universo en los dos casos siguientes:

# Se vierte un litro de agua a 80°C en una piscina a 20°C.
# Se vierte un litro de agua a 20°C en una piscina a 80°C.

==Solución general==
Los dos fenómenos son del mismo tipo: una cierta cantidad de sustancia a una temperatura <math>T_i</math> es puesta en contacto con un baño térmico a una temperatura <math>T_f</math>. Como resultado, la temperatura de la sustancia cambia hasta igualarse con la del baño. En el proceso se produce una transferencia de calor y una variación en la entropía del universo.

Para hallar esta variación separamos en la variación de la entropía del sistema, del baño y la total.

===Variación de entropía del ambiente===
Cuando el agua del sistema se enfría o se calienta intercambia una cierta cantidad de calor igual a

<center><math>Q_\mathrm{sis} = \Delta U - W\,</math></center>

Puesto que el proceso ocurre a presión constante, el trabajo realizado sobre el sistema no es nulo, sino que vale <math>-p\Delta V</math>. Para incluirlo en los cálculos, en lugar de la energía interna usamos la entalpía <math>H = U + p V</math>. A presión constante, el calor equivale a la variación de la entalpía, y es proporcional a la variación de la temperatura

<center><math>Q_\mathrm{sis} = \Delta H = mc_p(T_f-T_i)\,</math></center>

siendo <math>c_p = 1\,\mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot\mathrm{K}</math> el calor específico del agua (por unidad de masa).

Este calor es negativo si el sistema se enfría (pues en realidad sale del sistema) y positivo si se calienta.

El calor que ''entra'' en el ambiente es este mismo, cambiado de signo

<center><math>Q_\mathrm{amb} = -Q_\mathrm{sis} = mc_p(T_i-T_f)\,</math></center>

Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente) <math>T_f</math>, por lo que el aumento de entropía del ambiente es

<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=\frac{Q_\mathrm{amb}}{T_\mathrm{amb}} = \frac{mc_p(T_i-T_f)}{T_f} </math></center>

===Variación de entropía del sistema===
El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. Al verter el agua, el cambio de temperatura se producirá en general de una forma complicada. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados.

Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el agua vertida se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente diferente al siguiente, de forma que situaríamos al agua en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía.

La variación de entropía cuando el agua pasa de una temperatura <math>T</math> a una <math>T + dT</math> es

<center><math>\mathrm{d}S = \frac{\delta Q^\mathrm{rev}}{T}= \frac{mc_p\,\mathrm{d}T}{T}</math></center>

Si suponemos que el calor específico no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía

<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)</math></center>

===Variación de entropía total===
Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo.

<center><math>\Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{amb}+\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p\left(\frac{T_i-T_f}{T_f}+\ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\right)</math></center>

La fórmula puede aplicarse tanto al primer caso, de enfriamiento, como al segundo, de calentamiento. Puesto que los dos procesos parecen simétricos, podría pensarse que van a resultar iguales y de signo contrario. Veremos que no es así.

==Agua caliente en tanque frío==
En el primer caso

<center><math>T_i = 353\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_f = 293\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m=1.0\,\mathrm{kg}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>c_p=4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}</math></center>

lo que nos da para la variación de entropía del sistema

<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = -778\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

Para el ambiente es

<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=\frac{mc_p(T_i-T_f)}{T_f}=+856\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

La del universo es

<center><math>\Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{amb}+\Delta S_\mathrm{sis} = +78\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

La variación de la entropía es positiva, como corresponde a un proceso irreversible. El sistema reduce su entropía al enfriarse, pero al ambiente ve incrementada la suya en una cantidad mayor.

==Agua fría en tanque caliente==
En el segundo caso

<center><math>T_i = 293\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>T_i = 353\,\mathrm{K}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m=1\,\mathrm{kg}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>c_p=4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}</math></center>

lo que nos da para la variación de entropía del sistema

<center><math>\Delta S_\mathrm{sis} = mc_p \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = +778\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

Esta es igual a la del caso anterior, pero cambiada de signo. Esto está de acuerdo con que se trata del mismo proceso reversible recorrido en sentido contrario.

Para el ambiente es ahora

<center><math>\Delta S_\mathrm{amb}=\frac{mc_p(T_i-T_f)}{T_f}=-710\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

que es ''diferente'' de la del caso anterior (el denominador es distinto).

La del universo es en este caso

<center><math>\Delta S_\mathrm{u}=\Delta S_\mathrm{amb}+\Delta S_\mathrm{sis} = +68\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center>

La variación de la entropía vuelve a ser ''positiva'', ya que de nuevo tenemos un proceso irreversible. El sistema aumenta su entropía al calentarse, y la reducción en la entropía del ambiente es más pequeña.

[[Categoría:Problemas del segundo principio de la termodinámica (GIE)]]

Preguntas de test de introducción a la termodinámica (GIE)

2019-07-23T13:36:02Z

Anamaram: /* Dilatación de raíles */

==Temperatura de un gas==
Un gas ideal diatómico contenido en un recipiente ocupa un volumen de 500 cm³ a una presión de 4.0 bares y 300 K de temperatura. Experimenta una expansión hasta un estado final en el que ocupa un volumen de 1000 cm³ a una presión de 1.0 bares.

¿Cuál es la temperatura final del gas?

:* '''A''' 150 K
:* '''B''' Depende de si las paredes son adiabáticas o diatermas.
:* '''C''' 75 K
:* '''D''' 600 K
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La ley de los gases ideales da

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

de donde la temperatura final es

<center><math>T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A = \frac{1.0\times 1000}{4.0\times 500}300\,\mathrm{K}=150\,\mathrm{K}</math></center>

==Temperatura en un proceso==
Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión <math>p_0</math>, volumen <math>V_0</math> y temperatura <math>T_0</math>. Experimenta un proceso tal que la presión final es <math>2p_0</math> y el volumen <math>2V_0</math>.

En este proceso, la temperatura…

:* '''A''' permanece constante.
:* '''B''' se reduce a la mitad.
:* '''C''' aumenta al doble.
:* '''D''' se multiplica por 4.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

Como en la pregunta anterior, aplicamos la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

que en este caso da

<center><math>\frac{T_B}{T_A} = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} = \frac{(2p_0)(2V_0)}{p_0V_0}=4</math></center>
==Número de psi en una atmósfera==
Una atmósfera equivale a 101325 Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448 N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54 cm). ¿A cuantos psi equivale una atmósfera?

:* '''A''' 1 atm = 579 psi
:* '''B''' 1 atm = 1.50 psi
:* '''C''' 1 atm = 6894 psi
:* '''D''' 1 atm = 14.7 psi
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La equivalencia de psi en pascales la obtenemos mediante factores de conversión

<center><math>1\,\mathrm{psi}=\left(\frac{1\,\mathrm{lb}_f}{1\,\mathrm{in}^2}\right)\times\left(\frac{4.448\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{lb}_f}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{in}}{0.0254\,\mathrm{m}}\right)=6894\,\mathrm{Pa}</math></center>

Puesto que una atmósfera son 101325 pascales queda

<center><math>1\,\mathrm{atm}=1\,\mathrm{atm}\times\left(\frac{101325\,\mathrm{Pa}}{1\,\mathrm{atm}}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{psi}}{6894\,\mathrm{Pa}}\right)=14.7\,\mathrm{psi}</math></center>

==Título de una novela en Celsius==
En el paso de grados Celsius a Fahrenheit se cumple 0°C = 32°F y 100°C = 212 °F. El título de la novela ''Fahrenheit 451'' se refiere a la temperatura a la que arde el papel. ¿Cómo quedaría este título en la escala Celsius?

:* '''A''' ''Celsius 844''
:* '''B''' ''Celsius 213''
:* '''C''' ''Celsius 251''
:* '''D''' ''Celsius 233''
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La relación entre la temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit es lineal

<center><math>t_C = a + b t_F\,</math></center>

donde los coeficientes los sacamos de que conocemos dos puntos fijos

<center><math>0 =a + 32b\qquad\qquad 100 = a + 212b</math></center>

de donde

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(t_F-32)</math></center>

Sustituyendo aquí el valor de la temperatura de combustión del papel

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(451-32)=233^\circ\mathrm{C}</math></center>

==Densidad del aire húmedo==
El aire seco (sin vapor de agua) equivale a un gas ideal de peso molecular 29 g/mol. El agua tiene peso molecular de 18 g/mol. El aire húmedo es el que tiene una cierta cantidad de vapor de agua. A 1 atm y 300 K, ¿qué aire es más denso, el seco o el húmedo?

:* '''A''' Los dos tienen la misma densidad.
:* '''B''' El seco.
:* '''C''' Depende de la humedad del aire.
:* '''D''' El húmedo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

Para una presión y temperatura dadas, el número de moles por unidad de volumen esta fijado (según la ley de los gases ideales u otra más complicada en el caso no ideal). Esto quiere decir que el número de moléculas está fijado.

Entonces, cuando entra humedad en el aire seco, las moléculas de agua entran “en lugar de”, no “además de”, es decir, que para mantener constante la presión, por cada molécula de agua que entra, se desaloja una de oxígeno o una de nitrógeno.

Ahora bien, el peso molecular del oxígeno es 32 g/mol y el del nitrógeno 28 g/mol, siendo el del agua solo 18 g/mol. Por tanto, estamos sustituyendo algunas moléculas por otras más ligeras. Consecuentemente, la masa por unidad de volumen, es decir, la densidad, disminuye.

El aire húmedo es entonces más ligero que el aire seco a la misma presión y temperatura.

==Propiedad termométrica==
Se tiene un sistema cerrado que contiene un gas ideal cuya temperatura puede cambiar. ¿Cuál de las siguientes propiedades no nos sirve para construir una escala para un termómetro?

:* '''A''' El número de moles.
:* '''B''' La energía interna.
:* '''C''' La presión.
:* '''D''' El volumen.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Según la ley de los gases ideales, cuando se cambia la temperatura, cambia la presión o el volumen. También cambia la energía interna, que depende solo de la temperatura.

Lo único que no cambia con la temperatura es el número de moles, que simplemente nos indica cuantas moléculas hay en el gas. Por ello, el número de moles no se puede usar como propiedad termométrica (que debe ser una función de T).

==Dilatación de un paralelepípedo==
El coeficiente de dilatación lineal del oro a 20 °C es 14×10−6°C−1. Si se tiene un paralelepípedo de oro que a 20 °C ocupa 500 cm³, ¿cuánto aumenta el volumen cuando se calienta hasta 30 °C?

:* '''A''' 210 mm³
:* '''B''' 140 mm³
:* '''C''' 70 mm³
:* '''D''' 7 mm³
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La variación lineal de un sólido la da la ley de dilatación

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T</math></center>

y la volumétrica es

<center><math>\Delta V = V(3\alpha)\,\Delta T</math></center>

que en este caso vale

<center><math>\Delta V = (500\,\mathrm{cm}^3)\times(3\times 14\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times 10\,\mathrm{K}=0.21\,\mathrm{cm}^3=210\,\mathrm{mm}^3</math></center>

==Volumen de gasolina==
Una cierta cantidad de gasolina ocupa 1000 cm³ a 20 °C y 1019 cm³ a 40 °C. ¿Qué volumen ocupa a 80 °C?

:* '''A''' 1095 cm³
:* '''B''' 1057 cm³
:* '''C''' 1038 cm³
:* '''D''' 1076 cm³
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

La dilatación de un solido o un líquido es aproximadamente lineal con la temperatura

<center><math>V(T) = V_0(1+\beta(T-T_0))\,</math></center>

lo que nos permite calcular el coeficiente de dilatación <math>\beta</math>

<center><math>1019 = 1000(1+\beta(40-20))\qquad\Rightarrow\qquad \beta =9.5\times 10^{-4}\mathrm{K}^{-1}</math></center>

y aplicándolo ahora a la temperatura solicitada

<center><math>V = 1000(1+9.5\times 10^{-4}(80-20))\,\mathrm{cm}^3 = 1057\,\mathrm{cm}^3</math></center>

De forma más simple, el cálculo es que si subiendo 20 grados aumenta en 19cm³, subiendo 60°C aumenta el triple.

==Proceso en un gas==
Un gas ideal diatómico ocupa un cierto volumen <math>V_0</math> a una presión <math>p_0</math> y una temperatura <math>T_0</math>. Primero, manteniendo constante su volumen, se reduce lentamente su presión a <math>p_0/2</math>. Luego, manteniendo constante su nueva presión, se pone gradualmente en contacto con un foco a temperatura <math>T_0</math>. ¿Como se relacionan el volumen inicial, <math>V_0</math>, y final <math>V_f</math>, del gas?

:* '''A''' <math>V_f = V_0</math>
:* '''B''' <math>V_f = V_0/2</math>
:* '''C''' <math>V_f = 2V_0</math>
:* '''D''' <math>V_f = 4V_0</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

Es simple aplicación de la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_fV_f}{T_f}=\frac{p_0V_0}{T_0}</math></center>

que nos da

<center><math>V_f = \frac{p_0T_f}{p_f T_0}V_0=\frac{p_0T_0}{(p_0/2)T_0}V_0=2V_0</math></center>

Nótese que el estado final es independiente del proceso.

==Dilatación de raíles==
Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18 m de longitud a 20°C. Si deben operar entre -10°C y 60°, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20°?

:* '''A''' 1 cm
:* '''B''' 2 cm
:* '''C''' 2 mm
:* '''D''' 5 mm

'''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13×10−6K−1
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicando la ley de la dilatación lineal

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T = 18\times 13\times 10^{-6}\times(60-20)\,\mathrm{m}=0.00936\,\mathrm{m}\simeq 1\,\mathrm{cm}</math></center>

Nótese que hay que considerar toda la dilatación lineal de los 18m, y no la mitad (considerando que el raíl se expande en los dos sentidos) ni el doble (considerando que hay dos raíles, uno a continuación del otro). Los dos factores se cancelan. Cada raíl se dilatará 5mm a cada lado, pero al ser dos raíles sucesivos, el espaciado debe ser 5mm + 5mm = 1cm.

==Dilatación de tapa==
Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60 °C un bote de 4.0 cm de radio con tapa de estaño que a 20 °C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura queda al calentarlo?

:*'''A''' 22 μm
:*'''B''' 560 μm
:*'''C''' 37 μm
:*'''D''' 920 μm

;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicamos la ley de dilatación a los radios

<center><math>\Delta R = R_0\alpha\,\Delta T</math></center>

puesto que inicialmente los dos tienen el mismo radio y el incremento de temperatura es el mismo para vidrio y tapa, podemos hallar la diferencia entre los diámetros como

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = R_0(\alpha_2-\alpha_1)\,\Delta T</math></center>

Sustituimos los valores numéricos

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = 4.0\,\mathrm{cm}\times(23-9)\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}\times 40\,\mathrm{K} = 22.4\times 10^{-6}\mathrm{m}=22\,\mu\mathrm{m}</math></center>
== Escala de temperaturas basada en el metano==
Zorg, un habitante de Titán, construye una escala de temperaturas basada en el metano tal que a la fusión (91 K) le corresponden 0 °Z y a la ebullición (116 K) 100 °Z. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?

:*'''A''' −187 °Z
:*'''B''' −364 °Z
:*'''C''' −91 °Z
:*'''D''' −25 °Z
;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

La relación entre las dos escalas de temperatura es lineal

<center><math>T = a + b t_Z\,</math></center>

Hallamos a y b de los dos puntos conocidos

<center><math>91 = a + b\cdot 0\qquad \qquad 116 = a + 100b</math></center>

de donde

<center><math>a = 91\qquad \qquad b = 0.25</math></center>

por lo que la relación es

<center><math>T = 91 + 0.25t_Z\,</math></center>

Para T = 0 queda

<center><math>t_Z = -\frac{91}{0.25}= -364\,^\circ\mathrm{Z}</math></center>
[[Categoría:Preguntas de test de Física II (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de introducción a la termodinámica (GIE) ]]

Preguntas de test de introducción a la termodinámica (GIE)

2019-07-23T11:44:57Z

Anamaram: /* Volumen de gasolina */

==Temperatura de un gas==
Un gas ideal diatómico contenido en un recipiente ocupa un volumen de 500 cm³ a una presión de 4.0 bares y 300 K de temperatura. Experimenta una expansión hasta un estado final en el que ocupa un volumen de 1000 cm³ a una presión de 1.0 bares.

¿Cuál es la temperatura final del gas?

:* '''A''' 150 K
:* '''B''' Depende de si las paredes son adiabáticas o diatermas.
:* '''C''' 75 K
:* '''D''' 600 K
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La ley de los gases ideales da

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

de donde la temperatura final es

<center><math>T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A = \frac{1.0\times 1000}{4.0\times 500}300\,\mathrm{K}=150\,\mathrm{K}</math></center>

==Temperatura en un proceso==
Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión <math>p_0</math>, volumen <math>V_0</math> y temperatura <math>T_0</math>. Experimenta un proceso tal que la presión final es <math>2p_0</math> y el volumen <math>2V_0</math>.

En este proceso, la temperatura…

:* '''A''' permanece constante.
:* '''B''' se reduce a la mitad.
:* '''C''' aumenta al doble.
:* '''D''' se multiplica por 4.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

Como en la pregunta anterior, aplicamos la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

que en este caso da

<center><math>\frac{T_B}{T_A} = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} = \frac{(2p_0)(2V_0)}{p_0V_0}=4</math></center>
==Número de psi en una atmósfera==
Una atmósfera equivale a 101325 Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448 N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54 cm). ¿A cuantos psi equivale una atmósfera?

:* '''A''' 1 atm = 579 psi
:* '''B''' 1 atm = 1.50 psi
:* '''C''' 1 atm = 6894 psi
:* '''D''' 1 atm = 14.7 psi
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La equivalencia de psi en pascales la obtenemos mediante factores de conversión

<center><math>1\,\mathrm{psi}=\left(\frac{1\,\mathrm{lb}_f}{1\,\mathrm{in}^2}\right)\times\left(\frac{4.448\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{lb}_f}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{in}}{0.0254\,\mathrm{m}}\right)=6894\,\mathrm{Pa}</math></center>

Puesto que una atmósfera son 101325 pascales queda

<center><math>1\,\mathrm{atm}=1\,\mathrm{atm}\times\left(\frac{101325\,\mathrm{Pa}}{1\,\mathrm{atm}}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{psi}}{6894\,\mathrm{Pa}}\right)=14.7\,\mathrm{psi}</math></center>

==Título de una novela en Celsius==
En el paso de grados Celsius a Fahrenheit se cumple 0°C = 32°F y 100°C = 212 °F. El título de la novela ''Fahrenheit 451'' se refiere a la temperatura a la que arde el papel. ¿Cómo quedaría este título en la escala Celsius?

:* '''A''' ''Celsius 844''
:* '''B''' ''Celsius 213''
:* '''C''' ''Celsius 251''
:* '''D''' ''Celsius 233''
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La relación entre la temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit es lineal

<center><math>t_C = a + b t_F\,</math></center>

donde los coeficientes los sacamos de que conocemos dos puntos fijos

<center><math>0 =a + 32b\qquad\qquad 100 = a + 212b</math></center>

de donde

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(t_F-32)</math></center>

Sustituyendo aquí el valor de la temperatura de combustión del papel

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(451-32)=233^\circ\mathrm{C}</math></center>

==Densidad del aire húmedo==
El aire seco (sin vapor de agua) equivale a un gas ideal de peso molecular 29 g/mol. El agua tiene peso molecular de 18 g/mol. El aire húmedo es el que tiene una cierta cantidad de vapor de agua. A 1 atm y 300 K, ¿qué aire es más denso, el seco o el húmedo?

:* '''A''' Los dos tienen la misma densidad.
:* '''B''' El seco.
:* '''C''' Depende de la humedad del aire.
:* '''D''' El húmedo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

Para una presión y temperatura dadas, el número de moles por unidad de volumen esta fijado (según la ley de los gases ideales u otra más complicada en el caso no ideal). Esto quiere decir que el número de moléculas está fijado.

Entonces, cuando entra humedad en el aire seco, las moléculas de agua entran “en lugar de”, no “además de”, es decir, que para mantener constante la presión, por cada molécula de agua que entra, se desaloja una de oxígeno o una de nitrógeno.

Ahora bien, el peso molecular del oxígeno es 32 g/mol y el del nitrógeno 28 g/mol, siendo el del agua solo 18 g/mol. Por tanto, estamos sustituyendo algunas moléculas por otras más ligeras. Consecuentemente, la masa por unidad de volumen, es decir, la densidad, disminuye.

El aire húmedo es entonces más ligero que el aire seco a la misma presión y temperatura.

==Propiedad termométrica==
Se tiene un sistema cerrado que contiene un gas ideal cuya temperatura puede cambiar. ¿Cuál de las siguientes propiedades no nos sirve para construir una escala para un termómetro?

:* '''A''' El número de moles.
:* '''B''' La energía interna.
:* '''C''' La presión.
:* '''D''' El volumen.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Según la ley de los gases ideales, cuando se cambia la temperatura, cambia la presión o el volumen. También cambia la energía interna, que depende solo de la temperatura.

Lo único que no cambia con la temperatura es el número de moles, que simplemente nos indica cuantas moléculas hay en el gas. Por ello, el número de moles no se puede usar como propiedad termométrica (que debe ser una función de T).

==Dilatación de un paralelepípedo==
El coeficiente de dilatación lineal del oro a 20 °C es 14×10−6°C−1. Si se tiene un paralelepípedo de oro que a 20 °C ocupa 500 cm³, ¿cuánto aumenta el volumen cuando se calienta hasta 30 °C?

:* '''A''' 210 mm³
:* '''B''' 140 mm³
:* '''C''' 70 mm³
:* '''D''' 7 mm³
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La variación lineal de un sólido la da la ley de dilatación

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T</math></center>

y la volumétrica es

<center><math>\Delta V = V(3\alpha)\,\Delta T</math></center>

que en este caso vale

<center><math>\Delta V = (500\,\mathrm{cm}^3)\times(3\times 14\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times 10\,\mathrm{K}=0.21\,\mathrm{cm}^3=210\,\mathrm{mm}^3</math></center>

==Volumen de gasolina==
Una cierta cantidad de gasolina ocupa 1000 cm³ a 20 °C y 1019 cm³ a 40 °C. ¿Qué volumen ocupa a 80 °C?

:* '''A''' 1095 cm³
:* '''B''' 1057 cm³
:* '''C''' 1038 cm³
:* '''D''' 1076 cm³
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

La dilatación de un solido o un líquido es aproximadamente lineal con la temperatura

<center><math>V(T) = V_0(1+\beta(T-T_0))\,</math></center>

lo que nos permite calcular el coeficiente de dilatación <math>\beta</math>

<center><math>1019 = 1000(1+\beta(40-20))\qquad\Rightarrow\qquad \beta =9.5\times 10^{-4}\mathrm{K}^{-1}</math></center>

y aplicándolo ahora a la temperatura solicitada

<center><math>V = 1000(1+9.5\times 10^{-4}(80-20))\,\mathrm{cm}^3 = 1057\,\mathrm{cm}^3</math></center>

De forma más simple, el cálculo es que si subiendo 20 grados aumenta en 19cm³, subiendo 60°C aumenta el triple.

==Proceso en un gas==
Un gas ideal diatómico ocupa un cierto volumen <math>V_0</math> a una presión <math>p_0</math> y una temperatura <math>T_0</math>. Primero, manteniendo constante su volumen, se reduce lentamente su presión a <math>p_0/2</math>. Luego, manteniendo constante su nueva presión, se pone gradualmente en contacto con un foco a temperatura <math>T_0</math>. ¿Como se relacionan el volumen inicial, <math>V_0</math>, y final <math>V_f</math>, del gas?

:* '''A''' <math>V_f = V_0</math>
:* '''B''' <math>V_f = V_0/2</math>
:* '''C''' <math>V_f = 2V_0</math>
:* '''D''' <math>V_f = 4V_0</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

Es simple aplicación de la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_fV_f}{T_f}=\frac{p_0V_0}{T_0}</math></center>

que nos da

<center><math>V_f = \frac{p_0T_f}{p_f T_0}V_0=\frac{p_0T_0}{(p_0/2)T_0}V_0=2V_0</math></center>

Nótese que el estado final es independiente del proceso.

==Dilatación de raíles==
Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18 m de longitud a 20°C. Si deben operar entre -10°C y 60°, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20°?

:* '''A''' 1 cm
:* '''B''' 2 cm
:* '''C''' 2 mm
:* '''D''' 5 mm

'''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13×10−6K−6
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicando la ley de la dilatación lineal

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T = 18\times 13\times 10^{-6}\times(60-20)\,\mathrm{m}=0.00936\,\mathrm{m}\simeq 1\,\mathrm{cm}</math></center>

Nótese que hay que considerar toda la dilatación lineal de los 18m, y no la mitad (considerando que el raíl se expande en los dos sentidos) ni el doble (considerando que hay dos raíles, uno a continuación del otro). Los dos factores se cancelan. Cada raíl se dilatará 5mm a cada lado, pero al ser dos raíles sucesivos, el espaciado debe ser 5mm + 5mm = 1cm.

==Dilatación de tapa==
Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60 °C un bote de 4.0 cm de radio con tapa de estaño que a 20 °C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura queda al calentarlo?

:*'''A''' 22 μm
:*'''B''' 560 μm
:*'''C''' 37 μm
:*'''D''' 920 μm

;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicamos la ley de dilatación a los radios

<center><math>\Delta R = R_0\alpha\,\Delta T</math></center>

puesto que inicialmente los dos tienen el mismo radio y el incremento de temperatura es el mismo para vidrio y tapa, podemos hallar la diferencia entre los diámetros como

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = R_0(\alpha_2-\alpha_1)\,\Delta T</math></center>

Sustituimos los valores numéricos

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = 4.0\,\mathrm{cm}\times(23-9)\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}\times 40\,\mathrm{K} = 22.4\times 10^{-6}\mathrm{m}=22\,\mu\mathrm{m}</math></center>
== Escala de temperaturas basada en el metano==
Zorg, un habitante de Titán, construye una escala de temperaturas basada en el metano tal que a la fusión (91 K) le corresponden 0 °Z y a la ebullición (116 K) 100 °Z. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?

:*'''A''' −187 °Z
:*'''B''' −364 °Z
:*'''C''' −91 °Z
:*'''D''' −25 °Z
;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

La relación entre las dos escalas de temperatura es lineal

<center><math>T = a + b t_Z\,</math></center>

Hallamos a y b de los dos puntos conocidos

<center><math>91 = a + b\cdot 0\qquad \qquad 116 = a + 100b</math></center>

de donde

<center><math>a = 91\qquad \qquad b = 0.25</math></center>

por lo que la relación es

<center><math>T = 91 + 0.25t_Z\,</math></center>

Para T = 0 queda

<center><math>t_Z = -\frac{91}{0.25}= -364\,^\circ\mathrm{Z}</math></center>
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Preguntas de test de introducción a la termodinámica (GIE)

2019-07-23T11:44:13Z

Anamaram: /* Propiedad termométrica */

==Temperatura de un gas==
Un gas ideal diatómico contenido en un recipiente ocupa un volumen de 500 cm³ a una presión de 4.0 bares y 300 K de temperatura. Experimenta una expansión hasta un estado final en el que ocupa un volumen de 1000 cm³ a una presión de 1.0 bares.

¿Cuál es la temperatura final del gas?

:* '''A''' 150 K
:* '''B''' Depende de si las paredes son adiabáticas o diatermas.
:* '''C''' 75 K
:* '''D''' 600 K
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La ley de los gases ideales da

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

de donde la temperatura final es

<center><math>T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A = \frac{1.0\times 1000}{4.0\times 500}300\,\mathrm{K}=150\,\mathrm{K}</math></center>

==Temperatura en un proceso==
Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión <math>p_0</math>, volumen <math>V_0</math> y temperatura <math>T_0</math>. Experimenta un proceso tal que la presión final es <math>2p_0</math> y el volumen <math>2V_0</math>.

En este proceso, la temperatura…

:* '''A''' permanece constante.
:* '''B''' se reduce a la mitad.
:* '''C''' aumenta al doble.
:* '''D''' se multiplica por 4.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

Como en la pregunta anterior, aplicamos la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

que en este caso da

<center><math>\frac{T_B}{T_A} = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} = \frac{(2p_0)(2V_0)}{p_0V_0}=4</math></center>
==Número de psi en una atmósfera==
Una atmósfera equivale a 101325 Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448 N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54 cm). ¿A cuantos psi equivale una atmósfera?

:* '''A''' 1 atm = 579 psi
:* '''B''' 1 atm = 1.50 psi
:* '''C''' 1 atm = 6894 psi
:* '''D''' 1 atm = 14.7 psi
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La equivalencia de psi en pascales la obtenemos mediante factores de conversión

<center><math>1\,\mathrm{psi}=\left(\frac{1\,\mathrm{lb}_f}{1\,\mathrm{in}^2}\right)\times\left(\frac{4.448\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{lb}_f}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{in}}{0.0254\,\mathrm{m}}\right)=6894\,\mathrm{Pa}</math></center>

Puesto que una atmósfera son 101325 pascales queda

<center><math>1\,\mathrm{atm}=1\,\mathrm{atm}\times\left(\frac{101325\,\mathrm{Pa}}{1\,\mathrm{atm}}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{psi}}{6894\,\mathrm{Pa}}\right)=14.7\,\mathrm{psi}</math></center>

==Título de una novela en Celsius==
En el paso de grados Celsius a Fahrenheit se cumple 0°C = 32°F y 100°C = 212 °F. El título de la novela ''Fahrenheit 451'' se refiere a la temperatura a la que arde el papel. ¿Cómo quedaría este título en la escala Celsius?

:* '''A''' ''Celsius 844''
:* '''B''' ''Celsius 213''
:* '''C''' ''Celsius 251''
:* '''D''' ''Celsius 233''
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La relación entre la temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit es lineal

<center><math>t_C = a + b t_F\,</math></center>

donde los coeficientes los sacamos de que conocemos dos puntos fijos

<center><math>0 =a + 32b\qquad\qquad 100 = a + 212b</math></center>

de donde

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(t_F-32)</math></center>

Sustituyendo aquí el valor de la temperatura de combustión del papel

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(451-32)=233^\circ\mathrm{C}</math></center>

==Densidad del aire húmedo==
El aire seco (sin vapor de agua) equivale a un gas ideal de peso molecular 29 g/mol. El agua tiene peso molecular de 18 g/mol. El aire húmedo es el que tiene una cierta cantidad de vapor de agua. A 1 atm y 300 K, ¿qué aire es más denso, el seco o el húmedo?

:* '''A''' Los dos tienen la misma densidad.
:* '''B''' El seco.
:* '''C''' Depende de la humedad del aire.
:* '''D''' El húmedo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

Para una presión y temperatura dadas, el número de moles por unidad de volumen esta fijado (según la ley de los gases ideales u otra más complicada en el caso no ideal). Esto quiere decir que el número de moléculas está fijado.

Entonces, cuando entra humedad en el aire seco, las moléculas de agua entran “en lugar de”, no “además de”, es decir, que para mantener constante la presión, por cada molécula de agua que entra, se desaloja una de oxígeno o una de nitrógeno.

Ahora bien, el peso molecular del oxígeno es 32 g/mol y el del nitrógeno 28 g/mol, siendo el del agua solo 18 g/mol. Por tanto, estamos sustituyendo algunas moléculas por otras más ligeras. Consecuentemente, la masa por unidad de volumen, es decir, la densidad, disminuye.

El aire húmedo es entonces más ligero que el aire seco a la misma presión y temperatura.

==Propiedad termométrica==
Se tiene un sistema cerrado que contiene un gas ideal cuya temperatura puede cambiar. ¿Cuál de las siguientes propiedades no nos sirve para construir una escala para un termómetro?

:* '''A''' El número de moles.
:* '''B''' La energía interna.
:* '''C''' La presión.
:* '''D''' El volumen.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Según la ley de los gases ideales, cuando se cambia la temperatura, cambia la presión o el volumen. También cambia la energía interna, que depende solo de la temperatura.

Lo único que no cambia con la temperatura es el número de moles, que simplemente nos indica cuantas moléculas hay en el gas. Por ello, el número de moles no se puede usar como propiedad termométrica (que debe ser una función de T).

==Dilatación de un paralelepípedo==
El coeficiente de dilatación lineal del oro a 20 °C es 14×10−6°C−1. Si se tiene un paralelepípedo de oro que a 20 °C ocupa 500 cm³, ¿cuánto aumenta el volumen cuando se calienta hasta 30 °C?

:* '''A''' 210 mm³
:* '''B''' 140 mm³
:* '''C''' 70 mm³
:* '''D''' 7 mm³
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La variación lineal de un sólido la da la ley de dilatación

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T</math></center>

y la volumétrica es

<center><math>\Delta V = V(3\alpha)\,\Delta T</math></center>

que en este caso vale

<center><math>\Delta V = (500\,\mathrm{cm}^3)\times(3\times 14\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times 10\,\mathrm{K}=0.21\,\mathrm{cm}^3=210\,\mathrm{mm}^3</math></center>

==Volumen de gasolina==
Una cierta cantidad de gasolina ocupa 1000 cm³ a 20 °C y 1019 cm³ a 40 °C. ¿Qué volumen ocupa a 80 °C?

:* '''A''' 1095 cm³
:* '''B''' 1057 cm³
:* '''C''' 1038 cm³
:* '''D''' 1076 cm³
;Solución:
La respuesta correcta es la ''' '''.

La dilatación de un solido o un líquido es aproximadamente lineal con la temperatura

<center><math>V(T) = V_0(1+\beta(T-T_0))\,</math></center>

lo que nos permite calcular el coeficiente de dilatación <math>\beta</math>

<center><math>1019 = 1000(1+\beta(40-20))\qquad\Rightarrow\qquad \beta =9.5\times 10^{-4}\mathrm{K}^{-1}</math></center>

y aplicándolo ahora a la temperatura solicitada

<center><math>V = 1000(1+9.5\times 10^{-4}(80-20))\,\mathrm{cm}^3 = 1057\,\mathrm{cm}^3</math></center>

De forma más simple, el cálculo es que si subiendo 20 grados aumenta en 19cm³, subiendo 60°C aumenta el triple.

==Proceso en un gas==
Un gas ideal diatómico ocupa un cierto volumen <math>V_0</math> a una presión <math>p_0</math> y una temperatura <math>T_0</math>. Primero, manteniendo constante su volumen, se reduce lentamente su presión a <math>p_0/2</math>. Luego, manteniendo constante su nueva presión, se pone gradualmente en contacto con un foco a temperatura <math>T_0</math>. ¿Como se relacionan el volumen inicial, <math>V_0</math>, y final <math>V_f</math>, del gas?

:* '''A''' <math>V_f = V_0</math>
:* '''B''' <math>V_f = V_0/2</math>
:* '''C''' <math>V_f = 2V_0</math>
:* '''D''' <math>V_f = 4V_0</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

Es simple aplicación de la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_fV_f}{T_f}=\frac{p_0V_0}{T_0}</math></center>

que nos da

<center><math>V_f = \frac{p_0T_f}{p_f T_0}V_0=\frac{p_0T_0}{(p_0/2)T_0}V_0=2V_0</math></center>

Nótese que el estado final es independiente del proceso.

==Dilatación de raíles==
Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18 m de longitud a 20°C. Si deben operar entre -10°C y 60°, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20°?

:* '''A''' 1 cm
:* '''B''' 2 cm
:* '''C''' 2 mm
:* '''D''' 5 mm

'''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13×10−6K−6
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicando la ley de la dilatación lineal

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T = 18\times 13\times 10^{-6}\times(60-20)\,\mathrm{m}=0.00936\,\mathrm{m}\simeq 1\,\mathrm{cm}</math></center>

Nótese que hay que considerar toda la dilatación lineal de los 18m, y no la mitad (considerando que el raíl se expande en los dos sentidos) ni el doble (considerando que hay dos raíles, uno a continuación del otro). Los dos factores se cancelan. Cada raíl se dilatará 5mm a cada lado, pero al ser dos raíles sucesivos, el espaciado debe ser 5mm + 5mm = 1cm.

==Dilatación de tapa==
Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60 °C un bote de 4.0 cm de radio con tapa de estaño que a 20 °C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura queda al calentarlo?

:*'''A''' 22 μm
:*'''B''' 560 μm
:*'''C''' 37 μm
:*'''D''' 920 μm

;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicamos la ley de dilatación a los radios

<center><math>\Delta R = R_0\alpha\,\Delta T</math></center>

puesto que inicialmente los dos tienen el mismo radio y el incremento de temperatura es el mismo para vidrio y tapa, podemos hallar la diferencia entre los diámetros como

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = R_0(\alpha_2-\alpha_1)\,\Delta T</math></center>

Sustituimos los valores numéricos

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = 4.0\,\mathrm{cm}\times(23-9)\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}\times 40\,\mathrm{K} = 22.4\times 10^{-6}\mathrm{m}=22\,\mu\mathrm{m}</math></center>
== Escala de temperaturas basada en el metano==
Zorg, un habitante de Titán, construye una escala de temperaturas basada en el metano tal que a la fusión (91 K) le corresponden 0 °Z y a la ebullición (116 K) 100 °Z. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?

:*'''A''' −187 °Z
:*'''B''' −364 °Z
:*'''C''' −91 °Z
:*'''D''' −25 °Z
;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

La relación entre las dos escalas de temperatura es lineal

<center><math>T = a + b t_Z\,</math></center>

Hallamos a y b de los dos puntos conocidos

<center><math>91 = a + b\cdot 0\qquad \qquad 116 = a + 100b</math></center>

de donde

<center><math>a = 91\qquad \qquad b = 0.25</math></center>

por lo que la relación es

<center><math>T = 91 + 0.25t_Z\,</math></center>

Para T = 0 queda

<center><math>t_Z = -\frac{91}{0.25}= -364\,^\circ\mathrm{Z}</math></center>
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Preguntas de test de introducción a la termodinámica (GIE)

2019-07-23T11:43:27Z

Anamaram: /* Escala de temperaturas basada en el metano */

==Temperatura de un gas==
Un gas ideal diatómico contenido en un recipiente ocupa un volumen de 500 cm³ a una presión de 4.0 bares y 300 K de temperatura. Experimenta una expansión hasta un estado final en el que ocupa un volumen de 1000 cm³ a una presión de 1.0 bares.

¿Cuál es la temperatura final del gas?

:* '''A''' 150 K
:* '''B''' Depende de si las paredes son adiabáticas o diatermas.
:* '''C''' 75 K
:* '''D''' 600 K
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La ley de los gases ideales da

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

de donde la temperatura final es

<center><math>T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A = \frac{1.0\times 1000}{4.0\times 500}300\,\mathrm{K}=150\,\mathrm{K}</math></center>

==Temperatura en un proceso==
Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión <math>p_0</math>, volumen <math>V_0</math> y temperatura <math>T_0</math>. Experimenta un proceso tal que la presión final es <math>2p_0</math> y el volumen <math>2V_0</math>.

En este proceso, la temperatura…

:* '''A''' permanece constante.
:* '''B''' se reduce a la mitad.
:* '''C''' aumenta al doble.
:* '''D''' se multiplica por 4.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

Como en la pregunta anterior, aplicamos la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

que en este caso da

<center><math>\frac{T_B}{T_A} = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} = \frac{(2p_0)(2V_0)}{p_0V_0}=4</math></center>
==Número de psi en una atmósfera==
Una atmósfera equivale a 101325 Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448 N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54 cm). ¿A cuantos psi equivale una atmósfera?

:* '''A''' 1 atm = 579 psi
:* '''B''' 1 atm = 1.50 psi
:* '''C''' 1 atm = 6894 psi
:* '''D''' 1 atm = 14.7 psi
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La equivalencia de psi en pascales la obtenemos mediante factores de conversión

<center><math>1\,\mathrm{psi}=\left(\frac{1\,\mathrm{lb}_f}{1\,\mathrm{in}^2}\right)\times\left(\frac{4.448\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{lb}_f}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{in}}{0.0254\,\mathrm{m}}\right)=6894\,\mathrm{Pa}</math></center>

Puesto que una atmósfera son 101325 pascales queda

<center><math>1\,\mathrm{atm}=1\,\mathrm{atm}\times\left(\frac{101325\,\mathrm{Pa}}{1\,\mathrm{atm}}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{psi}}{6894\,\mathrm{Pa}}\right)=14.7\,\mathrm{psi}</math></center>

==Título de una novela en Celsius==
En el paso de grados Celsius a Fahrenheit se cumple 0°C = 32°F y 100°C = 212 °F. El título de la novela ''Fahrenheit 451'' se refiere a la temperatura a la que arde el papel. ¿Cómo quedaría este título en la escala Celsius?

:* '''A''' ''Celsius 844''
:* '''B''' ''Celsius 213''
:* '''C''' ''Celsius 251''
:* '''D''' ''Celsius 233''
;Solución:
La respuesta correcta es la '''D'''.

La relación entre la temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit es lineal

<center><math>t_C = a + b t_F\,</math></center>

donde los coeficientes los sacamos de que conocemos dos puntos fijos

<center><math>0 =a + 32b\qquad\qquad 100 = a + 212b</math></center>

de donde

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(t_F-32)</math></center>

Sustituyendo aquí el valor de la temperatura de combustión del papel

<center><math>t_C = \frac{5}{9}(451-32)=233^\circ\mathrm{C}</math></center>

==Densidad del aire húmedo==
El aire seco (sin vapor de agua) equivale a un gas ideal de peso molecular 29 g/mol. El agua tiene peso molecular de 18 g/mol. El aire húmedo es el que tiene una cierta cantidad de vapor de agua. A 1 atm y 300 K, ¿qué aire es más denso, el seco o el húmedo?

:* '''A''' Los dos tienen la misma densidad.
:* '''B''' El seco.
:* '''C''' Depende de la humedad del aire.
:* '''D''' El húmedo.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''B'''.

Para una presión y temperatura dadas, el número de moles por unidad de volumen esta fijado (según la ley de los gases ideales u otra más complicada en el caso no ideal). Esto quiere decir que el número de moléculas está fijado.

Entonces, cuando entra humedad en el aire seco, las moléculas de agua entran “en lugar de”, no “además de”, es decir, que para mantener constante la presión, por cada molécula de agua que entra, se desaloja una de oxígeno o una de nitrógeno.

Ahora bien, el peso molecular del oxígeno es 32 g/mol y el del nitrógeno 28 g/mol, siendo el del agua solo 18 g/mol. Por tanto, estamos sustituyendo algunas moléculas por otras más ligeras. Consecuentemente, la masa por unidad de volumen, es decir, la densidad, disminuye.

El aire húmedo es entonces más ligero que el aire seco a la misma presión y temperatura.

==Propiedad termométrica==
Se tiene un sistema cerrado que contiene un gas ideal cuya temperatura puede cambiar. ¿Cuál de las siguientes propiedades no nos sirve para construir una escala para un termómetro?

:* '''A''' El número de moles.
:* '''B''' La energía interna.
:* '''C''' La presión.
:* '''D''' El volumen.
;Solución:
La respuesta correcta es la '''n'''.

Según la ley de los gases ideales, cuando se cambia la temperatura, cambia la presión o el volumen. También cambia la energía interna, que depende solo de la temperatura.

Lo único que no cambia con la temperatura es el número de moles, que simplemente nos indica cuantas moléculas hay en el gas. Por ello, el número de moles no se puede usar como propiedad termométrica (que debe ser una función de T).

==Dilatación de un paralelepípedo==
El coeficiente de dilatación lineal del oro a 20 °C es 14×10−6°C−1. Si se tiene un paralelepípedo de oro que a 20 °C ocupa 500 cm³, ¿cuánto aumenta el volumen cuando se calienta hasta 30 °C?

:* '''A''' 210 mm³
:* '''B''' 140 mm³
:* '''C''' 70 mm³
:* '''D''' 7 mm³
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

La variación lineal de un sólido la da la ley de dilatación

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T</math></center>

y la volumétrica es

<center><math>\Delta V = V(3\alpha)\,\Delta T</math></center>

que en este caso vale

<center><math>\Delta V = (500\,\mathrm{cm}^3)\times(3\times 14\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times 10\,\mathrm{K}=0.21\,\mathrm{cm}^3=210\,\mathrm{mm}^3</math></center>

==Volumen de gasolina==
Una cierta cantidad de gasolina ocupa 1000 cm³ a 20 °C y 1019 cm³ a 40 °C. ¿Qué volumen ocupa a 80 °C?

:* '''A''' 1095 cm³
:* '''B''' 1057 cm³
:* '''C''' 1038 cm³
:* '''D''' 1076 cm³
;Solución:
La respuesta correcta es la ''' '''.

La dilatación de un solido o un líquido es aproximadamente lineal con la temperatura

<center><math>V(T) = V_0(1+\beta(T-T_0))\,</math></center>

lo que nos permite calcular el coeficiente de dilatación <math>\beta</math>

<center><math>1019 = 1000(1+\beta(40-20))\qquad\Rightarrow\qquad \beta =9.5\times 10^{-4}\mathrm{K}^{-1}</math></center>

y aplicándolo ahora a la temperatura solicitada

<center><math>V = 1000(1+9.5\times 10^{-4}(80-20))\,\mathrm{cm}^3 = 1057\,\mathrm{cm}^3</math></center>

De forma más simple, el cálculo es que si subiendo 20 grados aumenta en 19cm³, subiendo 60°C aumenta el triple.

==Proceso en un gas==
Un gas ideal diatómico ocupa un cierto volumen <math>V_0</math> a una presión <math>p_0</math> y una temperatura <math>T_0</math>. Primero, manteniendo constante su volumen, se reduce lentamente su presión a <math>p_0/2</math>. Luego, manteniendo constante su nueva presión, se pone gradualmente en contacto con un foco a temperatura <math>T_0</math>. ¿Como se relacionan el volumen inicial, <math>V_0</math>, y final <math>V_f</math>, del gas?

:* '''A''' <math>V_f = V_0</math>
:* '''B''' <math>V_f = V_0/2</math>
:* '''C''' <math>V_f = 2V_0</math>
:* '''D''' <math>V_f = 4V_0</math>
;Solución:
La respuesta correcta es la '''C'''.

Es simple aplicación de la ley de los gases ideales

<center><math>\frac{p_fV_f}{T_f}=\frac{p_0V_0}{T_0}</math></center>

que nos da

<center><math>V_f = \frac{p_0T_f}{p_f T_0}V_0=\frac{p_0T_0}{(p_0/2)T_0}V_0=2V_0</math></center>

Nótese que el estado final es independiente del proceso.

==Dilatación de raíles==
Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18 m de longitud a 20°C. Si deben operar entre -10°C y 60°, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20°?

:* '''A''' 1 cm
:* '''B''' 2 cm
:* '''C''' 2 mm
:* '''D''' 5 mm

'''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13×10−6K−6
;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicando la ley de la dilatación lineal

<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T = 18\times 13\times 10^{-6}\times(60-20)\,\mathrm{m}=0.00936\,\mathrm{m}\simeq 1\,\mathrm{cm}</math></center>

Nótese que hay que considerar toda la dilatación lineal de los 18m, y no la mitad (considerando que el raíl se expande en los dos sentidos) ni el doble (considerando que hay dos raíles, uno a continuación del otro). Los dos factores se cancelan. Cada raíl se dilatará 5mm a cada lado, pero al ser dos raíles sucesivos, el espaciado debe ser 5mm + 5mm = 1cm.

==Dilatación de tapa==
Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60 °C un bote de 4.0 cm de radio con tapa de estaño que a 20 °C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura queda al calentarlo?

:*'''A''' 22 μm
:*'''B''' 560 μm
:*'''C''' 37 μm
:*'''D''' 920 μm

;Solución:
La respuesta correcta es la '''A'''.

Aplicamos la ley de dilatación a los radios

<center><math>\Delta R = R_0\alpha\,\Delta T</math></center>

puesto que inicialmente los dos tienen el mismo radio y el incremento de temperatura es el mismo para vidrio y tapa, podemos hallar la diferencia entre los diámetros como

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = R_0(\alpha_2-\alpha_1)\,\Delta T</math></center>

Sustituimos los valores numéricos

<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = 4.0\,\mathrm{cm}\times(23-9)\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}\times 40\,\mathrm{K} = 22.4\times 10^{-6}\mathrm{m}=22\,\mu\mathrm{m}</math></center>
== Escala de temperaturas basada en el metano==
Zorg, un habitante de Titán, construye una escala de temperaturas basada en el metano tal que a la fusión (91 K) le corresponden 0 °Z y a la ebullición (116 K) 100 °Z. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?

:*'''A''' −187 °Z
:*'''B''' −364 °Z
:*'''C''' −91 °Z
:*'''D''' −25 °Z
;Solución
La respuesta correcta es la '''B'''.

La relación entre las dos escalas de temperatura es lineal

<center><math>T = a + b t_Z\,</math></center>

Hallamos a y b de los dos puntos conocidos

<center><math>91 = a + b\cdot 0\qquad \qquad 116 = a + 100b</math></center>

de donde

<center><math>a = 91\qquad \qquad b = 0.25</math></center>

por lo que la relación es

<center><math>T = 91 + 0.25t_Z\,</math></center>

Para T = 0 queda

<center><math>t_Z = -\frac{91}{0.25}= -364\,^\circ\mathrm{Z}</math></center>
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Momento de inercia de un sólido en L

2019-07-08T13:57:48Z

Anamaram: /* Momento de inercia mínimo */

==Enunciado==
Se tiene un sólido en forma de L de un metal homogéneo, siendo ''h'' la longitud de los brazos y ''M'' su masa total. Calcule el momento de
inercia del sólido respecto a un eje perpendicular al plano de la L y que pasa por un punto del interior del cuadrado de lado ''h'' que define. ¿En qué punto es mínimo este momento de inercia?

<center>[[Archivo:inercia-L-01.png]]</center>

==Momento de inercia general==
Para hallar el momento de inercia del sólido completo, lo consideramos como compuesto de dos varillas 1 y 2, siendo la 1 la horizontal y la 2 la vertical, cuyos momentos hallamos por separado, de forma que

<center><math>I = I_1+I_2\,</math></center>

Para hallar el momento de inercia de la varilla “1” respecto a un punto cualquiera aplicamos el teorema de Steiner

<center><math>I_1 = I_{1C}+M_1d_1^2\,</math></center>

siendo <math>I_{1C}</math> el momento de inercia de la varilla respecto a un eje paralelo pero que pasa por su centro de masas y <math>d</math> la distancia entre el eje original y el paralelo.

En este caso, estamos considerando un eje perpendicular a la varilla, por lo que el momento respecto a su centro de masas es

<center><math>I_{1C} = \frac{M_1 h^2}{12}=\frac{Mh^2}{24}</math></center>

donde hemos aplicado que <math>M_1 = M/2</math>

[[Archivo:inercia-L-02.png|right]]

La distancia entre los ejes paralelos la hallamos considerando que el centro de masas de la varilla 1 se encuentra en

<center><math>\vec{r}_{C1}= \frac{h}{2}\vec{\imath}</math></center>

(empleando el sistema de ejes que tiene el origen de coordenadas en la esquina de la L y los ejes X e Y a lo largo de sus brazos). El punto por el que pasa el eje respecto al cual deseamos hallar el momento de inercia es un punto genérico

<center><math>\vec{r}=x_0\vec{\imath}+y_0\vec{\jmath}</math></center>

con lo que el cuadrado de la distancia al centro de la varilla mide

<center><math>d_1^2 = \left(x_0-\frac{h}{2}\right)^2 + y_0^2</math></center>

y el momento de inercia de la primera varilla vale

<center><math>I_1=\frac{Mh^2}{24}+\frac{M}{2}\left( \left(x_0-\frac{h}{2}\right)^2 + y_0^2\right)</math></center>

El de la segunda es idéntico, cambiando la posición de <math>C_1</math> por la de <math>C_2</math>

<center><math>I_2=\frac{Mh^2}{24}+\frac{M}{2}\left(x_0^2+\left(y_0-\frac{h}{2}\right)^2\right)</math></center>

Sumando los dos obtenemos el momento de inercia total

<center><math>I = \frac{Mh^2}{12}+\frac{M}{2}\left(\left(x_0-\frac{h}{2}\right)^2+x_0^2+\left(y_0-\frac{h}{2}\right)^2+y_0^2\right)</math></center>

Desarrollando los cuadrados queda

<center><math>I = M\left(x_0^2 -\frac{h}{2}x_0+y_0^2-\frac{h}{2}y_0+\frac{h^2}{3}\right)</math></center>

Resulta una expresión simétrica en las dos coordenadas y tal que en <math>x_0=y_0=0</math> (la esquina de la L) vale <math>Mh^2/3</math>, como corresponde al momento de inercia de varillas alrededor de su extremo.

==Momento de inercia mínimo==
Podemos hallar el valor mínimo del momento de inercia derivando. Sin embargo, no es necesario. El resultado ha sido una expresión cuadrática en <math>x_0</math> e <math>y_0</math> (lo que se denomina una ''cónica''). Podemos escribirla en una forma más fácilmente manejable si completamos cuadrados. Sumando y restando dos veces <math>h^2/16</math> se reduce a

<center><math>I = M\left(\left(x_0-\frac{h}{4}\right)^2 + \left(y_0-\frac{h}{4}\right)^2 + \frac{5h^2}{24}\right)</math></center>

Esta expresión nos da directamente la posición del valor mínimo y cuánto vale éste. Puesto que se trata de una suma de cuadrados (siempre positivos), el valor mínimo se alcanza cuando se anulen todos los que se pueda. Esto ocurre para

<center><math>x_0 = \frac{h}{4}\qquad y_0=\frac{h}{4}</math></center>

siendo el valor mínimo del momento de inercia el correspondiente a anular los dos primeros sumandos:

<center><math>I_\mathrm{min}=\frac{5Mh^2}{24}</math></center>

La posición en que se alcanza el mínimo momento de inercia es justamente la del centro de masas del sólido (de nuevo, como consecuencia del teorema de Steiner), por lo que este método sirve para determinar el centro de masas de un sólido.

<center>[[Archivo:centro-masas-L.png]]</center>

En este caso el centro de masas ni se halla en el vértice, ni en el centro del cuadrado, sino en el punto medio entre los respectivos centros de masas de las dos varillas. Este centro también se puede localizar empleando [[Preguntas_de_test_de_sistemas_de_partículas#Centro_de_masas_de_una_L|argumentos de simetría]]
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Momento de inercia de sólidos esféricos

2019-07-08T13:49:10Z

Anamaram: /* Corona esférica */

==Enunciado==
Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa ''M'' y radio ''R'' alrededor de de un eje que pasa por su centro.

A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa ''M'', radio interior ''R''1 y exterior ''R''2 respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio ''R''?

==Esfera maciza==
Existen diferentes formas de abordar este problema, que es un clásico de cálculo integral.

Aquí lo haremos considerando la esfera como superposición de discos de espesor diferencial.

<center>[[Archivo:momento-inercia-esferas-01.png]]</center>

Si tenemos un disco de radio <math>r</math>, altura diferencial <math>\mathrm{d}z</math>, su momento de inercia, también diferencial, es el correspondiente a un cilindro macizo

<center><math>\mathrm{d}I = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\,r^2</math></center>

siendo la masa de cada disco el producto de la densidad por el volumen

<center><math>\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V= \pi\rho r^2\,\mathrm{d}z</math></center>

La densidad de una efsera maciza homogénea es igual a la masa total dividida por el volumen total

<center><math>\rho = \frac{M}{4\pi R^3/3}=\frac{3M}{4\pi R^3}</math></center>

lo que nos da el diferencial de masa

<center><math>\mathrm{d}m = \frac{3M r^2\,\mathrm{d}z}{4 R^3}</math></center>

y de momento de inercia

<center><math>\mathrm{d}I = \frac{3M r^4}{8R^3}\,\mathrm{d}z</math></center>

El momento de inercia total de la esfera será la suma de los de todos los discos apilados

<center><math>I = \int_M \mathrm{d}I = \int_{-R}^R \frac{3M r^4}{8R^3}\,\mathrm{d}z</math></center>

En esta integral aparece el radio de cada disco, pero la variable de integración es la altura z a la que se encuentra cada uno (considerando el origen en el centro de la esfera). Estas dos cantidades se relacionan por el teorema de Pitágoras

<center><math>r^2+ z^2 = R^2\,</math></center>

lo que nos deja con la integral

<center><math>I=\frac{3M}{8R^3}\int_{-R}^R(R^2-z^2)^2\,\mathrm{d}z</math></center>

con solución

<center><math>I = \frac{2}{5}M R^2</math></center>

==Corona esférica==
Cuando tenemos una corona esférica, de masa M, radio interior <math>R_1</math> y exterior <math>R_2</math>, podemos emplear la misma técnica que en otros problemas y considerar masas negativas.

La corona esférica puede verse como la superposición de una esfera de radio <math>R_2</math> y densidad <math>+\rho</math> con una de radio <math>R_1</math>, densidad <math>-\rho</math>, concéntrica con la primera.

<center>[[Archivo:momento-inercia-esferas-02.png]]</center>

La masa de cada esfera sería

<center><math>M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho R_2^3\qquad \qquad M_1 = -\frac{4\pi}{3}\rho R_1^3</math></center>

debiéndose cumplir que la masa total valga <math>M</math>

<center><math>M = M_1 + M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho (R_2^3-R_1^3) \qquad\Rightarrow\qquad \rho = \frac{3M}{4\pi(R_2^3-R_1^3)}</math></center>

Los momentos de inercia de cada esfera valen, de la misma manera,

<center><math>I_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2 = \frac{8\pi}{15}\rho R_2^5\qquad \qquad I_1 = \frac{2}{5}M_1R_1^3 = -\frac{8\pi}{15}\rho R_1^5</math></center>

Sumando las dos contribuciones hallamos el momento de inercia de la esfera completa

<center><math>I=I_1+I_2= \frac{8\pi \rho (R_2^5-R_1^5)}{15}</math></center>

Sustituimos aquí el valor de la densidad de masa

<center><math>I = \frac{2M(R_2^5-R_1^5)}{5(R_2^3-R_1^3)}</math></center>

==Esfera hueca==
La expresión anterior conduce a la de una esfera maciza sin más que hacer <math>R_1=0</math>.

Para obtener el momento de inercia de una superficie esférica de masa M y radio R hay que ser más cuidadoso, ya que al hacer <math>R_1 = R_2=R</math> aparece una indeterminación del tipo 0/0. Puede resolverse aplicando la regla de L'Hôpital

<center><math>I = \lim_{R_1\to R}\frac{2M(R^5-R_1^5)}{5(R^3-R_1^3)}= \frac{2M}{5}\,\frac{(-5R^4)}{(-3R^2)}= \frac{2}{3}MR^2</math></center>
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Propiedades de rotores descentrados

2019-07-01T11:55:07Z

Anamaram: /* Introducción */

==Enunciado==
Se tiene un rotor formado por dos masas iguales de valor <math>m</math> situadas en los extremos de una barra ideal (sin masa) de longitud <math>H</math>. Cuando este rotor está equilibrado gira en torno a un eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro. Este eje está anclado en dos rodamientos situados a una distancia <math>h</math> del centro de la barra (uno por encima y otro por debajo de ella).

Calcule el momento cinético y la energía cinética (respecto a un sistema fijo y respecto al CM) si el rotor gira con velocidad angular constante <math>\omega</math> en torno al eje cuando:

# Es horizontal y se encuentra centrado en el eje vertical.
# Es horizontal pero se encuentra descentrado de forma que el eje no pasa por el centro de la barra, sino a una distancia <math></math>b de éste.
# Está centrado pero la barra está inclinada respecto a la horizontal un ángulo β.
# Es horizontal y se encuentra centrado en el eje vertical, pero las masas no son exactamente iguales, sino que valen <math>m_1</math> y <math>m_2</math>.

<center>[[Archivo:rotor-desequilibrado-01.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:rotor-desequilibrado-02.png]]</center>

==Introducción==
Esta es la primera parte de un problema de dinámica que continúa en [[Rotores desequilibrados|otro problema]]. Se trata de analizar el comportamiento de un rotor formado por dos masas.

Aunque los casos son diferentes, especialmente en el aspecto dinámico de las fuerzas que se hallan en la segunda parte de este problema, el cálculo es similar en los cuatro casos, por lo que podemos hacer la mayor parte de los cálculos de forma general.

En todos los casos, tenemos dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> describiendo órbitas circulares en torno al eje.

<center><math>\vec{v}_1=\vec{\omega}\times\vec{r}_1 \qquad\qquad \vec{v}_2=\vec{\omega}\times\vec{r}_2</math></center>

El momento cinético del sistema será la suma de los de las dos partículas

<center><math>\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1 + m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2</math></center>

y de manera análoga para la energía cinética

<center><math>K = \frac{1}{2}m_1\left|\vec{v}_1\right|^2+\frac{1}{2}m_2\left|\vec{v}_2\right|^2</math></center>

Para hallar los valores respecto al CM podemos aplicar las descomposiciones

<center><math>\vec{L}_O = M\vec{r}_C\times\vec{v}_C + \vec{L}_C\qquad\qquad K = \frac{1}{2}M\left|\vec{v}\right|^2 + K'</math></center>

===Caso de una sola partícula===
En lo que sigue, en todos los casos tanto el momento como la energía cinética son suma de las contribuciones de dos partículas que describen un movimiento circular alrededor de un eje. Por ello, en lugar de analizar cada problema independientemente, repitiendo los mismos cálculos varias veces, es preferible hallar previamente los resultados para una sola partícula y posteriormente sumar las veces que haga falta.

Cuando tenemos una partícula en un movimiento circular de radio <math>R</math>, su velocidad se puede escribir como

<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

siendo <math>\vec{r}</math> el vector de posición respecto a un punto O del eje (no necesariamente el centro de la circunferencia). El momento cinético de esta partícula respecto a este punto valdrá

<center><math>\vec{L}_O=m\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{r}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)</math></center>

Desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\vec{L}_O = m\left|\vec{r}\right|^2\vec{\omega}-2m(\vec{r}\cdot\vec{\omega})\vec{r}</math></center>

En el caso particular de que el vector de posición sea ortogonal a la velocidad angular (es decir, si O es el centro de la circunferencia), esto se reduce a

<center><math>\vec{\omega}\cdot\vec{r}=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O = mR^2\vec{\omega}</math></center>

En este caso el momento cinético es proporcional a la velocidad angular, siendo la constante de proporcionalidad el llamado momento de inercia.

En general, O puede ser un punto cualquiera del eje. Podemos escribir el vector de posición como

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}=r\cos(\beta)\vec{u}_\rho+r\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}</math></center>

donde <math>r</math> no es el radio de la circunferencia, sino la distancia al punto O. El radio se relaciona con ésta como

<center><math>R = r\cos(\beta)\,</math></center>

La velocidad para esta partícula, en este caso general, apunta en la dirección acimutal,

<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\omega r\cos(\beta)\vec{u}_\varphi=\omega R\vec{u}_\varphi</math></center>

por lo que la rapidez es

<center><math>\left|\vec{v}\right|=\omega R</math></center>

El momento cinético para este caso general se puede escribir

<center><math>\vec{L}_O=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left(r\cos(\beta)\vec{u}_\rho+r\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)\times\left(\omega r\cos(\beta)\vec{u}_\varphi\right) = mr^2\cos(\beta)\left(-\mathrm{sen}(\beta)\vec{u}_\rho+\cos(\beta)\vec{k}\right)</math></center>

Vemos que en el caso general el momento cinético no es paralelo a la velocidad angular (que va en la dirección de <math>\vec{k}</math>).

La energía cinética de esta partícula es

<center><math>K = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \frac{1}{2}m\omega^2R^2 = \frac{1}{2}m\omega r^2\cos^2(\beta)</math></center>

Se cumple la relación general

<center><math>K = \frac{1}{2}\omega\cdot\vec{L}_O</math></center>

==Rotor equilibrado==
En el primer caso, las dos masas son iguales

<center><math>m_1=m_2=m\,\qquad\qquad M = m_1+m_2=2m</math></center>

las posiciones son simétricas respecto al eje

<center><math>\vec{r}_2=-\vec{r}_1</math></center>

y derivando, resultan también velocidades opuestas

<center><math>\vec{v}_2=-\vec{v}_1</math></center>

Puesto que la barra es horizontal, el ángulo de inclinación es nulo, <math>\beta = 0</math> y el centro de reducción coincide con el centro de la circunfrencia, cuyo radio es

<center><math>R = \frac{H}{2}</math></center>

Esto implica para el momento cinético que los dos sumandos son iguales

<center><math>\vec{L}_O = 2m\vec{r}_1\times\vec{v}_1</math></center>

y aplicando la expresión para una sola partícula en movimiento circular queda

<center><math>\vec{L}_O = \frac{MH^2}{4}\vec{\omega}</math></center>

Puesto que el centro de masas coincide con el centro de la varilla también se cumple

<center><math>\vec{L}_C=\vec{L}_O = \frac{MH^2}{4}\vec{\omega}</math></center>

Para la energía cinética el cálculo es similar. También son iguales las energías de las dos partículas.

<center><math>K = 2\left(\frac{1}{2}m|\vec{v}_1|^2\right)</math></center>

Por tratarse de un movimiento circular uniforme la rapidez es igual a la velocidad angular multiplicada por el radio de giro

<center><math>K = \frac{1}{2}\left(\frac{MH^2}{4}\right)\omega^2</math></center>

y, por coincidir el origen con el CM

<center><math>K' = K = \frac{1}{2}\left(\frac{MH^2}{4}\right)\omega^2</math></center>

==Rotor descentrado==
En el segundo caso, las dos masas son de nuevo iguales

<center><math>m_1=m_2=m\,\qquad\qquad M = m_1+m_2=2m</math></center>

Las dos partículas describen de nuevo circunferencias horizontales, pero de distinto radio:

<center><math>R_1 = \frac{H}{2}+b\qquad\qquad R_2 = \frac{H}{2}-b</math></center>

Esto provoca que los dos sumandos en el momento cinético ya no sean iguales, pero cada uno se calcula como antes, empleando el radio correspondiente

<center><math>\vec{L}_O = m_1R_1^2\vec{\omega}+m_2R_2^2\vec{\omega}=\frac{M}{2}\left(R_1^2+R_2^2\right)\vec{\omega}</math></center>

siendo

<center><math>R_1^2+R_2^2 =\left(\frac{H}{2}+b\right)^2+\left(\frac{H}{2}-b\right)^2=\frac{H^2}{2}+2b^2</math></center>

Nos queda finalmente

<center><math>\vec{L}_O=M\left(\frac{H^2}{4}+b^2\right)\vec{\omega}</math></center>

El centro de masas sigue estando en el centro de la varilla (que ya no coincide con el punto del eje). Este punto a una distancia <math>b</math> del eje, describiendo una circunferencia con velocidad angular <math>\vec{\omega}</math>. Por tanto el momento cinético por moverse con el CM valen

<center><math>M\vec{r}_C\times\vec{v}_C = M|\vec{r}_C^2|\vec{\omega}=Mb^2\vec{\omega}</math></center>

Restamos este término de la expresión completa y nos queda el momento cinético respecto al CM

<center><math>\vec{L}_C = \vec{L}_O-M\vec{r}_C\times\vec{v}_C = \frac{MH^2}{4}\vec{\omega}</math></center>

Podemos ver que el momento respecto al CM es el mismo que en el caso simétrico.

==Rotor inclinado==
En el caso del rotor inclinado, las posiciones vuelven a ser simétricas

<center><math>\vec{r}_2=-\vec{r}_1</math></center>

y también lo son las velocidades

<center><math>\vec{v}_2=-\vec{v}_1</math></center>

Por ello, de nuevo el vomento cinético es el doble del de una de las partículas

<center><math>\vec{L}_O = 2m\vec{r}_1\times\vec{v}_1</math></center>

pero ahora debemos tener en cuenta la inclinación de la varilla y usar la expresión general para un cierto ángulo <math>\beta</math>

<center><math>\vec{L}_O=\frac{MH^2}{4}\cos(\beta)\left(-\mathrm{sen}(\beta)\vec{u}_\rho+\cos(\beta)\vec{k}\right)</math></center>

En este contexto, <math>\vec{u}_\rho</math> es el unitario radial correspondiente a la masa 1 (el de la masa 2 sería el opuesto). Para evitar la posible confusión podemos usar la base cartesiana

<center><math>\vec{u}_\rho = \cos(\varphi)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\jmath}= \cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y queda finalmente

<center><math>\vec{L}_O=\frac{MH^2}{4}\cos(\beta)\left(-\mathrm{sen}(\beta)\cos(\omega t)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\beta)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}+\cos(\beta)\vec{k}\right)</math></center>

Puesto que de nuevo el centro de masas coincide con el punto del eje donde está unida la varilla

<center><math>\vec{L}_C=\vec{L}_O</math></center>

La energía cinética es más simple:

<center><math>K = K' = 2\left(\frac{m}{2}\omega^2\left(\frac{H}{2}\cos(\beta)\right)^2\right) = \frac{MH^2}{8}\omega^2\cos^2(\beta)</math></center>
==Masas desiguales==
Por último, cuando las masas son desiguales y la barra horizontal y centrada, se verifica

<center><math>M = m_1+m_2\qquad\qquad \vec{r}_2=-\vec{r}_1\qquad\qquad \vec{v}_2=-\vec{v}_1</math></center>

El momento cinético respecto al centro de rotación es de nuevo

<center><math>\vec{L}_O = (m_1+m_2)\vec{r}_1\times\vec{v}_1=\frac{MH^2}{4}\vec{\omega}</math></center>

En este caso, el momento cinético respecto al CM es diferente, ya que al tratarse de masas diferentes, su posición está descentrada. Se halla en

<center><math>\vec{r}_C = \frac{m_1(H/2)+m_2(-H/2)}{m_1+m_2}\vec{u}_\rho = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,\frac{H}{2}\vec{u}_\rho</math></center>

El centro de masas gira con la misma velocidad angular que las dos masas, por lo que el momento cinético debido al movimiento del CM es

<center><math>M\vec{r}_C\times\vec{v}_C = M|\vec{r}|_C^2\vec{\omega} = M\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2\frac{H}{2}\vec{\omega}</math></center>

Restamos esta cantidad del momento completo y nos queda

<center><math>\vec{L}_C=\left(1-\frac{(m_1-m_2)^2}{(m_1+m_2)^2}\right)\frac{MH^2}{4}\vec{\omega} =\frac{m_1m_2 H^2}{M}\vec{\omega}</math></center>

De forma análoga tenemos la energía cinética de traslación

<center><math>\frac{M}{2}\left|\vec{v}_C\right|^2 = \frac{M}{2}\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2\frac{H}{2}\omega^2</math></center>

y queda, para la energía cinética respecto al CM,

<center><math>K'=\frac{m_1m_2 H^2}{2M}\omega^2</math></center>

[[Categoría:Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]

Magnitudes en una máquina de Atwood

2019-07-01T11:52:27Z

Anamaram: /* Momento cinético */

==Enunciado==
Considere una [[Péndulos_e_hilos_(GIE)#M.C3.A1quina_de_Atwood|máquina de Atwood]] ideal formada por dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> que cuelgan de una polea (ideal, sin rozamiento ni masa) de radio <math>b</math> a través de un hilo también ideal (inextensible y sin masa) de longitud <math>l</math>). Inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura.

# Determine la masa total, la posición, velocidad y aceleración del centro de masas, la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética del sistema, todo ello como función del tiempo.
# Para la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al centro de la polea y la energía cinética determine sus derivadas respecto al tiempo y compruebe que se satisfacen las leyes para su evolución.

<center>[[Archivo:Esquema-maquina-atwood.png]]</center>
==Propiedades del sistema==
===Masa===
La masa del sistema es simplemente la suma de las masas de las dos pesas, al ser ideal el resto del sistema.

<center><math>M = m_1+m_2\,</math></center>
===Propiedades del CM===
====Posición====
Tomando como eje Z el vertical y hacia arriba, pero con <math>z = 0</math> a la altura de la polea (es decir, que las coordenadas de ambas posiciones tendrán valores de z negativos), las posiciones de las dos masas son

<center><math>\vec{r}_1 = -b\vec{\imath}+z_1\vec{k}\qquad\qquad \vec{r}_2 = +b\vec{\imath}+z_2\vec{k}</math></center>

A partir de aquí, la posición del centro de masas queda

<center><math>\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\frac{m_1z_1+m_2z_2}{m_1+m_2}\vec{k}</math></center>

Si suponemos que inicialmente las dos masas están en reposo a la misma altura y que son aceleradas por la diferencia de pesos, con aceleración

<center><math>a = \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g</math></center>

tal como se ve en al estudiar la [[Péndulos_e_hilos_(GIE)#M.C3.A1quina_de_Atwood|máquina de Atwood]], podemos escribir la posición vertical de cada una como

<center><math>z_1= z_0+\frac{1}{2}at^2\qquad\qquad z_2 = z_0-\frac{1}{2}at^2</math></center>

lo que da la posición del CM

<center><math>\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_2-m_1)b}{m_1+m_2}\vec{\imath}+\left(z_0-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt^2\right)\vec{k}</math></center>

Vemos que el CM desciende aceleradamente, independientemente de cuál sea la masa más pesada.

====Velocidad====
Derivando en la posición anterior, resulta la velocidad del CM,

<center><math>\vec{v}_C = \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\vec{k}=-\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2gt\vec{k}</math></center>

====Aceleración====
Derivando de nuevo queda

<center><math>\vec{a}_c = -\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2g\vec{k}</math></center>
===Cantidad de movimiento===
La cantidad de movimiento del sistema es proporcional a la velocidad del CM

<center><math>\vec{p}=M\vec{v}_C = -\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}gt\vec{k}</math></center>

===Momento cinético===
El momento cinético es la suma de los momentos cinéticos individuales

<center><math>\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times \vec{v}_1 +m\vec{r}_2\times\vec{v}_2</math></center>

Para cada uno, este producto vectorial es igual al producto de la distancia a la recta de movimiento, multiplicada por la velocidad de la partícula, y con un sentido dado por la regla de la mano derecha.

<center><math>\vec{L}_{O1}=m_1bv_1\vec{\jmath}=m_1bat\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{L}_{O1}=-m_2bv_2=m_2bat\vec{\jmath}\vec{\jmath}</math></center>

Sumando los dos términos

<center><math>\vec{L}_O = (m_1+m_2)ab t\vec{\jmath}</math></center>

Sustituyendo aquí el valor de la aceleración

<center><math>\vec{L}_O = (m_2-m_1)bgt\vec{\jmath}</math></center>

===Energía cinética===
A partir de las velocidades individuales hallamos la energía cinética total

<center><math>K = \frac{1}{2}m_1|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2|^2 </math></center>

que da

<center><math>K = \frac{m_1+m_2}{2}a^2t^2 = \frac{(m_1-m_2)^2 g^2 t^2}{2(m_1+m_2)}</math></center>

===Energía potencial gravitatoria===
También puede hallarse la energía potencial debida al peso del sistema

<center><math>U = m_1gz_1+m_2gz_2 = (m_1+m_2)gz_c = (m_1+m_2)gz_0-\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g^2t^2</math></center>
==Leyes de evolución==
===Cantidad de movimiento===
Para la cantidad de movimiento del sistema se cumple
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}</math></center>
siendo <math>\vec{F}</math> la resultante de las fuerzas externas que actúan en el sistema. En este caso, las fuerzas externas son el peso de cada masa, pero también la reacción que ejerce el soporte que sostiene la polea.

Derivando la cantidad de movimiento del sistema
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= -\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g\vec{k}</math></center>

Las fuerzas externas suman

<center><math>\vec{F}=-m_1g\vec{k}-m_2g\vec{k}+\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}
=\frac{4m_1m_2-(m_1+m_2)^2}{m_1+m_2}g\vec{k}=-\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}g\vec{k}</math></center>

cumpliéndose la igualdad buscada.
===Momento cinético===
Para el momento cinético del sistema respecto al punto de anclaje, la ley es
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O</math></center>
con <math>\vec{M}_O</math> el momento de las fuerzas externas.

Derivamos el momento cinético
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=(m_2-m_1)bg\vec{\jmath}</math></center>

En este caso, la fuerza del punto de anclaje tiene momento nulo, por estar aplicada sobre el propio punto O. Quedan entonces los dos pesos.

Las rectas de acción de los dos pesos están ambas a una distancia b del punto de anclaje, por lo que queda, multiplicando el barzo del par por la fuerza y empleando la regla de la mano derecha para el signo (o haciendo el producto vectorial)

<center><math>\vec{M}_{O1}=-m_1bg\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{M}_{O2}=bm_2g\vec{k}</math></center>

con la suma

<center><math>\vec{M}_{O}=b(m_2-m_1)g\vec{\jmath}</math></center>

como debe ser.

===Energía cinética===
La derivada de la energía cinética es igual a la potencia de todas las fuerzas aplicada (externas e internas)
<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P=\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{v}_i</math></center>
Derivamos la expresión calculada anteriormente
<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\frac{(m_1-m_2)^2 g^2 t}{(m_1+m_2)}</math></center>
Para hallar la potencia, no nos basta con las fuerzas externas, sino que también debemos incluir las internas.

Para cada masa

<center><math>P_1 = (m_1\vec{g})\cdot\vec{v}_1+\vec{F}_{T1}\cdot\vec{v}_1\qquad\qquad P_2 = (m_2\vec{g})\cdot\vec{v}_2+\vec{F}_{T2}\cdot\vec{v}_2</math></center>

Para las fuerzas ejercidas en el punto de anclaje no hay potencia, ya que la velocidad de este punto es nula.

Dado que

<center><math>\vec{F}_{T1}=\vec{F}_{T2}\qquad\qquad \vec{v}_1=-\vec{v}_2=at\vec{k}</math></center>

la potencia total se reduce a

<center><math>P=(m_1-m_2)(-g\vec{k})\cdot(at\vec{k})=(m_2-m_1)gat=\frac{(m_2-m_1)^2g^2t}{m_1+m_2}</math></center>

Vemos que finalmente la tensión no aparece en los cálculos. Esto es general por tratarse de un hilo inextensible. Al ser la distancia siempre la misma entre las masas, la potencia que desarrolla la tensión en un extremo se anula con la que efectúa en el otro.
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Centro de masas en sistemas de esferas

2019-07-01T11:44:45Z

Anamaram: /* Dos esferas adyacentes */

==Enunciado==
Se tienen dos esferas macizas del mismo material de densidad homogénea, <math>\rho_0</math>, una de ellas de radio <math>2b</math> y la otra de radio <math>b</math>. Las dos esferas son adyacentes. Determine la posición del centro de masas del sistema.

Si en lugar del sistema anterior se tiene una sola esfera maciza de radio <math>2b</math> y densidad homogénea <math>\rho_0</math> en la que se ha horadado una cavidad también esférica, de radio <math>b</math>, cuyo centro se encuentra a una distancia <math>b</math> del centro de la esfera original ¿dónde se halla el centro de masas del sólido?

<center>[[Archivo:dos-bolas-01.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:dos-bolas-02.png]]</center>

==Dos esferas adyacentes==
El centro de masas de un sistema de partículas se calcula mediante la expresión

<center><math>\vec{r}_C=\frac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{M}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{m_1+m_2+...}</math></center>

En el caso de que tengamos una distribución continua, esta fórmula se sustituye por la correspondiente integral

<center><math>\vec{r}_C=\frac{1}{M}\int_M \vec{r}_\mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int_V \rho\,\vec{r}\,\mathrm{d}V</math></center>

En principio, para calcular el centro de masas del conjunto de las dos esferas debemos hacer la integral sobre el volumen completo. Sin embargo, el problema se simplifica si lo descomponemos en las dos partes que lo componen.

===Masas===
En primer lugar tenemos que la masa total del conjunto es la suma de las masas de cada una de las esferas

<center><math>M = M_1+M_2 = \int_{V_1}\rho_1\,\mathrm{d}V+\int_{V_2}\rho_2\,\mathrm{d}V</math></center>

En este caso las dos densidades son homogéneas (independientes de la posición) e iguales en las dos esferas, por lo que

<center><math>M_1 = \int_{V_1}\rho_1\,\mathrm{d}V = \rho_0V_1 = \frac{4\pi}{3}\rho_0(2b)^3\qquad\qquad M_2 = \int_{V_2}\rho_2\,\mathrm{d}V = \rho_0V_2 = \frac{4\pi}{3}\rho_0b^3=\frac{M_1}{8}</math></center>

siendo la masa total

<center><math>M=M_1+M_2=M_1+\frac{M_1}{8}=\frac{9}{8}M_1</math></center>

===Centro de masas===
Para el numerador que aparece en el centro de masas realizamos una descomposición similar y nos queda

<center><math>M\vec{r}_c = \int_{V}\rho\,\vec{r}\,\mathrm{d}V = \int_{V_1}\rho_1\,\vec{r}\,\mathrm{d}V+\int_{V_2}\rho_2\,\vec{r}\,\mathrm{d}V</math></center>

Ahora bien, los centros de masas de cada una de las esferas por separado verifican

<center><math>\vec{r}_{C1}=\frac{1}{M_1}\int_{V_1}\rho_1\vec{r}\mathrm{d}V\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=\frac{1}{M_2}\int_{V_2}\rho_1\vec{r}\mathrm{d}V</math></center>

y por tanto

<center><math>M\vec{r}_C=M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}_{C}=\frac{M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}}{M_1+M_2}</math></center>

es decir, el centro de masas de la figura completa se puede hallar considerándola compuesta por solo dos partículas, cada una de las cuales tiene la masa de cada parte y se encuentra en el centro de masas de cada una. Esto es válido independientemente de que se trate de esferas o de cualquier otra figura o división que se haga en el sistema.

<center>[[Archivo:dos-bolas-03.png]]{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:dos-bolas-04.png]]</center>

Por tratarse de esferas homogéneas, el centro de masas de cada una se halla en su centro. Considerando un sistema de ejes centrado en la esfera grande y con el eje OX sobre la recta que pasa por los dos centros queda

<center><math>\vec{r}_{C1}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=3b\vec{\imath}</math></center>

y resulta para la posición del centro de masas del sistema

<center><math>\vec{r}_C = \frac{M_1\vec{0}+ (M_1/8)(3b)\vec{\imath}}{M_1+M_1/8}=\frac{b}{3}\vec{\imath}</math></center>

Vemos que este punto no se halla a mitad de camino de los dos centros, sino mucho más cerca del centro de la esfera grande, que contribuye ocho veces más al total del sistema.

<center>[[Archivo:dos-bolas-05.png]]</center>

==Una esfera con hueco==
Para el caso de la esfera con hueco parece que tenemos un solo sistema, por lo que la técnica de la descomposición en dos o más partes no parece aplicable. Sin embargo, sí podemos hacerlo. ¿Cómo? Empleando masas negativas.

===Masa total===
Consideremos la masa total del sistema. Esta se calcula mediante la integral

<center><math>M = \int_V \rho_0\,\mathrm{d}V</math></center>

donde la integral se extiende a todo el volumen donde hay masa (la esfera, descontándole el hueco). Dicho de otra forma, esta integral se puede escribir como la integral, extendida a la esfera completa, pero con una densidad tal que

<center><math>\rho(\vec{r})=\begin{cases}\rho_0 & \mbox{fuera del hueco} \\ 0 & \mbox{dentro del hueco}\end{cases}</math></center>

Esta integral se puede escribir, como antes, como suma de dos

<center><math>M = \int_{V_1}\rho_1 \mathrm{d}V + \int_{V_2}\rho_2\,\mathrm{d}V</math></center>

donde el primer volumen es la esfera grande completa, como si no tuviera hueco, y <math>V_2</math> es el volumen del hueco. Vemos que de esta forma estamos contando el volumen del hueco dos veces. ¿Qué densidad debemos asignar a cada una de las integrales para que el resultado coincida con el anterior? Pues

<center><math>\rho_1 = \rho_0\qquad\qquad \rho_2 = -\rho_0</math></center>

De esta forma

<center><math>\rho(\vec{r})=\rho_1(\vec{r})+\rho_2(\vec{r}) = \begin{cases}\rho_0+0 = \rho_0& \mbox{fuera del hueco} \\ \rho_0-\rho_0 = 0 & \mbox{dentro del hueco}\end{cases}</math></center>

Por tanto el sistema se puede modelar como dos esferas superpuestas, una de ellas con densidad de carga negativa. Este es un procedimiento habitual con densidades de carga, que pueden ser de los dos signos, pero también es aplicable a masas.

<center>[[Archivo:dos-masas-06.png]]</center>

De esta forma, las masas individuales valen

<center><math>M_1 = \frac{4\pi}{3}(2b)^3\rho_0 \qquad\qquad M_2 = \frac{4\pi}{3}b^3(-\rho_0) = -\frac{M_1}{8}</math></center>

siendo la masa total

<center><math>M = M_1+M_2 = M_1-\frac{M_1}{8}=\frac{7M_1}{8}</math></center>

Naturalmente la masa total es menor que la que tendría una esfera maciza, pues le estamos descontando el hueco.

===Centro de masas===
La superposición anterior puede aplicarse también al centro de masas, de forma que tenemos, como en el caso de las dos esferas

<center><math>\vec{r}_C = \frac{M_1\vec{r}_{C1}+M_2\vec{r}_{C2}}{M_1+M_2}</math></center>

donde ahora los centros de masas de las dos esferas se encuentran en

<center><math>\vec{r}_{C1}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{r}_{C2}=-b\vec{\imath}</math></center>

resultando la posición del centro de masas del sistema

<center><math>\vec{r}_C = \frac{M_1\vec{0}+(-M_1/8)(-b)\vec{\imath}}{M_1+(-M_1/8)}= \frac{b}{7}\vec{\imath}</math></center>

El centro de masas se halla en el semieje positivo, ya que en ese lado es el que se concentra la mayor parte de la masa.

<center>[[Archivo:dos-bolas-07.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]

Fuerzas ficticias (GIE)

2019-06-27T11:21:39Z

Anamaram: /* Fuerza centrífuga */

==Introducción==
Es común tanto en la vida diaria como en algunos libros de divulgación o de texto, el hablar de la “fuerza centrífuga'” como una fuerza real que mueve los objetos, empujándolos hacia afuera, responsable de que por ejemplo la Luna no se estrelle contra la Tierra. Incluso algún libro la identifica como la reacción a la fuerza centrípeta, que sería la acción.

Sin embargo, ¿quién ejerce la fuerza centrífuga? ¿Es eléctrica, gravitatoria o de qué tipo? ¿Si alguien ejerce una fuerza centrífuga sobre una partícula, ejercerá la partícula una fuerza centrífuga sobre ese alguien?

La respuesta es que nadie ejerce la fuerza centrífuga, porque la fuerza centrífuga no existe. Es una fuerza ficticia, un artificio matemático consecuencia de la generalización de las leyes de Newton a sistemas no inerciales.

Más adelante daremos la expresión matemática de esta fuerza ficticia, pero es fácil interpretarla con un ejemplo sencillo. Imaginemos un patinador montado en el interior de un vagón de tren, sin ningún tipo de rozamiento con el suelo.

<center>[[Archivo:vagon-centrifuga.png]]</center>

Cuando el tren toma una curva hacia la izquierda, el patinador, sobre el que no actúa ninguna fuerza, continúa en línea recta, con lo que finalmente es golpeado por la pared derecha del vagón. ¿Qué entiende el patinador (que solo ve el vagón y no el exterior)? Que de pronto ha actuado sobre él una fuerza hacia la derecha que ha terminado llevándolo hasta la pared. Pero esta fuerza es ficticia, es solo el resultado de emplear un sistema de referencia (el vagón) que está en rotación.

==Sistema con aceleración lineal==
Antes de analizar el caso de un sistema en rotación, consideraremos un caso más simple: el de un sistema de referencia que se traslada de forma acelerada respecto a uno inercial.

De nuevo, el ejemplo es el de un vagón de tren que se desplaza de manera acelerada por un camino ahora rectilíneo. Si del techo de este vagón cuelga un péndulo sabemos que el hilo se inclinará hacia atrás cuando el tren acelera y hacia adelante cuando frena. ¿Por qué lo hace? ¿Qué fuerza horizontal actúa sobre la masa para desviarlo de la vertical?

===Interpretación por un observador inercial===
Veamos cómo sería empleando las leyes de Newton en un sistema de referencia inercial, que sería el de un observador situado fuera del tren. Para este observador, la lenteja del péndulo se encuentra en reposo respecto al tren, es decir, se mueve aceleradamente respecto al observador. De acuerdo con la segunda ley de Newton esto implica que la masa no está en equilibrio, sino que debe haber una fuerza neta que actúa sobre ella. Las dos únicas fuerzas posibles son el peso y la tensión del hilo, por lo que

<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_T</math></center>

Separando en componentes

<center><math>ma\vec{\imath}=-mg\vec{k}+\left(F_T\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+F_T\cos(\theta)\right)\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}ma & = & F_T\mathrm{sen}(\theta) \\ 0 & = & -mg+F_T\cos(\theta)\end{array}\right.</math></center>

Si despejamos y dividimos nos queda, para el ángulo,

<center><math>\mathrm{tg}(\theta)=\frac{a}{g}</math></center>

con lo cual, midiendo el ángulo, tenemos la aceleración, que podrá ser tanto positiva como negativa. Este es el principio de muchos acelerómetros.

Lo importante aquí es que (1) El péndulo no está en equilibrio, sino acelerado, (2) sobre la masa actúan dos fuerzas reales: peso y tensión y (3) la suma de las fuerzas no es cero.

Ahora bien, ¿cómo explica la inclinación un observador que va dentro del tren y por tanto no aprecia aceleración en la masa colgante?

===Relación entre los sistemas de referencia===
Para relacionar las medidas de los dos observadores debemos introducir dos sistemas de referencia:
* Uno inercial (usualmente llamado sistema laboratorio o sistema fijo) asociado al observador externo. Etiquetaremos este sistema como “1”. Su origen de coordenadas es el punto <math>O_1</math> y sus vectores de la base canónica son <math>\{\vec{\imath}_1,\vec{\jmath}_1,\vec{k}_1 \}</math>.
* Uno no inercial (denominado sistema móvil), que sería el del tren. Etiquetaremos este sistema como “0”. Su origen de coordenadas es el punto <math>O_0</math> y los vectores de su base canónica son <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}</math>.
* La partícula en sí misma constituye un cuerpo adicional que etiquetaremos como 2. Aunque en el contexto de cinemática de la partícula esta etiqueta es superflua (ya que la identificamos a la vez como P y como “2”), la mantendremos ya que sí es útil al estudiar el movimiento de un sólido y de esta manera se evitan confusiones.

Dado que el sistema móvil describe un movimiento rectilíneo sin rotación, los vectores de la base móvil son los mismos que los de la base fija. Más adelante veremos qué ocurre cuando hay rotación.

La posición de una partícula que se mueve respecto a los dos sistemas verifica la relación entre posiciones relativas

<center><math>\overrightarrow{O_1P}=\overrightarrow{O_1O_0}+\overrightarrow{O_0P}</math></center>

Si derivamos aquí respecto al tiempo obtenemos una relación entre velocidades

<center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}_{01}+\vec{v}^P_{20}</math></center>

siendo <math>\vec{v}^P_{21}</math> y <math>\vec{v}^P_{20}</math> las velocidades de la partícula (“2”) respecto a los sistemas fijo (“1”) y móvil (“0”), respectivamente y <math>\vec{v}_{01}</math> la velocidad instantánea con que se traslada el sistema móvil respecto al fijo.

Derivando de nuevo obtenemos una relación entre aceleraciones

<center><math>\vec{a}^P_{21}=\vec{a}_{01}+\vec{a}^P_{20}</math></center>

===Fuerza ficticia de inercia===
Desde el punto de vista cinemático no existe una diferencia esencial entre el sistema “1” y el “0”. Sus papeles podrían intercambiarse y las relaciones entre velocidades y aceleraciones seguirían siendo ciertas sin más que permutar los índices.

Sin embargo, desde el punto de vista dinámico existe una diferencia esencial. Por ser el sistema fijo uno inercial, en él se cumplen las leyes de Newton

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}_{21}^P=m\vec{a}_{01}+m\vec{a}_{20}^P</math></center>

Esto quiere decir que si el observador móvil intenta aplicar las leyes de Newton en su sistema el producto de la masa por la aceleración no es igual a la fuerza aplicada, sino que
<center><math>m\vec{a}_{20}^P=m\vec{a}_{21}^P-m\vec{a}_{01}=\vec{F}+\vec{F}_\mathrm{ef}</math></center>
es decir, este observador percibe una fuerza efectiva adicional igual al producto de la masa por la aceleración relativa entre los dos sistemas, cambiada de signo.

<center><math>\vec{F}_\mathrm{ef}=-m\vec{a}_{01}</math></center>

Esta es una fuerza ficticia. No hay ningún agente ejerciendo esta fuerza, sino que se trata de un artificio matemático que permite aplicar las leyes de Newton en este sistema de referencia.

Volviendo al sistema del péndulo en el vagón, para el observador móvil el péndulo se encuentra en equilibrio, por tanto, según él la suma de fuerzas debe ser nula. Para este observador, sobre la partícula actúan tres fuerzas: el peso, la tensión y la fuerza ficticia, cumpliéndose

<center><math>\vec{0}=-mg\vec{k}+F_T(\mathrm{sen}⁡(\theta)\vec{\imath}⃗+\cos⁡(\theta)\vec{k})-ma\vec{\imath}</math></center>

que lleva naturalmente al mismo resultado (solo hemos cambiado un término de miembro).
Dando un paso más, el observador móvil puede interpretar el resultado como que la gravedad apunta en una dirección diferente

<center><math>\vec{g}_\mathrm{ef}=\vec{g}-\vec{a}_{01}=-a\vec{\imath}-g\vec{k}</math></center>

Esto es consecuencia de que la masa inercial y la gravitatoria sean idénticas y puedan extraerse la masa como factor común. En esta interpretación el péndulo está “vertical” pero respecto a la gravedad efectiva.

La visión de la fuerza ficticia como un cambio en la gravedad permite resolver esta cuestión: Si estamos montamos en un coche y sujetamos un globo de helio flotando y aceleramos el coche hacia adelante, ¿hacia dónde va el globo? La gravedad efectiva tiene ahora una componente hacia atrás. Por tanto el globo, que es menos pesado que el aire, se mueve hacia adelante, por el principio de Arquímedes.

Aún podemos dar un paso más y hacer la pregunta al revés: si la fuerza ficticia puede verse como una gravedad efectiva, ¿es posible interpretar la gravedad como una fuerza ficticia? ¿Es simplemente el resultado aparente de hacer observaciones en sistemas no inerciales? Esta pregunta entra de lleno en la Teoría de la Relatividad General. La respuesta es “sí, pero…”.

==Sistema de referencia en rotación==
Consideremos ahora el caso de que el observador móvil no se traslada, sino que está en un sistema giratorio. El ejemplo típico es la superficie de un tiovivo, pero también vale para la Tierra en su movimiento de rotación.

{| class="bordeado"
|-
! Desde el suelo
! Desde la plataforma
|-
| [[Archivo:tabla-rotante-01.gif]]
| [[Archivo:tabla-rotante-02.gif]]
|}

Es claro que el observador móvil ve que los objetos se desvían lateralmente debido a la presencia de fuerzas adicionales.

En este caso podemos tomar el mismo origen de coordenadas, pero la orientación de los ejes va cambiando con el tiempo. Esto quiere decir que ahora el triedro móvil va a ser una función del tiempo y por tanto habrá que tenerlo en cuenta a la hora de derivar.

===Fórmula de Poisson===
Para una magnitud escalar (por ejemplo, la temperatura), que no depende de la base que se elija, los dos observadores estarán de acuerdo en su valor en cada instante y en cuánto vale su derivada respecto al tiempo

<center><math>T_1=T_0=T\qquad\qquad \left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right|_0=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}</math></center>

Supongamos ahora una magnitud vectorial (como puede ser la velocidad, o la fuerza aplicada). Esta magnitud tendrá una cierta descomposición en la base fija y otra en la móvil

<center><math>\vec{A}=A_{x1}\vec{\imath}_1+A_{y1}\vec{\jmath}_1+A_{z1}\vec{k}_1=A_{x0}\vec{\imath}_0+A_{y0}\vec{\jmath}_0+A_{z0}\vec{k}_0</math></center>

Hay que recordar que la magnitud vectorial es la misma, lo que cambian son sus componentes.

Cuando derivamos esta cantidad respecto al tiempo, tal como lo ve el observador inercial fijo, obtenemos que

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\frac{\mathrm{d}A_{x0}}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_0+\frac{\mathrm{d}A_{y0}}{\mathrm{d}t}\vec{\jmath}_0+\frac{\mathrm{d}A_{z0}}{\mathrm{d}t}\vec{k}_0+A_{x0}\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1+A_{y0}\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1+A_{z0}\left.\frac{\mathrm{d}\vec{k}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1</math></center>

Los primeros tres sumandos no llevan el subíndice en la derivada porque al ser cantidades escalares los dos observadores están de acuerdo en su valor. La suma de estos tres términos es lo que el observador móvil interpreta como la derivada temporal de <math>\vec{A}</math> (ya que para él los vectores de su base no se mueven)

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\frac{\mathrm{d}A_{x0}}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_0+\frac{\mathrm{d}A_{y0}}{\mathrm{d}t}\vec{\jmath}_0+\frac{\mathrm{d}A_{z0}}{\mathrm{d}t}\vec{k}_0</math></center>

Ahora bien, ¿qué ocurre con los otros tres términos? Son los asociados a la rotación de los ejes. ¿Qué tipo de movimiento realiza el vector <math>\vec{\imath}_0</math>? Es un vector de módulo constante, por lo que su derivada temporal será ortogonal a él mismo.

En el caso de un tiovivo horizontal, lo que hace el vector <math>\vec{\imath}_0</math> es describir circunferencias, por lo que se cumple la misma ecuación que para un movimiento circular

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{\omega}_{10}\times\vec{\imath}_{10}</math></center>

siendo <math>\vec{\omega}_{01}</math> la velocidad angular con la que gira el sistema móvil respecto al fijo. Esta ecuación es general ya que el eje de giro no tiene por qué ser el eje Z. De la misma manera, los otros dos vectores de la base realizan la misma rotación

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{\omega}_{10}\times\vec{\jmath}_{10}\qquad\qquad\left.\frac{\mathrm{d}\vec{k}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{\omega}_{10}\times\vec{k}_{10}</math></center>

Esto nos permite relacionar las derivadas temporales vistas por uno y otro observador
<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0+A_{x0}\vec{\omega}_{10}\times\vec{\imath}_{10}+A_{y0}\vec{\omega}_{10}\times\vec{\jmath}_{10}+A_{z0}\vec{\omega}_{10}\times\vec{k}_{10}</math>

<math>=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\vec{\omega}_{10}\times\left(A_{x0}\vec{\imath}_{10}+A_{y0}\vec{\jmath}_{10}+A_{z0}\vec{k}_{10}\right)=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\vec{\omega}_{10}\times\vec{A}</math></center>

Llegamos finalmente a la conocida como fórmula de Poisson:

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\vec{\omega}_{10}\times\vec{A}</math></center>

que nos relaciona la derivada temporal que mide el observador fijo con la que mide el observador móvil. Aquí <math>\vec{A}</math> es cualquier magnitud vectorial.

===Teorema de Coriolis===
Al tener el mismo origen de coordenadas, los dos observadores coinciden en el vector de posición de una partícula que se mueve respecto a ambos. Sin embargo discrepan en cuanto a la velocidad con la que se mueve.

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}_{21}^P=\vec{r}_{20}^P=\vec{r}⃗^P</math></center>

Cuando aplicamos la fórmula de Poisson al caso del vector de posición queda

<center><math>\left.\frac{\mathrm{d}\vec{r}^P}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{r}^P}{\mathrm{d}t}\right|_0+\vec{\omega}_{10}\times\vec{r}^P\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}^P</math></center>

es decir, la velocidad con la que el observador fijo ve moverse la partícula es la suma de la que tiene en su traslación en el sistema móvil más la que tiene por la rotación de este sistema.

Si ahora volvemos a aplicar la fórmula de Poisson a las velocidades obtenemos la relación entre las aceleraciones.

<center><math>\vec{a}^P_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{21}</math></center>

Sustituimos aquí la relación entre velocidades

<center><math>\vec{a}^P_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\vec{v}^P_{20}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}^P\right)\right|_0+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{v}^P_{20}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}^P\right)</math></center>

Desarrollamos la derivada respecto al tiempo y nos queda

<center><math>\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}^{P}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20})</math></center>

Este es el conocido como ''teorema de Coriolis''.

El factor 2 del tercer sumando proviene de que hay un término procedente de la derivada de la posición y otro del producto vectorial.

Multiplicando por la masa y despejando llegamos a la fuerza aparente que mide el observador móvil

<center><math>m\vec{a}^P_{20}=\vec{F}-m\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}^{P}-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}-m\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}^P)</math></center>

Como vemos, aparecen tres fuerzas ficticias adicionales que consideramos por separado.

====Fuerza centrífuga====
El término

<center><math>\vec{F}_c=-m\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}^P)</math></center>

se conoce como “fuerza centrífuga”. Para ilustrar su efecto consideremos de nuevo la plataforma del tiovivo. La velocidad angular de esta plataforma es perpendicular a ella y un vector de posición es tangente a ella

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{k}_0\qquad\qquad\vec{r}^P\perp\vec{\omega}_{01}</math></center>

con lo que, aplicando el doble producto vectorial, la fuerza centrífuga se reduce a

<center><math>\vec{F}_c=+m\omega^2\vec{r}^P</math></center>

Es decir, se trata de una fuerza ficticia radial y hacia el exterior desde el eje del movimiento circular. Con ayuda de esta fuerza ficticia podemos explicar los movimientos de rotación uniformes como situaciones de equilibrio entre una fuerza radial hacia el interior (la fuerza gravitatoria en el caso orbital o una tensión en el péndulo cónico) conocida como fuerza centrípeta y una radial hacia el exterior que sería la fuerza centrífuga. Hay que insistir, no obstante en que se trata de la interpretación de un observador en rotación. En un sistema fijo la fuerza centrífuga no existe. Solo está la centrípeta, que provoca aceleración radial hacia adentro.

La fuerza centrífuga puede emplearse para calcular el ángulo que forma con la vertical un péndulo rotatorio

<center>[[Archivo:Pendulo-rotatorio.png]]</center>

El péndulo se comporta como si estuviera “vertical” respecto a una gravedad dependiente de la posición como

<center><math>\vec{g}_\mathrm{ef}=\vec{g}-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\omega^2\rho\vec{u}_\rho-g\vec{k}</math></center>

Llevando este mismo cálculo a la gravedad aparente en la superficie terrestre resulta que si suponemos ésta una esfera perfecta, la gravedad aparente (medible con plomadas y péndulos) no apunta en la dirección puramente radial, sino que se desvía por efecto de la aceleración centrífuga.

Este efecto depende de la latitud, ya que la aceleración centrífuga va siempre en la dirección horizontal y además depende de la distancia al eje de rotación, que es nula en los polos y máxima en el ecuador.

Si λ es la latitud medida desde el ecuador, podemos emplear coordenadas cilíndricas para escribir la gravedad aparente

<center><math>\vec{g}_\mathrm{ef}=-g\vec{u}_r+\omega^2\rho\vec{u}_\rho=(-g+\omega^2R)\cos(\lambda)\vec{u}_\rho-g\,\mathrm{sen}(\lambda)\vec{k}</math></center>

En módulo, esta gravedad aparente varía desde un valor máximo en los polos

<center><math>|\vec{g}_\mathrm{ef}|=g\qquad (\lambda=\pi/2)</math></center>

a uno mínimo en el ecuador

<center><math>|\vec{g}_\mathrm{ef}|=g-\omega^2R\qquad (\lambda=0)</math></center>

<center>[[Archivo:gravedad-aparente.gif]]</center>

Dado que <math>\omega^2R\simeq 0.003g</math>, hay un 0.3% de variación entre los polos y el ecuador.

La situación real es más compleja porque la Tierra no es esférica, sino achatada, justamente por los efectos centrífugos, siendo la variación por este efecto comprable a la desviación por la fuerza centrífuga.

====Fuerza de Coriolis====
El segundo de los términos que consideramos es el de la llamada fuerza de Coriolis, correspondiente a
<center><math>\vec{F}_C=-2m\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P</math></center>

Este término es no nulo sólo si <math>\vec{v}^P_{20}\neq\vec{0}</math>, es decir, requiere que la partícula se esté moviendo respecto al sistema en rotación.

La fuerza de Coriolis es la fuerza ficticia que experimenta, por ejemplo, una piedra que es lanzada radialmente por un individuo situado en el eje de una plataforma en rotación. Atendiendo al desplazamiento horizontal, para un observador fijo externo la partícula describe una recta. Para el observador móvil (para el cual la partícula “se va quedando atrás”) existe una aceleración lateral que interpreta como que hay una fuerza actuando sobre la partícula.

Si nos restringimos al movimiento en el plano de una plataforma giratoria <math>\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{k}_0</math> y queda

<center><math>\vec{F}_C=-2m\omega\vec{k}_0\times\vec{v}_{20}^P=+2m\omega\vec{v}_{20}^P\times\vec{k}_0</math></center>

Esta fuerza es siempre ortogonal a la velocidad y, para este giro de la plataforma, siempre en el sentido hacia la derecha de la velocidad.

La fuerza de Coriolis es la responsable del sentido de giro de grandes masas de aire como los vientos alisios o los ciclones. No obstante, para que sus efectos sean apreciables en el movimiento de un fluido son necesarias grandes masas y extensiones. Por ello, no es responsable del sentido de giro de un tornado (que puede ir en los dos sentidos), ni mucho menos del giro del agua en el desagüe de una bañera.

En el caso de un ciclón el movimiento del aire se produce porque en su centro (el llamado ojo del huracán) existe una zona de muy bajas presiones, por lo que el aire acude desde el exterior en una dirección radial. Sin embargo, al converger el aire se ve desviado hacia la derecha (en el hemisferio norte), produciendo un giro antihorario del ciclón perfectamente observable en las fotografías vía satélite.
<center>[[Archivo:coriolis-01.png]][[Archivo:coriolis-02.jpg]]</center>

====Fuerza ficticia por aceleración angular====
Por último, existe una fuerza ficticia adicional
<center><math>\vec{F}_\alpha=-m\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}^P</math></center>
Esta fuerza es menos importante que las dos anteriores, ya que solo aparece en el caso de que la rotación no sea uniforme.

==Caso general==
Cuando el sistema de referencia móvil se traslada a la vez que gira, la aceleración resulta de una combinación de ambos casos
<center><math>\vec{a}_{21}^P=\vec{a}_{21}^{O_0}+\vec{a}_{20}^P+\vec{\alpha}_{01}\times\vec{r}⃗^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}⃗^P)</math></center>
En esta expresión hay que indicar que <math>\vec{a}_{01}^{O_0}</math> se refiere a la aceleración del origen de coordenadas <math>O_0</math> del sistema móvil, ya que cada punto de ese sistema de referencia tiene una aceleración diferente.

[[Categoría:Dinámica de la partícula (GIE)]]

Leyes de Newton (GIE)

2019-06-27T11:09:05Z

Anamaram: /* Masa e inercia */

==Introducción==
Los ''principios de la dinámica'' o ''Leyes de Newton'' son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus ''Principia Mathematica''.

Aunque se refieren a partículas, la aplicación directa de las leyes de Newton es mucho más amplia:

* Se aplican a toda clase de objetos cuyo tamaño es mucho menor que las distancias que recorre. Así, la Tierra, en su movimiento alrededor del Sol, puede ser tratada como una partícula.
* Se aplican directamente a sólidos, cuando no hay rotación de estos. Por ejemplo, una masa que desliza por un plano inclinado. Cuando hay rotación, deben emplearse ecuaciones más complicadas (ecuaciones de Euler) que se deducen de las leyes de Newton.
* Son suficientes para explicar el movimiento del centro de masas de un sistema de partículas, el cual se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en él.
* Constituyen una primera aproximación a sistemas que no son partículas pero en el que los efectos de la rotación o deformación son pequeños.

Aparte, las leyes de Newton constituyen la base sobre la que se apoya el resto de la Dinámica.

Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:

==Primer principio: Principio de inercia==
El primer principio de la dinámica, también conocido como ''Primera Ley de Newton'' puede formularse como

:“''Toda partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme, cuando se observa desde un sistema de referencia inercial.''”

Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo. Galileo llego a él realizando experimentos con bolas que rodaban por canales en planos inclinados. Observó que si la pendiente era hacia abajo, la bola se aceleraba, mientras que si era hacia arriba se frenaba. La conclusión es que en una superficie horizontal debería permanecer constante (aunque la experiencia era que también se frenaba). Explicó el frenado horizontal como consecuencia del rozamiento.

<center>[[Archivo:planos-inclinados-galileo.png]]</center>

Lo que nos dice esta ley es que el espacio que nos rodea no está curvado de ninguna forma ya que las trayectorias de las partículas libres de interacciones son rectas y no otras curvas, como circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera) o hélices (como ocurriría en la superficie de un cilindro).

Esta ley contradice ciertas intuiciones comunes pero incorrectas:

* Aristóteles pensaba que para que un objeto se moviera era necesaria siempre una fuerza. En ausencia de fuerza, un objeto se para. Esto es incorrecto porque no tiene en cuenta el rozamiento como una fuerza más. Si no hubiera rozamiento alguno, un objeto no se pararía. Así, por ejemplo, una nave que viaja por el espacio no necesita activar sus motores la mayor parte del tiempo (independientemente de lo que se vea en las películas).

<center>[[Archivo:batman-rozamiento.png]]</center>

* En la Edad Media, se consideraba que cuando se lanzaba un objeto (como una piedra), se le comunicaba una fuerza y que cuando viajaba por el aire era porque seguía actuando "la fuerza con que se había lanzado", la cual se iba agotando progresivamente. Esto también es falso. La fuerza de lanzamiento solo actúa en el instante inicial. Posteriormente, sólo el peso y el rozamiento son responsables del movimiento de la partícula.

El primer principio de la dinámica conlleva la clasificación de los [[Introducción_a_la_cinemática_de_la_partícula_(GIE)|sistemas de referencia]] en ''inerciales'' (aquellos desde los cuales una partícula libre de interacciones se observa en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme) y ''no inerciales'' (aquellos respecto a los que no se cumple este principio de inercia).

Dado un sistema inercial, se puede identificar al resto de sistemas inerciales como aquellos que tienen velocidad constante (es decir, aceleración nula) respecto al primero. Un sistema de referencia no inercial es aquel que está acelerado respecto a uno no inercial.

Dos sistemas de referencia inerciales diferentes, <math>S_0</math> y <math>S_1</math> miden distintas posiciones, velocidades y aceleraciones para la misma partícula. No obstante, pueden relacionarse estas medidas.

Si el punto <math>O_0</math> es el origen del sistema <math>S_0</math> y <math>O_1</math> el del sistema <math>S_1</math>, la posición del punto P en cada sistema verifica

<center><math>\overrightarrow{O_1P}=\overrightarrow{O_1O_0}+\overrightarrow{O_0P}\qquad\qquad\mbox{o}\qquad\qquad \vec{r}^P_1 = \vec{r}^{O_0}_1+\vec{r}^P_0</math></center>

Las velocidades cumplen el llamado principio de relatividad de Galileo

<center><math>\vec{v}^P_1 = \vec{v}_{01}+\vec{v}^P_0</math></center>

siendo <math>\vec{v}_{01}</math> la velocidad del sistema de referencia 0 respecto al 1. En este contexto, a esta velocidad se denomina ''velocidad de arrastre'', mientras que <math>\vec{v}^P_1</math> y <math>\vec{v}^P_0</math> se denominan la velocidad ''absoluta'' y la ''relativa'', respectivamente.

Puesto que los dos sistemas son inerciales la velocidad de arrastre es una constante. Esto implica, al derivar respecto al tiempo, que las aceleraciones que miden los dos observadores son iguales

<center><math>\vec{a}^P_1 = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_1}{\mathrm{d}t}=\overbrace{\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t}}^{=\vec{0}}+\frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_0}{\mathrm{d}t}=\vec{a}^P_0</math></center>

En este contexto se dice que la aceleración es un ''invariante''.

Es fácil ver que en un sistema acelerado no se cumple la ley de inercia. Consideremos una plataforma giratoria respecto al suelo, que es un sistema inercial. Una pelota lanzada por el aire por encima de la plataforma describe en la horizontal un movimiento rectilíneo y uniforme. Sin embargo, para un observador situado sobre la plataforma, la pelota se desvía lateralmente hacia un lado y por tanto no describe un movimiento rectilíneo y uniforme, pese a que no hay fuerzas horizontales actuando sobre ella.

{| class="bordeado"
|-
! Desde el suelo
! Desde la plataforma
|-
| [[Archivo:tabla-rotante-01.gif]]
| [[Archivo:tabla-rotante-02.gif]]
|}

¿Es la Tierra un sistema de referencia inercial? Respecto al espacio que la rodea la aceleración de un sistema de referencia ligado a la Tierra se debe a la rotación de esta sobre sí misma y a la de traslación respecto al Sol. Ambas pueden calcularse empleando la expresión para la aceleración en un movimiento circular uniforme <math>a = \omega^2R</math>. A partir de los periodos de rotación y traslación pueden hallarse las aceleraciones correspondientes y resulta un valor de 0.03 m/s² para la de rotación y una de 0.006 m/s² para la de traslación. La segunda es muy pequeña comparada con la de la gravedad, pero la primera no tanto. Por ello en fenómenos que requieren un tiempo largo o grandes distancias, como los que se estudian en meteorología, el efecto de la rotación terrestre es importante y en ocasiones dominante.

==Segundo principio: Segunda Ley de Newton==
Cuando sobre un cuerpo se aplica una fuerza, éste deja de realizar un movimiento rectilíneo y uniforme, esto es, su velocidad deja de ser constante. El segundo principio de la dinámica nos dice qué es lo que ocurre cuando a una partícula se le aplica una fuerza

:''“Cuando sobre un cuerpo de masa <math>m</math> se aplica una fuerza neta <math>\vec{F}</math> adquiere una aceleración proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”''

<center><math>\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}</math></center>

o, como se escribe habitualmente

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}</math></center>

Si hay más de una fuerza aplicada simultáneamente, <math>\vec{F}</math> es la ''resultante'' de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, hallada como suma ''vectorial'' de ellas.

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\cdots</math></center>

Así, por ejemplo, para un avión en vuelo se considera que está sometido a cuatro fuerzas: su peso, la sustentación debida al aire, el empuje o tracción debido a la propulsión y la resistencia debida a la fricción con el aire

<center>[[Archivo:fuerzas-avion-02.jpg]]</center>

Dependiendo del balance entre las diferentes fuerzas se obtiene la aceleración en la dirección deseada. Cuando el avión vuela a velocidad constante, quiere decir que la suma de las fuerzas aplicadas es nula.

Cuando actúan varias fuerzas independientes, sus efectos se suman, según el

;Principio de superposición: Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma ''vectorial'' de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las dos fuerzas por separado.

:También se conoce a éste como principio de ''independencia de acción de las fuerzas'', y se puede generalizar para un número arbitrario de fuerzas.

===Masa e inercia===
En la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}</math></center>

aparece la masa de la partícula como la constante de proporcionalidad entre fuerza y aceleración. Tradicionalmente la masa se considera como una medida de la cantidad de materia, sin embargo, para expresar esa idea ya existe otra magnitud fundamental, cuya unidad es el mol.

En este contexto la masa es una propiedad de la partícula que mide su ''inercia''. Puesto que aparece en un denominador, para una fuerza aplicada dada, cuanto mayor es la masa, menor es la aceleración. Si la aceleración es menor, el cambio de velocidad es también menor. Por tanto, cuanto mayor es la masa, menos cambia la velocidad, es decir, es más difícil modificar el estado de movimiento de la partícula. A esta oposición al cambio del estado se la denomina ''inercia'' y a la propiedad que la mide, ''masa inercial''.

Un ejemplo claro del significado de la inercia lo tenemos en la fuerza necesaria para tomar una curva. Supongamos un coche y un camión que deben tomar ambos la misma curva con rapidez constante. En este caso la aceleración es puramente normal, por lo que se cumple la relación

<center><math>\frac{\left|\vec{F}\right|}{m}=a_n=\frac{\left|\vec{v}\right|^2}{R}</math></center>

Esta ecuación puede leerse de diferentes formas:

* Si los dos vehículos toman la curva con la misma rapidez, el del camión deberá realizar una fuerza mayor, proporcionalmente a la masa.

<center><math>\left|\vec{F}\right| = \left(\frac{\left|\vec{v}\right|^2}{R}\right)m</math></center>

* Si los dos vehículos realizan la misma fuerza, el camión deberá circular más despacio, con una rapidez proporcional a la inversa de la raíz cuadrada de la masa.

<center><math>\left|\vec{v}\right| = \frac{\sqrt{R\left|\vec{F}\right|}}{\sqrt{m}}</math></center>

* Si los dos vehículos entran en la curva con la misma rapidez y realizan la misma fuerza, el radio de curvatura del camión es mayor, proporcionalmente a la masa, lo que quiere decir que “hace un recto” y se sale de la curva

<center><math>R = \left(\frac{\left|\vec{v}\right|^2}{\left|\vec{F}\right|}\right)m</math></center>

===Leyes de fuerza===
La segunda ley de Newton requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:

*La ley de Hooke, para el oscilador armónico

<center><math>\vec{F}=-k\vec{r}\,</math></center>

*La ley de Newton de la Gravitación Universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra

<center><math>\vec{F}=-G\frac{m_1m_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>

:En esta ley aparece también la masa, como creadora de campo gravitatorio (la denominada ''masa gravitatoria''). Newton, estableció que la masa inercial y la gravitatoria tenían el mismo valor, aunque no pudo explicar por qué.

:La ley de la Gravitación contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre

<center><math>\vec{F}=m\vec{g}\,</math></center>

*La [[ley de Lorentz]], para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético

<center><math>\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\,</math></center>

:Un caso particular de esta ley es la [[Electrostática_en_el_vacío#Ley_de_Coulomb|ley de Coulomb]], para la fuerza producida por una carga en reposo

<center><math>\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>

Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula.

===Expresión en componentes===
====Cartesianas====
Separando en las componentes cartesianas quedan las tres ecuaciones escalares

<center><math>
\begin{array}{rcl}
m\ddot{x} & = & F_x\\
m\ddot{y} & = & F_y\\
m\ddot{z} & = & F_z
\end{array}</math></center>

Si cada componente de la fuerza depende solo de la coordenada correspondiente, estas ecuaciones se pueden resolver por separado y el movimiento a lo largo de cada eje es independiente de los otros dos. En la mayoría de los casos, no obstante, las componentes de la fuerza dependen de todas las coordenadas y estas ecuaciones están acopladas. No podemos resolver una sin resolver las otras dos al mismo tiempo.

====Polares y cilíndricas====
En el caso de un movimiento en un plano también pueden usarse las coordenadas polares. Sustituyendo la expresión de la aceleración en estas componentes quedan las ecuaciones

<center><math>
\begin{array}{rcl}
m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2) & = & F_\rho\\
m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}) & = & F_\theta
\end{array}</math></center>

siendo <math>F_\rho</math> y <math>F_\theta</math> las componentes radial y acimutal de la fuerza.

En un movimiento tridimensional, puede incluirse una tercera coordenada perpendicular a este plano. Se dice entonces que tenemos coordenadas cilíndricas. La segunda ley de Newton se escribe en ellas

<center><math>
\begin{array}{rcl}
m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2) & = & F_\rho\\
m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}) & = & F_\theta\\
m\ddot{z} & = & F_z
\end{array}</math></center>

====Intrínsecas====
Si descomponemos la fuerza en sus componentes paralela y perpendicular a la velocidad instantánea

<center><math>F_t = \frac{\vec{F}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\qquad\qquad F_n = \frac{|\vec{F}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}</math></center>

quedan las ecuaciones para las componentes intrínsecas de la aceleración

<center><math>m\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=F_t\qquad \qquad m\frac{|\vec{v}|^2}{R}=F_n</math></center>

Obsérvese que, como consecuencia de la 2ª ley de Newton, la resultante en la dirección binormal debe ser siempre nula
<center><math>
F_b=0\,</math></center>

==Tercer principio: ley de acción y reacción==
Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:

:“''Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo e igual dirección, pero de sentido contrario.''”

Matemáticamente

<center><math>\vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A}</math></center>

Hay que destacar que estas dos fuerzas '''no''' se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.

Además se cumple para casi todas las fuerzas que el par acción-reacción va en la dirección de la recta que une las dos partículas

<center>[[Archivo:accion-reaccion.png]]{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{F}_{A\to B}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

Ambas fuerzas actúan simultáneamente. Por ello, hay que señalar que el nombre de “acción y reacción”, con el que se conoce habitualmente a esta ley, es engañoso en cuanto a que sugiere a que primero actúa la acción y posteriormente la reacción. No es así y no existe distinción alguna que convierta a una de las fuerzas en acción y a la otra en reacción.

{{ejemplo|'''¿Quién mueve el trineo?'''
<center>[[Archivo:trineo-perros.jpg]]</center>

En el caso del trineo arrastrado por perros, el trineo tira del perro exactamente con la misma fuerza, en módulo y dirección, y de sentido opuesto, con la que el perro tira del trineo. ¿Cómo se mueve entonces?

En este sistema, tenemos tres pares acción-reacción:

* El perro y el trineo, cuyas fuerzas se anulan mutuamente, por estar atados rígidamente.
* El perro empuja al suelo hacia atrás, y éste al perro hacia adelante.
* El trineo, que también roza, empuja al suelo hacia adelante, y el suelo empuja al trineo hacia atrás.

Puesto que el rozamiento del trineo sobre la nieve es pequeño, la fuerza del suelo sobre el perro, hacia adelante, supera a la fuerza sobre el trineo hacia atrás, por lo que el sistema puede acelerarse hacia adelante.

Cuando caminamos ejercemos una fuerza hacia atrás sobre el suelo que es respondida por el rozamiento con una hacia adelante del suelo sobre nosotros, que es la que nos permite avanzar.

Del mismo modo, al saltar es la fuerza hacia arriba ejercida por el suelo la que nos eleva. El suelo se comporta como una cama elástica, solo que su deformación es muy pequeña y no la apreciamos.
}}
 

{{ejemplo|'''Algunos malentendidos comunes''' 
Sobre la acción y la reacción existen una serie de errores comunes, que se deben evitar:

* Como se ha dicho, la acción y la reacción se aplican sobre cuerpos diferentes. Por tanto, no se anulan mutuamente.
* Un par de fuerzas opuestas aplicadas en el mismo cuerpo no constituyen un par acción-reacción. Así, en el ejemplo del avión, la sustentación y el peso no son acción y reacción.
* En la misma línea, no hay confundir las [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIE)#Fuerzas_de_reacci.C3.B3n_vincular|fuerzas de reacción vincular]] con un par acción-reacción. Un libro situado sobre una mesa experimenta su peso y la reacción de la mesa, pero estas dos fuerzas no constituyen un par. La reacción al peso es la atracción que el libro ejerce sobre la Tierra, y que se situará en el centro de ésta. La fuerza ejercida por la mesa es la reacción de las fuerzas (electromagnéticas) que el libro ejerce sobre ella, debido a la compresión de sus átomos.
* No hay que mezclar acción y reacción con [[Fuerzas_ficticias_(GIE)|fuerzas de inercia]]. La fuerza centrífuga no es la reacción a la centrípeta, entre otras cosas, porque la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia.}}

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Leyes de Newton (GIE)

2019-06-27T11:04:24Z

Anamaram: /* Primer principio: Principio de inercia */

==Introducción==
Los ''principios de la dinámica'' o ''Leyes de Newton'' son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus ''Principia Mathematica''.

Aunque se refieren a partículas, la aplicación directa de las leyes de Newton es mucho más amplia:

* Se aplican a toda clase de objetos cuyo tamaño es mucho menor que las distancias que recorre. Así, la Tierra, en su movimiento alrededor del Sol, puede ser tratada como una partícula.
* Se aplican directamente a sólidos, cuando no hay rotación de estos. Por ejemplo, una masa que desliza por un plano inclinado. Cuando hay rotación, deben emplearse ecuaciones más complicadas (ecuaciones de Euler) que se deducen de las leyes de Newton.
* Son suficientes para explicar el movimiento del centro de masas de un sistema de partículas, el cual se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en él.
* Constituyen una primera aproximación a sistemas que no son partículas pero en el que los efectos de la rotación o deformación son pequeños.

Aparte, las leyes de Newton constituyen la base sobre la que se apoya el resto de la Dinámica.

Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:

==Primer principio: Principio de inercia==
El primer principio de la dinámica, también conocido como ''Primera Ley de Newton'' puede formularse como

:“''Toda partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme, cuando se observa desde un sistema de referencia inercial.''”

Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo. Galileo llego a él realizando experimentos con bolas que rodaban por canales en planos inclinados. Observó que si la pendiente era hacia abajo, la bola se aceleraba, mientras que si era hacia arriba se frenaba. La conclusión es que en una superficie horizontal debería permanecer constante (aunque la experiencia era que también se frenaba). Explicó el frenado horizontal como consecuencia del rozamiento.

<center>[[Archivo:planos-inclinados-galileo.png]]</center>

Lo que nos dice esta ley es que el espacio que nos rodea no está curvado de ninguna forma ya que las trayectorias de las partículas libres de interacciones son rectas y no otras curvas, como circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera) o hélices (como ocurriría en la superficie de un cilindro).

Esta ley contradice ciertas intuiciones comunes pero incorrectas:

* Aristóteles pensaba que para que un objeto se moviera era necesaria siempre una fuerza. En ausencia de fuerza, un objeto se para. Esto es incorrecto porque no tiene en cuenta el rozamiento como una fuerza más. Si no hubiera rozamiento alguno, un objeto no se pararía. Así, por ejemplo, una nave que viaja por el espacio no necesita activar sus motores la mayor parte del tiempo (independientemente de lo que se vea en las películas).

<center>[[Archivo:batman-rozamiento.png]]</center>

* En la Edad Media, se consideraba que cuando se lanzaba un objeto (como una piedra), se le comunicaba una fuerza y que cuando viajaba por el aire era porque seguía actuando "la fuerza con que se había lanzado", la cual se iba agotando progresivamente. Esto también es falso. La fuerza de lanzamiento solo actúa en el instante inicial. Posteriormente, sólo el peso y el rozamiento son responsables del movimiento de la partícula.

El primer principio de la dinámica conlleva la clasificación de los [[Introducción_a_la_cinemática_de_la_partícula_(GIE)|sistemas de referencia]] en ''inerciales'' (aquellos desde los cuales una partícula libre de interacciones se observa en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme) y ''no inerciales'' (aquellos respecto a los que no se cumple este principio de inercia).

Dado un sistema inercial, se puede identificar al resto de sistemas inerciales como aquellos que tienen velocidad constante (es decir, aceleración nula) respecto al primero. Un sistema de referencia no inercial es aquel que está acelerado respecto a uno no inercial.

Dos sistemas de referencia inerciales diferentes, <math>S_0</math> y <math>S_1</math> miden distintas posiciones, velocidades y aceleraciones para la misma partícula. No obstante, pueden relacionarse estas medidas.

Si el punto <math>O_0</math> es el origen del sistema <math>S_0</math> y <math>O_1</math> el del sistema <math>S_1</math>, la posición del punto P en cada sistema verifica

<center><math>\overrightarrow{O_1P}=\overrightarrow{O_1O_0}+\overrightarrow{O_0P}\qquad\qquad\mbox{o}\qquad\qquad \vec{r}^P_1 = \vec{r}^{O_0}_1+\vec{r}^P_0</math></center>

Las velocidades cumplen el llamado principio de relatividad de Galileo

<center><math>\vec{v}^P_1 = \vec{v}_{01}+\vec{v}^P_0</math></center>

siendo <math>\vec{v}_{01}</math> la velocidad del sistema de referencia 0 respecto al 1. En este contexto, a esta velocidad se denomina ''velocidad de arrastre'', mientras que <math>\vec{v}^P_1</math> y <math>\vec{v}^P_0</math> se denominan la velocidad ''absoluta'' y la ''relativa'', respectivamente.

Puesto que los dos sistemas son inerciales la velocidad de arrastre es una constante. Esto implica, al derivar respecto al tiempo, que las aceleraciones que miden los dos observadores son iguales

<center><math>\vec{a}^P_1 = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_1}{\mathrm{d}t}=\overbrace{\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t}}^{=\vec{0}}+\frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_0}{\mathrm{d}t}=\vec{a}^P_0</math></center>

En este contexto se dice que la aceleración es un ''invariante''.

Es fácil ver que en un sistema acelerado no se cumple la ley de inercia. Consideremos una plataforma giratoria respecto al suelo, que es un sistema inercial. Una pelota lanzada por el aire por encima de la plataforma describe en la horizontal un movimiento rectilíneo y uniforme. Sin embargo, para un observador situado sobre la plataforma, la pelota se desvía lateralmente hacia un lado y por tanto no describe un movimiento rectilíneo y uniforme, pese a que no hay fuerzas horizontales actuando sobre ella.

{| class="bordeado"
|-
! Desde el suelo
! Desde la plataforma
|-
| [[Archivo:tabla-rotante-01.gif]]
| [[Archivo:tabla-rotante-02.gif]]
|}

¿Es la Tierra un sistema de referencia inercial? Respecto al espacio que la rodea la aceleración de un sistema de referencia ligado a la Tierra se debe a la rotación de esta sobre sí misma y a la de traslación respecto al Sol. Ambas pueden calcularse empleando la expresión para la aceleración en un movimiento circular uniforme <math>a = \omega^2R</math>. A partir de los periodos de rotación y traslación pueden hallarse las aceleraciones correspondientes y resulta un valor de 0.03 m/s² para la de rotación y una de 0.006 m/s² para la de traslación. La segunda es muy pequeña comparada con la de la gravedad, pero la primera no tanto. Por ello en fenómenos que requieren un tiempo largo o grandes distancias, como los que se estudian en meteorología, el efecto de la rotación terrestre es importante y en ocasiones dominante.

==Segundo principio: Segunda Ley de Newton==
Cuando sobre un cuerpo se aplica una fuerza, éste deja de realizar un movimiento rectilíneo y uniforme, esto es, su velocidad deja de ser constante. El segundo principio de la dinámica nos dice qué es lo que ocurre cuando a una partícula se le aplica una fuerza

:''“Cuando sobre un cuerpo de masa <math>m</math> se aplica una fuerza neta <math>\vec{F}</math> adquiere una aceleración proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”''

<center><math>\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}</math></center>

o, como se escribe habitualmente

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}</math></center>

Si hay más de una fuerza aplicada simultáneamente, <math>\vec{F}</math> es la ''resultante'' de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, hallada como suma ''vectorial'' de ellas.

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\cdots</math></center>

Así, por ejemplo, para un avión en vuelo se considera que está sometido a cuatro fuerzas: su peso, la sustentación debida al aire, el empuje o tracción debido a la propulsión y la resistencia debida a la fricción con el aire

<center>[[Archivo:fuerzas-avion-02.jpg]]</center>

Dependiendo del balance entre las diferentes fuerzas se obtiene la aceleración en la dirección deseada. Cuando el avión vuela a velocidad constante, quiere decir que la suma de las fuerzas aplicadas es nula.

Cuando actúan varias fuerzas independientes, sus efectos se suman, según el

;Principio de superposición: Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma ''vectorial'' de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las dos fuerzas por separado.

:También se conoce a éste como principio de ''independencia de acción de las fuerzas'', y se puede generalizar para un número arbitrario de fuerzas.

===Masa e inercia===
En la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}</math></center>

aparece la masa de la partícula como la constante de proporcionalidad entre fuerza y aceleración. Tradicionalmente la masa se considera como una medida de la cantidad de materia, sin embargo, para expresar esa idea ya existe otra magnitud fundamental, cuya unidad es el mol.

En este contexto la masa es una propiedad de la partícula que mide su ''inercia''. Puesto que aparece en un denominador,para una fuerza aplicada dada, cuanto mayor es la masa, menor es la aceleración. Si la aceleración es menor, el cambio de velocidad es también menor. Por tanto, cuanto mayor es la masa, menos cambia la velocidad, es decir, es más difícil modificar el estado de movimiento de la partícula. A esta oposición al cambio del estado se la denomina ''inercia'' y a la propiedad que la mide, ''masa inercial''.

Un ejemplo claro del significado de la inercia lo tenemos en la fuerza necesaria para tomar una curva. Supongamos un coche y un camión que deben tomar ambos la misma curva con rapidez constante. En este caso la aceleración es puramente normal, por lo que se cumple la relación

<center><math>\frac{\left|\vec{F}\right|}{m}=a_n=\frac{\left|\vec{v}\right|^2}{R}</math></center>

Esta ecuación puede leerse de diferentes formas:

* Si los dos vehículos toman la curva con la misma rapidez, el del camión deberá realizar una fuerza mayor, proporcionalmente a la masa.

<center><math>\left|\vec{F}\right| = \left(\frac{\left|\vec{v}\right|^2}{R}\right)m</math></center>

* Si los dos vehículos realizan la misma fuerza, el camión deberá circular más despacio, con una rapidez proporcional a la inversa de la raíz cuadrada de la masa.

<center><math>\left|\vec{v}\right| = \frac{\sqrt{R\left|\vec{F}\right|}}{\sqrt{m}}</math></center>

* Si los dos vehículos entran en la curva con la misma rapidez y realizan la misma fuerza, el radio de curvatura del camión es mayor, proporcionalmente a la masa, lo que quiere decir que “hace un recto” y se sale de la curva

<center><math>R = \left(\frac{\left|\vec{v}\right|^2}{\left|\vec{F}\right|}\right)m</math></center>

===Leyes de fuerza===
La segunda ley de Newton requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:

*La ley de Hooke, para el oscilador armónico

<center><math>\vec{F}=-k\vec{r}\,</math></center>

*La ley de Newton de la Gravitación Universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra

<center><math>\vec{F}=-G\frac{m_1m_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>

:En esta ley aparece también la masa, como creadora de campo gravitatorio (la denominada ''masa gravitatoria''). Newton, estableció que la masa inercial y la gravitatoria tenían el mismo valor, aunque no pudo explicar por qué.

:La ley de la Gravitación contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre

<center><math>\vec{F}=m\vec{g}\,</math></center>

*La [[ley de Lorentz]], para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético

<center><math>\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\,</math></center>

:Un caso particular de esta ley es la [[Electrostática_en_el_vacío#Ley_de_Coulomb|ley de Coulomb]], para la fuerza producida por una carga en reposo

<center><math>\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>

Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula.

===Expresión en componentes===
====Cartesianas====
Separando en las componentes cartesianas quedan las tres ecuaciones escalares

<center><math>
\begin{array}{rcl}
m\ddot{x} & = & F_x\\
m\ddot{y} & = & F_y\\
m\ddot{z} & = & F_z
\end{array}</math></center>

Si cada componente de la fuerza depende solo de la coordenada correspondiente, estas ecuaciones se pueden resolver por separado y el movimiento a lo largo de cada eje es independiente de los otros dos. En la mayoría de los casos, no obstante, las componentes de la fuerza dependen de todas las coordenadas y estas ecuaciones están acopladas. No podemos resolver una sin resolver las otras dos al mismo tiempo.

====Polares y cilíndricas====
En el caso de un movimiento en un plano también pueden usarse las coordenadas polares. Sustituyendo la expresión de la aceleración en estas componentes quedan las ecuaciones

<center><math>
\begin{array}{rcl}
m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2) & = & F_\rho\\
m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}) & = & F_\theta
\end{array}</math></center>

siendo <math>F_\rho</math> y <math>F_\theta</math> las componentes radial y acimutal de la fuerza.

En un movimiento tridimensional, puede incluirse una tercera coordenada perpendicular a este plano. Se dice entonces que tenemos coordenadas cilíndricas. La segunda ley de Newton se escribe en ellas

<center><math>
\begin{array}{rcl}
m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2) & = & F_\rho\\
m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}) & = & F_\theta\\
m\ddot{z} & = & F_z
\end{array}</math></center>

====Intrínsecas====
Si descomponemos la fuerza en sus componentes paralela y perpendicular a la velocidad instantánea

<center><math>F_t = \frac{\vec{F}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\qquad\qquad F_n = \frac{|\vec{F}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}</math></center>

quedan las ecuaciones para las componentes intrínsecas de la aceleración

<center><math>m\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=F_t\qquad \qquad m\frac{|\vec{v}|^2}{R}=F_n</math></center>

Obsérvese que, como consecuencia de la 2ª ley de Newton, la resultante en la dirección binormal debe ser siempre nula
<center><math>
F_b=0\,</math></center>

==Tercer principio: ley de acción y reacción==
Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:

:“''Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo e igual dirección, pero de sentido contrario.''”

Matemáticamente

<center><math>\vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A}</math></center>

Hay que destacar que estas dos fuerzas '''no''' se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.

Además se cumple para casi todas las fuerzas que el par acción-reacción va en la dirección de la recta que une las dos partículas

<center>[[Archivo:accion-reaccion.png]]{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{F}_{A\to B}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

Ambas fuerzas actúan simultáneamente. Por ello, hay que señalar que el nombre de “acción y reacción”, con el que se conoce habitualmente a esta ley, es engañoso en cuanto a que sugiere a que primero actúa la acción y posteriormente la reacción. No es así y no existe distinción alguna que convierta a una de las fuerzas en acción y a la otra en reacción.

{{ejemplo|'''¿Quién mueve el trineo?'''
<center>[[Archivo:trineo-perros.jpg]]</center>

En el caso del trineo arrastrado por perros, el trineo tira del perro exactamente con la misma fuerza, en módulo y dirección, y de sentido opuesto, con la que el perro tira del trineo. ¿Cómo se mueve entonces?

En este sistema, tenemos tres pares acción-reacción:

* El perro y el trineo, cuyas fuerzas se anulan mutuamente, por estar atados rígidamente.
* El perro empuja al suelo hacia atrás, y éste al perro hacia adelante.
* El trineo, que también roza, empuja al suelo hacia adelante, y el suelo empuja al trineo hacia atrás.

Puesto que el rozamiento del trineo sobre la nieve es pequeño, la fuerza del suelo sobre el perro, hacia adelante, supera a la fuerza sobre el trineo hacia atrás, por lo que el sistema puede acelerarse hacia adelante.

Cuando caminamos ejercemos una fuerza hacia atrás sobre el suelo que es respondida por el rozamiento con una hacia adelante del suelo sobre nosotros, que es la que nos permite avanzar.

Del mismo modo, al saltar es la fuerza hacia arriba ejercida por el suelo la que nos eleva. El suelo se comporta como una cama elástica, solo que su deformación es muy pequeña y no la apreciamos.
}}
 

{{ejemplo|'''Algunos malentendidos comunes''' 
Sobre la acción y la reacción existen una serie de errores comunes, que se deben evitar:

* Como se ha dicho, la acción y la reacción se aplican sobre cuerpos diferentes. Por tanto, no se anulan mutuamente.
* Un par de fuerzas opuestas aplicadas en el mismo cuerpo no constituyen un par acción-reacción. Así, en el ejemplo del avión, la sustentación y el peso no son acción y reacción.
* En la misma línea, no hay confundir las [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIE)#Fuerzas_de_reacci.C3.B3n_vincular|fuerzas de reacción vincular]] con un par acción-reacción. Un libro situado sobre una mesa experimenta su peso y la reacción de la mesa, pero estas dos fuerzas no constituyen un par. La reacción al peso es la atracción que el libro ejerce sobre la Tierra, y que se situará en el centro de ésta. La fuerza ejercida por la mesa es la reacción de las fuerzas (electromagnéticas) que el libro ejerce sobre ella, debido a la compresión de sus átomos.
* No hay que mezclar acción y reacción con [[Fuerzas_ficticias_(GIE)|fuerzas de inercia]]. La fuerza centrífuga no es la reacción a la centrípeta, entre otras cosas, porque la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia.}}

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Trabajo en una semicircunferencia

2019-06-27T10:42:39Z

Anamaram: /* Solución */

==Enunciado==
Una partícula se encuentra sometida a su peso <math>\vec{F}=-mg\vec{k}</math>. Halle el trabajo realizado por esta fuerza

<center><math>W= \int_A^B\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math></center>

cuando la partícula pasa de <math>\vec{r}_A=R\vec{k}</math> a <math>\vec{r}_B=-R\vec{k}</math> moviéndose sobre una semicircunferencia vertical de radio <math>R</math> con centro el origen de coordenadas.

==Solución==
La clave para realizar integrales definidas es leerlas al pie de la letra. En este caso, se trata de dividir una curva en trocitos. Para cada trocito, hallar el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento y sumar todos los trocitos.

[[Archivo:trabajo-semicircunferencia.png|right]]

En este caso nuestra curva es una semicircunferencia que va desde un punto que podemos llamar “polo norte” <math>\vec{r}_A=+R\vec{k}</math> hasta otro que sería el “polo sur” <math>\vec{r}_B = -R\vec{k}</math> a lo largo de una curva que en la superficie terrestre sería un meridiano.

Para identificar los puntos de este meridiano, definimos un ángulo <math>\theta</math> que varía desde 0 en el polo norte hasta π en el polo sur.

Cuando variamos <math>\theta</math> en una cantidad diferencial <math>\mathrm{d}\theta</math> realizamos un desplazamiento cuya longitud es igual al radio por el ángulo

<center><math>|\mathrm{d}\vec{r}| = R\,\mathrm{d}\theta</math></center>

con dirección tangente al meridiano y sentido hacia el sur.

Cuando multiplicamos este desplazamiento por la fuerza que actúa sobre la partícula en ese punto obtenemos

<center><math>\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = |\vec{F}||\mathrm{d}\vec{r}|\cos(\alpha)</math></center>

El ángulo <math>\alpha</math> que forma la fuerza con el desplazamiento no es igual al ángulo <math>\theta</math>, sino a su complementario

<center><math>\alpha = \frac{\pi}{2}-\theta\qquad\Rightarrow\qquad \cos(\alpha) = \mathrm{sen}(\theta)</math></center>

y por tanto el producto escalar vale

<center><math>\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -mgR\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{d}\theta</math></center>

Se trata entonces de hallar la integral

<center><math>W = \int_0^\pi mgR\, \mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{d}\theta</math></center>

Este es el único punto en el que realmente hay que calcular una primitiva, que en este caso es inmediata

<center><math>W = \left.-mgR\cos(\theta)\right|_0^\pi = 2mgR</math></center>

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Potencia necesaria en un automóvil

2019-06-25T14:22:06Z

Anamaram: /* Acelerando en recta */

==Enunciado==
Calcule la potencia requerida en un automóvil de 1200 kg en las siguientes circunstancias:
# El automóvil sube una pendiente del 6% con rapidez constante de 80 km/h
# El automóvil acelera en un llano de 100 km/h a 120 km/h en 6.0 s.

Suponga que la fuerza de rozamiento promedio es aproximadamente constante e igual a 600 N.

==Subiendo una pendiente==
Para ascender por la pendiente, el coche debe vencer tanto la fuerza de rozamiento como la componente tangencial del peso, la cual apunta hacia abajo de la pendiente. La fuerza que debe ejercer vale entonces

<center><math>F = F_r+mg\,\mathrm{sen}(\theta)</math></center>

La inclinación de la pendiente es la tangente del ángulo que forma con la horizontal

<center><math>\mathrm{tg}(\theta) = 0.06\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\theta)=\frac{\mathrm{tg}(\theta)}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2(\theta)}} = 0.0598\simeq 0.06</math></center>

Vemos que para ángulos tan pequeños, no hay mucha diferencia entre el seno y la tangente (ambos son aproximadamente iguales al ángulo en radianes).

La fuerza que ejerce el coche será

<center><math>F = 600\,\mathrm{N}+1200\cdot 9.81\cdot 0.06\,\mathrm{N}\simeq 1300\,\mathrm{N}</math></center>

Esta fuerza es ejercida por el coche sobre el suelo y, por la tercera ley de Newton, produce un empuje del suelo sobre el coche capaz de igualar a la fuerza en sentido contrario.

La potencia desarrollada por esta fuerza es igual al producto de la fuerza por la velocidad, que es constante

<center><math>P = Fv = (1300\,\mathrm{N})\left(80\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right)\left(\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\right)\left(\frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}\right)=29\,\mathrm{kW}</math></center>

En términos de [http://es.wikipedia.org/wiki/Caballo_de_potencia caballos de potencia], teniendo en cuenta que

<center><math>1\,\mathrm{CV}=735.5\,\mathrm{W}</math></center>

resulta

<center><math>P = 39.5\,\mathrm{CV}</math></center>

==Acelerando en recta==
En el segundo caso, el coche no debe vencer la acción de la gravedad, pero debe ejercer la fuerza necesaria para acelerar el vehículo, por lo que

<center><math>F = F_r + ma\,</math></center>

La aceleración media en el tramo es

<center><math>a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}-100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}}{6.0\,\mathrm{s}}\left(\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\right)\left(\frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}\right) = 0.926\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

y la fuerza ejercida vale

<center><math>F = 600\,\mathrm{N}+1200\cdot 0.926\,\mathrm{N}\simeq 1710\,\mathrm{N}</math></center>

La potencia desarrollada va variando a medida que el coche va aumentando su rapidez. Para hallar su promedio podemos considerar la velocidad media en el tramo

<center><math>P \simeq F v_m = 1710\,\mathrm{N} \left(110\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right)\left(\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\right)\left(\frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}\right)=52.3\,\mathrm{kW}</math></center>

y en caballos de potencia

<center><math>P \simeq 71.1\,\mathrm{CV}</math></center>
[[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]]

Dos bloques apilados

2019-06-19T13:28:18Z

Anamaram: /* Casos prácticos */

==Enunciado==
Sobre una mesa horizontal se encuentran apilados dos bloques, siendo el inferior de masa <math>m_1</math> y el superior de masa <math>m_2</math>. El coeficiente de rozamiento estático del bloque inferior con la mesa vale <math>\mu_1</math> y el del segundo bloque con el primero <math>\mu_2</math>. Los coeficientes de rozamiento dinámico valen lo mismo que los estáticos.

# Para el estado de reposo y sin fuerzas laterales aplicadas, indique la fuerza que la mesa ejerce sobre el bloque inferior y el que éste ejerce sobre el superior.
# Suponiendo <math>\mu_1 =0</math>, se tira del bloque inferior con una fuerza horizontal <math>F</math>. ¿Qué fuerzas actúan sobre cada bloque? ¿Cuánto debe valer como mínimo esta fuerza si se quiere que el bloque superior se quede atrás? ¿Cuánto vale la aceleración de cada bloque para valores de la fuerza inferiores o superiores a este valor crítico?
# Resuelva las mismas cuestiones que en el apartado anterior, suponiendo ahora <math>\mu_1\neq 0</math>.
# Calcule los valores de las diferentes fuerzas y las aceleraciones si <math>m_1 = 3.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_2 = 2.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>\mu_1 = 0.30</math>, <math>\mu_2 = 0.50</math> para (a) <math>F=10.0\,\mathrm{N}</math> (b) <math>F=20.0\,\mathrm{N}</math> (c) <math>F=50.0\,\mathrm{N}</math>

<center>[[Archivo:dos-masas-apiladas.png]]</center>

==Introducción==
Este problema es una versión simplificada del conocido problema de con qué fuerza debe tirarse de un mantel si se desea que los platos y vasos queden por detrás. En un problema realista, las copas y vasos deben considerarse como sólidos, no partículas, ya que lo más probable es que vuelquen. En primera aproximación, no obstante, podemos considerar solo el efecto del deslizamiento relativo.

Es conocido que si se tira del bloque inferior con una fuerza pequeña, pero suficiente para vencer el rozamiento con la mesa, el bloque superior se moverá solidariamente con el inferior. La pregunta que nos podemos hacer es ¿qué fuerza mueve al bloque superior? La respuesta es que la única que actúa sobre ella en la dirección horizontal es el rozamiento con el bloque inferior. Por tanto, aquí tenemos un ejemplo sencillo en el que el rozamiento no se opone al movimiento sino que por el contrario es su causa. A lo que se opone el movimiento relativo, esto es, a que el bloque 2 se mueva respecto al 1 (y viceversa)

==Diagramas de cuerpo libre==
Cuando tenemos un sistema formado por varias partes, la técnica de solución pasa por dibujar los diagramas de cuerpo libre, en los que cada elemento se representa por separado, indicando todas las fuerzas a que está sometido. Entre las fuerzas aplicadas se incluyen las de reacción vincular, debidas a contactos y ligaduras.

En este caso tenemos los dos bloques que denominaremos “1” y “2”, respectivamente. A la mesa, en el que está apoyado el bloque 1, lo etiquetaremos como “0”.

Así tenemos, para el bloque 1, las siguientes fuerzas:

# Su peso, <math>m_1\vec{g}</math> causado por la atracción terrestre.
# La fuerza de reacción normal ejercida por el plano, <math>\vec{F}_{n0\to 1}</math>.
# La fuerza de reacción normal debida al bloque superior, <math>\vec{F}_{n2\to 1}</math>. Nótese que esta fuerza no es “el peso del bloque 2”, ya que el peso de 2 es una fuerza ejercida por la Tierra sobre el bloque 2. La fuerza normal de que hablamos es la fuerza elástica debida al contacto entre los dos bloques. Otra cosa es que su valor sea igual al peso de ese bloque.
# La fuerza aplicada <math>\vec{F}</math>
# La fuerza de rozamiento debida a la mesa, <math>\vec{F}_{r0\to 1}</math>.
# La fuerza de rozamiento debida al bloque 2, <math>\vec{F}_{r2\to 1}</math>.

De estas seis fuerzas, las tres primeras son verticales y las tres últimas horizontales.

<center>[[Archivo:dos-bloques-inferior.png]]</center>

Nótese que, puesto que estamos tratando el bloque como una partícula, no importa el punto de aplicación de cada una. Es equivalente a que todas se apliquen en el centro de masas del bloque.

La suma de todas ellas nos da la aceleración de la masa 1

<center><math>m_1\vec{g}+\vec{F}+\vec{F}_{n0\to 1}+\vec{F}_{n2\to 1}+\vec{F}_{r0\to 1} + \vec{F}_{r2\to 1} = m_1\vec{a}_1</math></center>

Sobre el bloque 2 actúan menos fuerzas:

# Su peso, <math>m_2\vec{g}</math> causado por la atracción terrestre.
# La fuerza de reacción normal debida al bloque inferior, <math>\vec{F}_{n1\to 1}</math>.
# La fuerza de rozamiento debida al bloque 1, <math>\vec{F}_{r1\to 2}</math>.

<center>[[Archivo:dos-bloques-superior.png]]</center>

Por aplicación de la segunda ley de Newton nos da

<center><math>m_2\vec{g}+\vec{F}_{n1\to 2}+ \vec{F}_{r1\to 2} = m_2\vec{a}_2</math></center>

Por la tercera ley de Newton se cumple

<center><math>\vec{F}_{n1\to 2} = -\vec{F}_{n2\to 1}\qquad\qquad \vec{F}_{n1\to 2} = -\vec{F}_{n2\to 1}</math></center>

Empleando componentes según un sistema de ejes con el OX paralelo a la mesa y OZ perpendicular a ella nos quedan las descomposiciones

* <math>\vec{F}=F\vec{\imath}</math>

* <math>m_1\vec{g}=-m_1g\vec{k}\qquad m_2\vec{g}=-m_2g\vec{k}</math>

* <math>\vec{F}_{n0\to 1} = F_{n1}\vec{k}</math>

* <math>\vec{F}_{n2\to 1}=-F_{n2}\vec{k}\qquad \vec{F}_{n1\to 2}=+F_{n2}\vec{k}</math>

* <math>\vec{F}_{r0\to 1} = -F_{r1}\vec{\imath}</math>

* <math>\vec{F}_{r2\to 1}=-F_{r2}\vec{\imath}\qquad \vec{F}_{n1\to 2}=+F_{r2}\vec{\imath}</math>

* <math>m_1\vec{a}_1=m_1a_1\vec{\imath}\qquad m_2\vec{a}_2=m_2a_2\vec{\imath}</math>

Hay que destacar que, en las expresiones anteriores no se presupone que las diferentes cantidades <math>F_{n1}</math>, <math>F_{r1}</math> sean todas positivas. Simplemente se les ha asignado una dirección, pero su sentido podría ser el supuesto o el opuesto, si resulta una cantidad negativa. Por supuesto, ayuda el que desde el principio se suponga el sentido adecuado y resulten cantidades exclusivamente positivas.

Llevando esto a las ecuaciones de movimiento e igualando componente a componente queda, para el bloque 1

<center><math>-m_1g+F_{n1}-F_{n2}=0\qquad\qquad F-F_{r1}-F_{r2} = m_1a_1</math></center>

y para el bloque 2

<center><math>-m_2g + F_{n2} = 0 \qquad\qquad F_{r2}=m_2a_2</math></center>

==Componentes verticales==
Puesto que no hay movimiento en la dirección vertical, las componentes de las fuerzas en esta dirección se equilibran unas a otras. Nos queda

<center><math>-m_1g+F_{n1}-F_{n2}=0\qquad\qquad -m_2g + F_{n2} = 0</math></center>

de donde hallamos los valores de las fuerzas normales

<center><math>F_{n2} = m_2g\qquad\qquad F_{n1}= m_1g+F_{n2}= (m_1+m_2)g</math></center>

El resultado es el que cabe esperar. La reacción normal del bloque inferior iguala al peso que soporta, debido al bloque superior, mientras que la reacción de la mesa iguala al peso de los dos bloques juntos.

==Caso sin rozamiento con la mesa==
Para las fuerzas horizontales ya puede haber movimiento, por lo que las ecuaciones no son de equilibrio, sino que nos permiten hallar las aceleraciones con que se mueven lo bloques.

Suponemos en primer lugar, para hacer el problema más simple, que no hay rozamiento con la mesa. En este caso

<center><math>F_{r1}=0\,</math></center>

lo que nos deja con las ecuaciones para la componente horizontal

<center><math>F-F_{r2} = m_1a_1\qquad\qquad F_{r2}=m_2a_2\qquad \qquad</math></center>

Esto es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas (<math>F_{r2}</math>, <math>a_1</math> y <math>a_2</math>), por lo que no nos basta para resolver el problema.

Tenemos dos posibilidades, dependiendo de la magnitud de la fuerza aplicada: que los bloques se muevan al unísono o separadamente.

===Bloques solidarios===
Cuando la fuerza es pequeña, los dos bloques se mueven conjuntamente. En este caso

<center><math>a_1 = a_2\,</math></center>

lo que ya permite resolver el sistema. Sumando las dos ecuaciones

<center><math>F = m_1a_1 + m_2 a_2 = (m_1+m_2)a_1 \qquad\Rightarrow\qquad a_1 = a_2 = \frac{F}{m_1+m_2}</math></center>

Puesto que los dos bloques se mueven como uno solo, la aceleración que adquieren es igual a la fuerza aplicada dividida por la masa total.

La fuerza de rozamiento la hallamos de cualquiera de las dos ecuaciones

<center><math>F_{r2}=m_2a_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}F</math></center>

Esta fuerza de rozamiento aumenta a medida que lo hace la fuerza aplicada. Ahora bien, de acuerdo con las leyes del rozamiento seco, este crecimiento no puede ser ilimitado, ya que debe cumplirse que

<center><math>|\vec{F}_{r2}| \leq \mu_2 |\vec{F}_{n2}| =\mu m_2 g</math></center>

Esta condición nos da el valor de la máxima fuerza que arrastra a los dos bloques a la vez

<center><math>\frac{m_2}{m_1+m_2}F \leq \mu_2 m_2 g \qquad \Rightarrow \qquad F\leq \mu_2(m_1+m_2)g</math></center>

===Bloques separados===
Una vez que se supera el valor crítico

<center><math>F_c = \mu_2(m_1+m_2)g\,</math></center>

ya los dos bloques adquieren aceleraciones diferentes, ya que el superior no es capaz de seguir al inferior.

En este caso, el rozamiento entre los dos bloques no es estático sino dinámico, ya que existe movimiento relativo. En el rozamiento dinámico, la fuerza de rozamiento es prácticamente constante y proporcional a la fuerza normal

<center><math>|\vec{F}_{r2}| = \mu_2 |\vec{F}_{n2}| = \mu_2m_2g</math></center>

(suponemos que el coeficiente de rozamiento dinámico es igual al estático). Esta ecuación nos permite determinar las dos aceleraciones, ya que

<center><math>F-\mu_2m_2g = m_1 a_1\qquad \mu_2m_2g = m_2a_2\qquad\Rightarrow\qquad a_1 = \frac{F-\mu_2m_2g}{m_1}\qquad a_2 = \mu_2 g</math></center>

Podemos comprobar que las dos aceleraciones se igualan cuando la fuerza iguala a su valor crítico

<center><math>a_1 = a_2 \qquad \frac{F-\mu_2m_2g}{m_1}=\mu_2 g\qquad\Rightarrow\qquad F = \mu_2(m_1+m_2)g</math></center>

==Caso general==
Supongamos ahora que también hay rozamiento entre el bloque y la mesa. En este caso, las ecuaciones de movimiento horizontales se convierten en:

<center><math>F-F_{r1}-F_{r2} = m_1a_1\qquad\qquad F_{r2}=m_2a_2\qquad \qquad</math></center>

Pero a la vista de este sistema, vemos que es exactamente el mismo que el de la sección anterior si definimos una fuerza efectiva

<center><math>F_\mathrm{ef} = F-F_{r1}\,</math></center>

esto es que lo que cuenta no es el valor de la fuerza aplicada sino en cuánto supera a la fuerza de rozamiento.

Tenemos entonces los tres casos siguientes.

===Reposo===
Cuando la fuerza aplicada es muy pequeña, no es capaz de superar al rozamiento estático, que la iguala, y los bloques permanecen en reposo. Esto ocurre cuando

<center><math>F < F_{r1\mathrm{max}} = \mu_1 (m_1+m_2)g\qquad\Rightarrow\qquad a_1 = a_2 = 0</math></center>

===Movimiento solidario===
Cuando la fuerza sobrepasa este umbral ya se produce movimiento de los bloques. El rozamiento entre el bloque 1 y la mesa es dinámico y prácticamente independiente de la velocidad, lo que nos da la fuerza efectiva

<center><math>F_\mathrm{ef}=F-F_{r1}=F-\mu_1(m_1+m_2)g\,</math></center>

y las aceleraciones

<center><math>a_1=a_2 = \frac{F_\mathrm{ef}}{m_1+m_2} = \frac{F}{m_1+m_2}-\mu_1g</math></center>

===Movimiento separado===
El movimiento solidario se rompe cuando la fuerza efectiva supera su valor crítico

<center><math>F_\mathrm{ef} = F_c = \mu_2(m_1+m_2)g \qquad\Rightarrow\qquad F = (\mu_1+\mu_2)(m_1+m_2)g</math></center>

a partir de ese momento cada uno de los bloques tiene su propia aceleración

<center><math>a_2 = \mu_2 g\qquad a_1 = \frac{F-\mu_1(m_1+m_2)g-\mu_2m_2g}{m_1}</math></center>

==Casos prácticos==
Para los datos del enunciado tenemos que los pesos de las dos masas valen

<center><math>m_1 g = 29.4\,\mathrm{N}\qquad m_2g = 19.6\,\mathrm{N}</math></center>

y por tanto las dos fuerzas normales son iguales a

<center><math>F_{n2}=m_2g = 19.6\,\mathrm{N}\qquad F_{n1}=(m_1+m_2)g=49.0\,\mathrm{N}</math></center>

Esto nos da los dos valores máximos para las fuerzas de rozamiento

<center><math>F_{r1\mathrm{max}}=\mu_1F_{n1} = 14.7\,\mathrm{N}\qquad\qquad F_{r2\mathrm{max}}=\mu_2F_{n2}= 9.80\,\mathrm{N}</math></center>

Tenemos entonces las tres situaciones:

;Reposo: Si la fuerza aplicada es menor de 14.7 N el estado es de reposo. Este es el caso para una fuerza aplicada de 10 N (caso a)

;Movimiento solidario: Para

<center><math>14.71\,\mathrm{N}\leq F \leq (\mu_1+\mu_2)(m_1+m_2)g = 39.2\,\mathrm{N}</math></center>

:los dos bloques se mueven conjuntamente. Este es el caso (B), en el que la fuerza aplicada vale 20 N. Para esta fuerza aplicada, la fuerza efectiva vale

<center><math>F_\mathrm{ef}=(20.0-14.7)\,\mathrm{N}=5.29\,\mathrm{N}</math></center>

:lo que nos da las aceleraciones

<center><math>a_1 = a_2 = \frac{F_\mathrm{ef}}{m_1+m_2} = 1.06\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

:y las fuerzas de rozamiento

<center><math>F_{r1} = \mu_1(m_1+m_2)g = 14.7\,\mathrm{N}\qquad F_{r2}=m_2 a_2 = 2.12\,\mathrm{N}</math></center>

;Movimiento separado: Si

<center><math>F\geq (\mu_1+\mu_2)(m_1+m_2)g = 39.2\,\mathrm{N}</math></center>

:los bloques se separan. Este es el caso (c), correspondiente a una fuerza de 50 N. Las aceleraciones resultantes valen

<center><math>a_2 = \mu_2g = 4.90\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\qquad a_1 = \frac{F-\mu_1(m_1+m_2)-\mu_2m_2g}{m_1}=8.49\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Gráficamente tenemos un comportamiento como el de la figura.

<center>[[Archivo:aceleraciones-bloques.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-06-17T15:11:24Z

Anamaram: /* Velocidad y rapidez */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>
==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}_0|=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>

== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-06-17T15:10:41Z

Anamaram: /* Velocidad y rapidez */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>
==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}|_0=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>

== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-06-17T15:08:52Z

Anamaram: /* Velocidad y rapidez */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>
==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}|_0=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>

== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}\right_1|=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-06-17T15:07:58Z

Anamaram: /* Radio y centro de curvatura */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>
==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}|_0=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>

== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}\right|_1=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-06-17T15:06:04Z

Anamaram: /* Velocidad y rapidez */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>
==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}|_0=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}|_0^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>
== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}\right|_1=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Partícula unida a un sistema articulado

2019-06-17T15:04:01Z

Anamaram: /* Ecuaciones horarias */

==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>
==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}|_0=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}|_0}=-\vec{\jmath}</math></center>
===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}|_0^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>
== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}\right|_1=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Desigualdad de Clausius (GIE)

2019-04-30T10:51:52Z

Anamaram: /* Con el teorema de Carnot */

==Introducción==
Al introducir el Segundo Principio de la termodinámica, se formulan varios enunciados que, aunque poseen validez general, están expresados en términos de [[máquina térmica]]. Los más importantes de estos enunciados son:

;Enunciado de Kelvin-Planck: No puede construirse un dispositivo que, operando en un ciclo, tenga como único resultado la absorción de calor de un solo foco y la producción de una cantidad equivalente de trabajo.

;Enunciado de Clausius: Es imposible construir un dispositivo que, operando cíclicamente, tenga como único resultado el paso de calor de un foco frío a uno caliente.

;Teorema de Carnot: El rendimiento de una máquina térmica irreversible que funcione entre dos temperaturas es siempre menor que el de una máquina térmica reversible que funcione entre las mismas temperaturas.

Estos tres enunciados son bastante “concretos” en cuanto a que hablan de procesos y dispositivos fácilmente interpretables. No obstante, el segundo principio de la termodinámica puede enunciarse de formas más abstractas que, si bien requieren un mayor esfuerzo para su interpretación, ponen de manifiesto de forma más clara la validez universal de esta ley.

Uno de estos enunciados, que es el que se trata en este artículo es la

;Desigualdad de Clausius: Para todo proceso cíclico

<center><math>\oint \frac{\delta Q}{T}\leq 0 </math></center>

:cumpliéndose la desigualdad si el proceso es irreversible, y la igualdad si es reversible.

==El caso de dos focos térmicos==
Antes de enunciar de forma completa y rigurosa la desigualdad de Clausius, conviene presentar y analizar el caso más simple y importante de un sistema en contacto con solo dos focos de temperatura.

===Caso de una máquina térmica===
Supongamos un dispositivo que realiza un proceso cíclico, tomando calor de un foco caliente y cediéndolo a uno frío. Esto incluye el caso trivial en que no se realice trabajo alguno y se trate de un simple flujo de calor (incluso podría hacerse trabajo sobre el sistema).

De acuerdo con el teorema de Carnot el trabajo realizado en el proceso debe ser menor o igual que el que efectuaría una máquina reversible que operara ente las mismas temperaturas, por lo que

<center><math>W_\mathrm{out,neto} \leq \eta^\mathrm{rev}Q_\mathrm{in}=\left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}</math></center>

cumpliéndose la igualdad en el caso de que el ciclo sea reversible. Aplicando que el trabajo es la diferencia entre el calor que entra y el que sale, podemos escribir este resultado como una relación entre calores

<center><math>Q_\mathrm{in}-Q_\mathrm{out} \leq \left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)Q_\mathrm{in}\qquad\Rightarrow\qquad Q_\mathrm{out}\geq \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{in}</math></center>

Esta relación nos dice que el calor expulsado es mayor del que expulsaría un ciclo reversible. Podemos reescribir esta ecuación en la forma

<center><math>\frac{Q_\mathrm{out}}{T_F}\geq \frac{Q_\mathrm{in}}{T_C}</math></center>

En lugar de la distinción entre calor que entra y calor que sale, podemos asignar el criterio de que todo el calor entra (siendo negativo cuando en realidad sale) y etiquetar cada uno de los dos por el foco al que corresponde. En este caso escribiríamos la identidad anterior como

<center><math>-\frac{Q_F}{T_F}\geq \frac{Q_C}{T_C}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{Q_C}{T_C}+\frac{Q_F}{T_F}\leq 0</math></center>

Si simplemente etiquetamos los focos por 1 y 2, sin distinción de cual tiene más temperatura nos queda la relación simétrica

<center><math>\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}\leq 0</math></center>

===Caso de un refrigerador===
Podemos operar de forma análoga para el caso de un refrigerador. En este caso, el teorema de Carnot nos dice que el calor que extraemos es menor del que absorberíamos con un refrigerador reversible

<center><math>Q_\mathrm{in}\leq \mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} W_\mathrm{in} = \frac{T_F}{T_C-T_F}W_\mathrm{in}</math></center>

Expresando este resultado en términos solo de los calores

<center><math>Q_\mathrm{in} \leq \frac{T_F}{T_C-T_F}(Q_\mathrm{out}-Q_\mathrm{in})\qquad\Rightarrow\qquad Q_\mathrm{in}\leq \frac{T_F}{T_C}Q_\mathrm{out}</math></center>

Teniendo en cuenta que en este caso el calor entra en el foco frío y sale en el caliente

<center><math>Q_\mathrm{in}= Q_F\qquad\qquad Q_\mathrm{out} = -Q_C</math></center>

y nos queda

<center><math>Q_F\leq -\frac{T_F}{T_C}Q_C\qquad\Rightarrow\qquad \frac{Q_F}{T_F}+\frac{Q_C}{T_C}\leq 0</math></center>

y etiquetando de nuevo los focos sin distinción de cuál es el frío y cual el caliente

<center><math>\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} \leq 0</math></center>

que es exactamente la misma relación que para una máquina térmica.

Si se hace el cálculo correspondiente para una bomba de calor, de nuevo se llega a la misma fórmula.

Por tanto, concluimos que para cualquier dispositivo o proceso cíclico que funcione entre solo dos focos térmicos se verifica la desigualdad

<center><math>\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} \ \begin{cases} = 0 & \mbox{reversible} \\ < 0 & \mbox{irreversible}\end{cases}</math></center>

Esta sería la desigualdad de Clausius para dos focos térmicos, que más adelante generalizaremos.

===Equivalencia con los otros enunciados===
Si consideramos como punto de partida la desigualdad de Clausius para dos focos térmicos es sencillo llegar a otros resultados conocidos.

====Con el enunciado de Clausius====
Supongamos que tenemos calor que fluye de un foco a otro pasando por un sistema intermedio, para el cual

<center><math>Q_2 = -Q_1\,</math></center>

en este caso la desigualdad se reduce a

<center><math>Q_1\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) = \frac{Q_1(T_2-T_1)}{T_1T_2}\leq 0</math></center>

Si <math>Q_1>0</math> (el calor entra desde un foco a temperatura <math>T_1</math>) para que se cumpla desigualdad debe ser <math>T_2 < T_1</math>, es decir el calor debe ir del foco caliente al frío. Si fuera al contrario resultaría un valor positivo. Por tanto de la desigualdad de Clausius se deduce el enunciado de Clausius

<center>[[Archivo:Clausius-02.png]]</center>

====Con el enunciado de Kelvin-Planck====
El que se deduzca el enunciado de Clausius implica que también se deduce el enunciado de Kelvin-Planck, pero podemos demostrarlo directamente. Supongamos un sistema que intercambia calor con un solo foco térmico, de forma que

<center><math>Q_2 = 0\,</math></center>

Esto reduce la desigualdad de Clausius a

<center><math>\frac{Q_1}{T_1}\leq 0</math></center>

que implica que

<center><math>Q_1\leq 0</math></center>

es decir, que un sistema que intercambia calor con un solo foco, solo puede hacerlo transformando trabajo en calor (ya que el calor de salida es negativo), nunca al contrario. Este es el enunciado de Kelvin-Planck

<center>[[Archivo:Kelvin-planck-01.png]]</center>

====Con el teorema de Carnot====
Partiendo de la desigualdad de Clausius basta con seguir los pasos del primer apartado en sentido inverso para llegar al teorema de Carnot en todas sus variantes

<center><math>\eta \leq \eta^\mathrm{rev}=1-\frac{T_F}{T_C}\qquad\qquad\mathrm{COP}_R\leq \mathrm{COP}_R^\mathrm{rev} = \frac{T_F}{T_C-T_F}\qquad\qquad \mathrm{COP}_{BC}\leq \mathrm{COP}_{BC}^\mathrm{rev} = \frac{T_C}{T_C-T_F}</math></center>

==Caso de tres o más focos térmicos==
Consideremos ahora un caso más general de un dispositivo que absorbe calor en dos puntos del ciclo. Esto lo podemos modelar como una máquina en dos fases, absorbiéndose calor a una temperatura elevada y a una intermedia,

<center>[[Archivo:Clausius-tres-focos-01.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:Clausius-tres-focos-02.png]]</center>

de forma que

<center><math>Q_\mathrm{in1}=Q_C\qquad\qquad Q_\mathrm{in2}=Q_\mathrm{out1}+Q_M\qquad\qquad Q_\mathrm{out2}=-Q_F</math></center>

Del teorema de Carnot para la primera máquina se deduce que

<center><math>Q_\mathrm{out1}\geq \frac{T_M}{T_C}Q_C</math></center>

y para la segunda

<center><math>-Q_F = Q_\mathrm{out2} \geq \frac{T_F}{T_M}Q_\mathrm{in2}= \frac{T_F}{T_M}\left(Q_\mathrm{out1}+Q_M\right)</math></center>

Combinando las dos relaciones queda

<center><math>-Q_F\geq \frac{T_F}{T_C}\left(Q_\mathrm{out1}+Q_M\right) \geq \frac{T_F}{T_M}\left(\frac{T_M}{T_C}Q_C+Q_M\right)</math></center>

y reordenando términos

<center><math>\frac{Q_C}{T_C}+\frac{Q_M}{T_M}+\frac{Q_F}{T_F}\leq 0</math></center>

Si etiquetamos los focos sin distinción de cuál es más caliente o más frío

<center><math>\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}+\frac{Q_3}{T_3}\leq 0</math></center>

cumpliéndose la igualdad solo en el caso de que el conjunto de los dos ciclos sea reversible (lo cual se cumple solo si todos y cada uno de los pasos son reversibles).

Vemos que se trata de una generalización inmediata de la desigualdad para dos focos térmicos. El mismo resultado se obtiene si el calor intermedio en lugar de entrar sale del sistema.

El proceso puede generalizarse a todos los pasos intermedios que queramos y con entradas y salidas arbitrarias de calor. El resultado es

<center><math>\sum_i \frac{Q_i}{T_i}\leq 0</math></center>

==Desigualdad de Clausius==
El proceso anterior se puede generalizar a un número arbitrario de fuentes y de temperaturas. Cuando dividimos un ciclo en infinitos trozos muy pequeños, la suma se convierte en una integral y la cantidad de calor absorbida (o cedida) en cada paso se convierte en una cantidad diferencial. En este caso, la desigualdad se expresa

<center><math>\oint\frac{\delta Q}{T}\ \begin{cases}=0 & \mbox{reversible} \\ < 0 & \mbox{irreversible}\end{cases}</math></center>

donde el símbolo de la integral con un círculo representa el que el proceso es cíclico. El calor se considera en todos los pasos que va hacia adentro del sistema y es negativo si en realidad sale de él.

Este enunciado contiene todas las versiones anteriores, ya que si la temperatura es constante en un tramo, sale de la integral y el resultado se reduce a la expresión que ya conocemos.

La desigualdad de Clausius no nos dice cuanto vale la integral, en general. Solo nos informa de su signo. Pero al hacerlo nos proporciona un criterio para clasificar los posibles procesos:

:* Si la integral es '''negativa''': el proceso es '''irreversible'''.

:* Si la integral es '''nula''': el proceso es '''reversible'''.

:* Si la integral es '''positiva''': el proceso es '''imposible'''.

===Demostración del caso general===
[[Imagen:desigualdad-clausius.png|300px|right]]

Para demostrar la desigualdad de Clausius partiendo del enunciado de Kelvin-Planck debemos suponer un sistema que realiza un proceso cíclico. En un paso diferencial de dicho ciclo en el sistema entrará una cierta cantidad de calor <math>\delta Q</math> y sobre él se realizará un trabajo <math>\delta W</math>, de forma que, de acuerdo con el [[Primer principio de la termodinámica (GIE)|primer principio]] de la termodinámica

<center><math>\mathrm{d}E=\delta Q+\delta W\,</math></center>

Hay que señalar que esto no presupone que a lo largo de todo el ciclo <math>\delta Q</math> vaya a tener siempre el mismo signo. De hecho, en un ciclo real habrá pasos en que entrará calor (del o de los focos calientes), <math>\delta Q>0</math> y habrá pasos en que saldrá (hacia el o los focos fríos), <math>\delta Q<0</math>, por lo que el signo irá cambiando. Lo mismo ocurrirá con <math>\delta W</math>: en un motor real habrá partes del ciclo (la bomba, en una máquina de vapor) en que se realiza trabajo sobre el sistema, <math>\delta W>0</math>, y partes (la turbina) en que es el sistema el que realiza el trabajo, <math>\delta W<0</math>.

El calor que entra en el sistema lo hace desde el ambiente a una temperatura <math>T</math>. Esta temperatura no es la temperatura del sistema sino la del foco que cede el calor en ese momento, según se ha indicado anteriormente.

Para evitar tratar con una infinitud de baños térmicos (uno por cada temperatura por la que pasa el ciclo) podemos sustituir dichos baños por una sola máquina térmica reversible que trabaja entre una temperatura de referencia <math>T_R</math> y la temperatura <math>T</math> con que llega el calor al sistema. Es decir, nos imaginamos que el calor en lugar de entrar desde el ambiente a una temperatura variable, lo hace desde la máquina reversible, que va variando su temperatura de salida. Esta máquina reversible que opera a temperatura variable es por supuesto un ente ideal, pero no afecta a la desigualdad de Clausius y simplifica los cálculos.

Esta máquina reversible recibe un calor <math>\delta Q_R</math> desde el foco a temperatura <math>T_R</math>, y un trabajo <math>\delta W_R</math>, y entrega un calor <math>\delta Q</math> a la temperatura <math>T</math>. Por ser reversible su cumplirá

<center><math>\delta Q=T\frac{\delta Q_R}{T_R}</math></center>

Nótese que, puesto que <math>\delta Q</math> es el calor que ''entra en el sistema'', debemos contabilizarlo como un calor que ''sale de la máquina'' para que los signos sean coherentes.

Si consideramos el “sistema ampliado” formado por el sistema y la máquina reversible, se cumple, según el Primer Principio

<center><math>\delta Q_R + \delta W_T = \mathrm{d}E_T\,</math></center>

siendo

<center><math>\delta W_T = \delta W+\delta W_R\,</math></center>

el trabajo total realizado sobre el sistema ampliado, y análogamente para la energía total, para la cual <math>E_T</math> es la suma de la del sistema y de la máquina reversible. En este balance el único calor que entra es <math>\delta Q_R</math>, procedente del foco caliente, ya que <math>\delta Q</math> se transfiere internamente, no se intercambia con el exterior.

A lo largo de un ciclo tenemos

<center><math>\oint \delta Q_R+\oint \delta W_T = \oint \mathrm{d}E_T</math> {{tose}} <math>Q_R + W_T = 0\,</math></center>

ya que, por ser la energía interna una función de estado, su valor no cambia en un ciclo completo.

Ahora bien, el “sistema ampliado” intercambia calor con un solo foco a temperatura <math>T_R</math>. De acuerdo con el [[Segundo_principio_de_la_termodinámica_(GIE)#Enunciado_de_Kelvin-Planck|enunciado de Kelvin-Planck]] la única posibilidad es que entre trabajo y salga calor, y no a la inversa. Por tanto

<center><math>Q_R = -W_T \leq 0</math></center>

cumpliéndose la igualdad en el caso reversible y la desigualdad en el irreversible.

Por otro lado, de que la máquina térmica sea reversible se deduce

<center><math>\frac{\delta Q}{T}=\frac{\delta Q_R}{T_R}</math> {{tose}}<math>Q_R = \oint \delta Q_R = T_R\oint\frac{\delta Q}{T}</math></center>

y puesto que la temperatura del foco es una cantidad positiva (que no afecta al signo) se llega finalmente a que

<center><math>Q_R\leq 0</math>{{tose}}<math>\oint\frac{\delta Q}{T}\leq 0</math></center>

que es la desigualdad de Clausius.

[[Categoría:Segundo principio de la termodinámica (GIE)]]

Fuerza magnética sobre una espira inclinada

2019-03-25T12:10:57Z

Anamaram: /* Par */

==Enunciado==
Una espira cuadrada ABCD de lado 10 cm se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=10\vec{k}</math> (mT). Los vértices de la espira se encuentran en

<center><math>
\vec{r}_A=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad
\vec{r}_B=3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k}\qquad
\vec{r}_C=-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k}\qquad
\vec{r}_D=-3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+4\vec{k}
</math></center>

(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.

# Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
# Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley

<center><math>\vec{M}_O=\sum_i\vec{r}_i\times\vec{F}_i</math></center>
<ol start="3">
<li> Calcule el momento magnético de la espira y compruebe que</li>
</ol>
<center><math>\vec{M}_O = \vec{m}\times\vec{B}\qquad\qquad (\vec{m}=IS\vec{n})</math></center>

==Fuerzas==
La fuerza sobre un segmento rectilíneo por el cual circula una intensidad de corriente I, inmerso en un campo magnético uniforme vale

<center><math>\vec{F}_{AB} = I(\Delta \vec{r})\times\vec{B}\qquad\qquad \Delta\vec{r}=\overrightarrow{AB}=\vec{r}_B-\vec{r}_{A}</math></center>

que aplicado a cada caso nos da

;Lado AB:
<center><math>\vec{F}_{AB}=(0.2\,\mathrm{A})\left((3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k})-(3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}-4\vec{k})\right)\mathrm{cm}\times(10\vec{k})\,\mathrm{mT}=(0.2)(0.1\vec{\jmath})\times(0.01\vec{k})=0.20\,\vec{\imath}\,\mathrm{mN}</math></center>

;Lado BC:
<center><math>\vec{F}_{BC}=(0.2\,\mathrm{A})\left((-3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+4\vec{k})-(3\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-4\vec{k})\right)\mathrm{cm}\times(10\vec{k})\,\mathrm{mT}=(0.2)(-0.06\vec{\imath}+0.08\vec{k})\times(0.01\vec{k})=0.12\,\vec{\jmath}\,\mathrm{mN}</math></center>

;Lado CD:
<center><math>\vec{F}_{CD}=-0.20\,\vec{\imath}\,\mathrm{mN}</math></center>

;Lado DA:
<center><math>\vec{F}_{DA}=-0.12\,\vec{\jmath}\,\mathrm{mN}</math></center>

Siendo la fuerza total sobre la espira

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{BC}+\vec{F}_{CD}+\vec{F}_{DA}=\vec{0}</math></center>

<center>[[Archivo:fuerza-espira.png]]</center>

==Par==
El que la resultante de las fuerzas se anula no quiere decir que el campo magnético no ejerza fuerza alguna sobre la espira. Solo implica que su centro de masas no se acelera.

Al estar las fuerzas aplicadas sobre a lo largo de rectas paralelas, lo que sí se produce es un par de fuerzas. La fuerza sobre el lado superior de la espira y la fuerza sobre el lado inferior tienden a producir un giro de ésta alrededor del eje OX.

Para medir este efecto calculamos la resultante del momento de las fuerzas aplicadas

<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \vec{r}_i\times \vec{F}_i</math></center>

siendo el punto de aplicación de cada una el punto medio de cada lado. Calculamos este momento respecto al origen de coordenadas (que está en el centro de la espira), pero lo mismo resultaría si usáramos cualquier otro punto, por ser nula la fuerza resultante.

Así tenemos

;Lado AB:

<center><math>\vec{r}_{AB}=\frac{\vec{r}_A+\vec{r}_B}{2}=(3\vec{\imath}-4\vec{k})\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{r}_{AB}\times\vec{F}_{AB}=(0.03\vec{\imath}-0.04\vec{k})\times (2\times^{-4}\vec{\imath})\mathrm{N\cdot m}=-8\vec{\jmath}\,\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}</math></center>

;Lado BC:

<center><math>\vec{r}_{BC}=\frac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{2}=(5\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{r}_{BC}\times\vec{F}_{BC}=(0.05\vec{\jmath})\times (1.2\times 10^{-4})\mathrm{N\cdot m}=\vec{0}</math></center>

;Lado CD:

<center><math>\vec{r}_{CD}\times\vec{F}_{AB}=(-0.03\vec{\imath}+0.04\vec{k})\times (-2\times^{-4}\vec{\imath})\mathrm{N\cdot m}=-8\vec{\jmath}\,\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}</math></center>

;Lado DA:

<center><math>\vec{r}_{DA}\times\vec{F}_{DA}=(-0.05\vec{\jmath})\times (-1.2\times 10^{-4})\mathrm{N\cdot m}=\vec{0}</math></center>

Sumando las cuatro contribuciones queda

<center><math>\vec{M}_O = -16\vec{\jmath}\,\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}</math></center>

Este momento va en en el sentido negativo del eje OY, lo que quiere decir que la espira tiende a girar en torno a este eje en sentido horario (−).

El módulo del momento se puede calcular de forma mucho más sencilla como

<center><math>|\vec{M}_O|=|\vec{F}|d</math></center>

siendo <math>|\vec{F}|</math> la intensidad de una de las fuerzas que forma el par (en este caso, son las aplicadas sobre las barras superior e inferior) y <math>d</math> es la distancia entre sus rectas de aplicación (en este caso 8cm). Por tanto

<center><math>|\vec{M}_O| = (2\times 10^{-4}\mathrm{N})(0.08\,\mathrm{m})=16\,\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}</math></center>

==Momento magnético==
El momento de las fuerzas se puede hallar también a partir del momento magnético de la espira. Este se define, para una espira plana, como

<center><math>\vec{m}=IS\vec{n}=I\vec{S}</math></center>

Por tratarse de un paralelogramo, podemos hallar su vector superficie mediante un producto vectorial

<center><math>\vec{S}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(\vec{r}_B-\vec{r}_A)\times(\vec{r}_D-\vec{r}_A) = (10\vec{\jmath}) \times(-6\vec{\imath}+8\vec{k}) \mathrm{cm}^2=(80\vec{\imath}+60\vec{k})\mathrm{cm}^2</math></center>

siendo el momento magnético

<center><math>\vec{m}=I\vec{S}=(16\vec{\imath}+12\vec{k})\mathrm{A}\cdot\mathrm{cm}^2</math></center>

A partir de aquí hallamos el momento de las fuerzas como

<center><math>\vec{M}_O=\vec{m}\times\vec{B}=\left((16\vec{\imath}+12\vec{k})\times10^{-4}\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2\right)\times(0.01\vec{k})\mathrm{T}=-16\vec{\jmath}\,\mu\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}</math></center>

que coincide con el calculado anteriormente a partir de las fuerzas individuales.

[[Categoría:Problemas de campo magnético (GIE)]]

Campo magnético producido por dos hilos paralelos

2019-03-25T12:08:45Z

Anamaram: /* Campo de dos hilos */

==Enunciado==
Dos hilos paralelos se hallan situados paralelamente al eje Z, situados sobre <math>x = \pm a</math>, <math>y=0</math>. Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del plano <math>x=0</math>, y en todos los puntos del plano <math>y=0</math> en los dos casos siguientes:

# Por los hilos circulan corrientes paralelas <math>+I_0</math>.
# Por los hilos circulan corrientes antiparalelas <math>\pm I_0</math>.

Para el caso particular <math>a=2\,\mathrm{cm}</math> <math>I_0=0.1\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale el campo magnético en el origen
de coordenadas para los dos casos anteriores?

==En el eje OX (y=0)==
===Campo de un solo hilo===
El campo magnético creado por un hilo rectilíneo situado en el eje OZ y por el cual circula una corriente <math>I</math> tiene la expresión

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi</math></center>

donde ρ es la distancia al eje OZ. En función de las coordenadas cartesianas

<center><math>\rho = \sqrt{x^2+y^2}</math></center>

<math>\vec{u}_\varphi</math> es el vector unitario tangente a circunferencias alrededor de OZ que lo tienen como eje. Este vector depende de la posición, según la fórmula general vista al estudiar las coordenadas polares y cilíndricas

<center><math>\vec{u}_\varphi=-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:Campo-hilo-infinito.png]]</center>

Para particularizar este campo en los puntos del eje X, debemos distinguir si estamos en x > 0 o en x < 0.

;x > 0: En este caso la distancia al eje es la propia coordenada <math>x</math> mientras que vector para los puntos de OX no es itro que el unitario <math>\vec{\jmath}</math> (lo cual se puede comprobar haciendo <math>\varphi=0</math> en la expresión anterior). Por tanto, el campo en este semieje se puede escribir

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}\qquad\qquad (y=0,x>0)</math></center>

;x < 0: En el semieje negativo (<math>\varphi=\pi</math>) la distancia es |x| y el unitario es <math>-\vec{\jmath}</math> por lo que el campo vale

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi|x|}(-\vec{\jmath})</math></center>

:pero para valores negativos de x

<center><math>|x| = -x\qquad \Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi(-x)}(-\vec{\jmath})=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}\qquad\qquad (y=0,x < 0)</math></center>

Es decir, para todo el eje OX la expresión del campo magnético es

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi x}\vec{\jmath}</math></center>

Si el hilo de corriente no se encuentra en <math>x_0=0</math> sino sobre otro punto <math>x_0=a</math> tenemos que hacer una traslación cambiando <math>x</math> por <math>x-a</math> y queda

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi (x-a)}\vec{\jmath}</math></center>

===Campo de dos hilos===
Cuando tenemos dos hilos paralelos aplicamos el principio de superposición. Si uno está sobre <math>x_1=a</math> y el otro sobre <math>x_2=-a</math> la expresión del campo total será la suma de dos expresiones como la anterior, una con <math>x-a</math> y la otra con <math>x-(-a)=x+a</math>

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\frac{I_1}{x-a}+\frac{I_2}{x+a}\right)\vec{\jmath}</math></center>

;Corrientes paralelas: En el caso particular de corrientes paralelas

<center><math>I_1=I_2=I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}\right)\vec{\jmath}=\frac{\mu_0Ix}{\pi(x^2-a^2)}\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:suma-corrientes-paralelas.png]]</center>
:Este campo tiene la particularidad de que en <math>x=0</math> se anula. En ese punto la regla de la mano derecha implica que el campo de un hilo vaya en sentido opuesto al del otro y se cancelen.

<center>[[Archivo:Campo-hilos-paralelos-x.png]]</center>
;Corrientes antiparalelas: Si las corrientes van en sentidos opuestos

<center><math>I_1=I\qquad I_2=-I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)\vec{\jmath}=\frac{\mu_0Ia}{\pi(x^2-a^2)}\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:suma-corrientes-antiparalelas.png]]</center>
:En x=0 este campo no es nulo, ya que se suman los dos campos individuales, que van en el mismo sentido.

<center>[[Archivo:Campo-hilos-antiparalelos-x.png]]</center>

:En esta gráfica un valor positivo quiere decir que va en el sentido de <math>+\vec{\jmath}</math> y uno negativo que va en el de <math>-\vec{\jmath}</math>

==En el eje OY (x=0)==
===Campo de un hilo===
En el caso del eje OY necesitamos la expresión en cartesianas del campo de un hilo para cualquier punto del espacio. La razón de que haya que usar cartesianas es que posteriormente debemos aplicar superposición y ésta solo se hace de forma sencilla si empleamos la base en cartesianas.

Sustituyendo la expresión de <math>\vec{u}_\varphi</math> en el campo magnético de un hilo situado en OZ

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I(-\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\cos(\varphi)\vec{\jmath})}{2\pi\rho}</math></center>

Para pasar a las coordenadas cartesianas multiplicamos arriba y abajo por ρ

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I(-\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{\imath}+\rho\cos(\varphi)\vec{\jmath})}{2\pi\rho^2}</math></center>

pero

<center><math>x=\rho\cos(\varphi)\qquad\qquad y=\rho\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad\qquad \rho^2=x^2+y^2</math></center>

por lo que el campo se puede poner como

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-y\vec{\imath}+x\vec{\jmath}}{x^2+y^2}\right)</math></center>

Si el hilo no está sobre el eje OZ, sino sobre <math>x_0=a</math> hacemos la misma traslación que antes (lo cual solo es posible una vez que se ha pasado a cartesianas y aparecen x e y)

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-y\vec{\imath}+(x-a)\vec{\jmath}}{(x-a)^2+y^2}\right)</math></center>

===Campo de dos hilos===
Como antes, la expresión general la obtenemos sumando los campos de los dos hilos

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(I_1\left(\frac{-y\vec{\imath}+(x-a)\vec{\jmath}}{(x-a)^2+y^2}\right)+I_2\left(\frac{-y\vec{\imath}+(x+a)\vec{\jmath}}{(x+a)^2+y^2}\right)\right)</math></center>

que, sobre el eje Y (x=0) se reduce a

<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(I_1\left(\frac{-y\vec{\imath}-a\vec{\jmath}}{a^2+y^2}\right)+I_2\left(\frac{-y\vec{\imath}+a\vec{\jmath}}{a^2+y^2}\right)\right)=\frac{\mu_0(-y(I_1+I_2)\vec{\imath}+a(I_2-I_1)\vec{\jmath}}{2\pi(a^2+y^2)}</math></center>

;Corrientes paralelas: Si las dos corrientes van el mismo sentido, el campo se queda en

<center><math>I_1=I_2=I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=-\frac{\mu_0Iy\vec{\imath}}{\pi(a^2+y^2)}</math></center>

:Esta expresión se anula en y=0, tal como vimos antes.

<center>[[Archivo:Campo-hilos-paralelos-y.png]]</center>

;Corrientes antiparalelas: En ese caso

<center><math>I_1=I\qquad I_2=-I\qquad\Rightarrow\qquad \vec{B}=-\frac{\mu_0Ia\vec{\jmath}}{\pi(a^2+y^2)}</math></center>

Gráficamente, el primer caso tiene un máximo y un mínimo, con paso por 0 en el origen, y en el segundo tiene forma de campana.

<center>[[Archivo:Campo-hilos-antiparalelos-y.png]]</center>

Nótese que también la dirección de los campos cambia. En un caso es puramente en la dirección del eje X y en el otro en la de Y.
[[Categoría:Problemas de campo magnético (GIE)]]

Materiales magnéticos (GIE)

2019-03-25T10:45:26Z

Anamaram: /* Ciclo de histéresis */

==Introducción==
Los medios materiales influyen en los campos magnéticos por la presencia de dipolos magnéticos.

Existen dos formas de modelar un dipolo magnético.

;Modelo de Gilbert: Considera cada dipolo como formado por dos cargas magnéticas, conocidas como ''polo norte'' y ''polo sur'', respectivamente. El campo magnético de un dipolo sale por su polo norte y entra por el sur. Al acercar dos polos del mismo signo se repelen y dos de signo opuesto se atraen.
;Modelo de Ampère: Considera cada dipolo magnético como una pequeña espira de corriente, con un momento magnético dado por la regla de la mano derecha.

Ninguno de los dos modelos es “el correcto”. La mecánica cuántica describe las propiedades de los átomos y sus partículas y podemos imaginar que las cargas dan vueltas en torno al núcleo, con lo que se comportan como pequeñas espiras, siguiendo a Ampère, pero también las partículas elementales poseen un momento propio, no asociado a órbitas, como diría Gilbert.

En el modelo atómico de Bohr podemos imaginar cada electrón orbitando alrededor del núcleo. Esto equivaldría a una espira microscópica de corriente con un momento magnético orbital.

Además de este momento magnético orbital las partículas poseen un momento magnético intrínseco asociado a una propiedad fundamental de la materia conocida como espín.

<center>[[Archivo:dipolo-orbital.gif]]</center>

La combinación de estos dos efectos, unido al hecho de que los dipolos atómicos interactúan entre sí y con los campos aplicados provoca que éstos se vean afectados de diferentes formas por la presencia de materiales.

Como en el caso de los dipolos eléctricos, hay dos tipos de dipolos magnéticos en la materia:

;Permanentes: debidos a las propiedades cuánticas de las partículas y moléculas, y que existen incluso en ausencia de campo aplicado

;Inducidos: provocados por la acción del campo magnético sobre las cargas. Este campo, al hacer que las cargas sigan una órbita circular (o modificar una que ya tengan) lo que equivale a una corriente en una espira y por tanto a un momento magnético orbital.

Existe, no obstante, una diferencia esencial con el caso eléctrico.
*En el caso eléctrico los dipolos permanentes se orientan en el sentido del campo y los inducidos apuntan en el sentido del campo, por lo que sus esfuerzas se refuerzan.
* En el caso magnético, los dipolos permanentes se orientan en el sentido del campo aplicado, reforzando el efecto de éste. Sin embargo, los dipolos inducidos son opuestos al campo aplicado (basta examinar las órbitas circulares que produce) y reducen el campo de éste.
Por ello en un material se pueden dar todos los casos: aquellos que disminuyen (y en ocasiones anulan) el campo magnético y aquellos que lo refuerzan. Y entre estos los que lo hacen ligeramente y los que lo hacen intensamente.
La magnitud fundamental para caracterizar el comportamiento de un material es su magnetización o imanación, definida como su densidad de momento dipolar magnético

<center><math>\vec{M}=\frac{1}{\Delta v}\sum_{\vec{m}_i\in\Delta v}\vec{m}_i</math></center>

==Tipos de materiales magnéticos==
La magnetización de un material depende del campo magnético aplicado. Sin embargo, a diferencia de los dieléctricos, que responden todos de la misma forma (aunque en mayor o menor medida) a un campo eléctrico externo, los materiales responden de diferente manera a los campos magnéticos. Por ello, pueden clasificarse en distintos tipos:
;Diamagnéticos: Son materiales (Hg, Ag, Pb,…) en los que aparece una magnetización muy débil que va en sentido opuesto al campo magnético aplicado. Esto provoca que sean repelidos por los imanes (pero muy ligeramente)
;Paramagnéticos: Son materiales (Al, Au, Mg,…) que cuando se les aplica un campo magnético externo, aparece en ellos una magnetización muy débil en el mismo sentido del campo aplicado.
;Ferromagnéticos: Son materiales metálicos (Fe, Co, Ni,…) que pueden presentar una magnetización en ausencia de campo externo (imanes) y que responden a los campos externos con una elevada imanación adicional en el mismo sentido del campo aplicado.
;Ferrimagnéticos o ferritas: Son óxidos como la magnetita que presentan propiedades magnéticas similares a los ferromagnéticos, aunque al tratarse de óxidos presentan una conductividad eléctrica mucho menor que los ferromagnéticos, que son metales.

De estos cuatro tipos (a los que se pueden añadir algunos más, como los superconductores) son los ferro- y ferri-magnéticos los más importantes por la magnitud de su imanación. Estos materiales son de amplio uso en imanes permanentes, electroimanes, memorias magnéticas,…

==Ciclo de histéresis==
Una propiedad característica de los materiales ferromagnéticos es el ''ciclo de histéresis'', que mide como cambia la magnetización de un ferromagnético en función del campo aplicado. La peculiaridad de este comportamiento es que no basta conocer cuanto vale el campo aplicado, sino cómo se ha llegado hasta ahí, es decir, depende de la historia del proceso.

Supongamos un bloque de hierro. Cada átomo de hierro posee un momento magnético propio. Por las propiedades atómicas del hierro (explicables solo con mecánica cuántica), estos dipolos tienden a alinearse con sus vecinos. Por tanto, si tenemos un grupo de dipolos que están apuntando en el mismo sentido, estos alinearán a sus vecinos, que luego alinearán a los de más allá, etc.

Entonces, podemos preguntarnos, ¿por qué no es cualquier trozo de hierro un potente imán en el que todos sus dipolos apunten en la misma dirección y sentido? Dos causas lo impiden:

* La agitación térmica, que provoca que siempre haya dipolos que tienen energía suficiente para cambiar su orientación.
* Los defectos en la estructura del material. El bloque nunca será un cristal perfecto, sino que estará formado por diferentes cristales unidos de forma irregular.

Por ello, un material ferromagnético tiene sus átomos orientados en dominios, que son pequeños bloques de unos cuantos miles de átomos contiguos cuyos dipolos tienen la misma orientación.

Dado que, en general habrá tantos dominios apuntando en un sentido como en el opuesto, la magnetización, que es el promedio entre todos los dipolos de un elemento de volumen, será nula. Por ello, la mayoría de las muestras de hierro que vemos no están imanadas.

Supongamos ahora que aplicamos un campo magnético pequeño en una determinada dirección y sentido. Este campo tiende a alinear cada dipolo con él, por lo que se producen dos efectos simultáneos:

* Se produce una rotación de cada dominio, de forma que todos los dipolos que forman parte de él, se giran un poco, tendiendo a alinearse con el campo.
* Un efecto más importante es el desplazamiento de la frontera entre dominios. Esto se debe a que los átomos situados en esta frontera pueden alternar su orientación, ya que no hay ganancia neta por estar de un lado o de otro. Cuando se aplica el campo externo, se alinean con el resultado de que crece el dominio cuya orientación es la misma del campo aplicado y se reduce el dominio opuesto.

<center>[[Archivo:dominios-magneticos.gif]]</center>
La combinación de estos dos efectos provoca que haya una mayoría de dipolos en el sentido del campo aplicado y que aparezca una magnetización neta en este sentido.

Si el campo aplicado es débil, la magnetización será aproximadamente proporcional al campo aplicado y el campo debido a ella también lo será

<center><math>\vec{B}=\vec{B}_\mathrm{apl}+\vec{B}_M = \mu_r\vec{B}_\mathrm{apl}</math></center>

siendo <math>\mu_r</math> la ''permeabilidad relativa'' del material, una constante de proporcionalidad adimensional cuyo valor para el hierro puede estar en torno a 100 (depende de la pureza del material y de sus defectos), esto quiere decir que en presencia del hierro el campo magnético se multiplica por cien. Si el campo aplicado procede de una corriente eléctrica se dice entonces que tenemos un electroimán.

También se define la ''permeabilidad absoluta'' como

<center><math>\mu_r=\frac{\mu}{\mu_0}\qquad\Rightarrow\qquad \mu=\mu_r\mu_0</math></center>

Supongamos ahora que vamos aumentando la intensidad del campo aplicado. La magnetización irá aumentando también, a medida que más dipolos se vayan alineando con el campo externo. Sin embargo, existe un límite a la magnetización que podemos conseguir, ya que como máximo tendremos que todos los dipolos están alineados con el campo. Cuando la imanación está cerca de este límite se dice que tenemos ''saturación''. La gráfica de la magnetización tiende a una recta horizontal.

Supongamos ahora que mantenemos un campo magnético intenso durante un intervalo largo, de manera que al material le haya dado tiempo a imanarse hasta casi la saturación. Si ahora empezamos a reducir el campo aplicado, encontramos que el material no se desmagnetiza del todo, ya que los dipolos tienden a seguir alineados. Sí hay una desmagnetización, que será mayor cuanto más alta sea la temperatura, pero para bajas temperaturas podemos llegar a campo aplicado nulo, pero manteniendo imanación del material. Se dice entonces que tenemos una ''imanación remanente''. Este bloque de material magnetizado en ausencia de campo externo es lo que se denomina un ''imán''.

Para conseguir desmagnetizar por completo el imán es preciso aplicar un campo magnético en sentido opuesto. El campo (en módulo) necesario para desmagnetizar el imán, se denomina ''campo coercitivo''.

Si ahora seguimos aumentando el campo aplicado en sentido opuesto, el material comienza a imanarse en ese sentido, hasta alcanzar de nuevo la saturación (ahora en sentido contrario). Si ahora volvemos a reducir el campo aplicado lentamente llegamos a una nueva imanación remanente (opuesta a la anterior) y de nuevo a la saturación, cerrándose el ciclo. Al ciclo completo se lo denomina ''ciclo de histéresis''. Nótese que para conseguir el ciclo han de aplicarse campos muy intensos y variarlos lentamente. Si son débiles o se cambian rápidamente el material permanece en la zona en torno al origen de la gráfica, donde la imanación es proporcional al campo aplicado.

<center>[[Archivo:ciclo-histeresis.gif]]</center>

Un material ferromagnético se denomina ''blando'' cuando su campo coercitivo es pequeño. Esto quiere decir que es fácil desimanarlo y volverlo a imanar en sentido opuesto. Por ello, los materiales ferromagnéticos blandos se emplean en la fabricación de memorias magnéticas que pueden ser reescritas.

Inversamente, si el campo coercitivo es grande, quiere decir que es muy difícil desmagnetizar el material. Por ello, este tipo de materiales se emplea en la fabricación de imanes y de memorias magnéticas permanentes.

<center>[[Archivo:ferromagnetico-blando.gif]][[Archivo:ferromagnetico-duro.gif]]</center>
Tanto la imanación remanente como el campo coercitivo son funciones de la temperatura. Para todos los materiales existe una temperatura crítica (''temperatura de Curie'') por encima de la cual es imposible obtener imanación remanente. El material siempre se desmagnetiza cuando se retira el campo aplicado.

==Efecto de un núcleo ferromagnético==
Consideremos un solenoide cilíndrico largo arrollado alrededor de un núcleo de hierro u otro material ferromagnético. El campo magnético producido por el solenoide es, en su interior

<center><math>\vec{B}_\mathrm{apl}=\mu_0 n I\vec{k}</math></center>

La presencia del núcleo de hierro multiplica este campo por la permeabilidad relativa

<center><math>\vec{B}=\vec{B}_\mathrm{apl}+\vec{B}_M = \mu_r\vec{B}_\mathrm{apl}=\mu_e\mu_0nI\vec{k}=\mu n I\vec{k}</math></center>

es decir, el resultado neto es el campo de un solenoide por el cual pasara <math>\mu_r</math> veces más corriente. De esta forma, en lugar de obtener campos del orden del mT se consiguen campos del orden de 0.1T. Hemos construido un electroimán.

<center>[[Archivo:electroiman.png]]</center>
La imanación en este núcleo es proporcional al campo y por tanto también uniforme. Esto nos dice cómo es el campo de una barra imanada uniformemente: como el de un solenoide que la envuelve. Se dice que el material es equivalente a una distribución de corrientes de magnetización.

Los materiales ferromagnéticos producen un segundo efecto sobre los campos, además de reforzarlos. Los núcleos conducen las líneas de campo como los cables conducen la corriente, de forma que si tenemos un núcleo en forma de toroide de sección S y longitud <math>l_c</math>, el campo que hay en su interior, incluso si el solenoide no cubre todo el toroide, es aproximadamente

<center><math>|\vec{B}|=\frac{\mu N I}{l_c}</math></center>

<center>[[Archivo:nucleo-toroidal.jpg]]</center>

Esta capacidad de conducir los campos magnéticos es importante en los transformadores, ya que provoca que todo el campo magnético de una de las bobinas (el primario) atraviese la segunda bobina (el secundario).

[[Categoría:Campo magnético (GIE)]]

Conexiones de cuatro bombillas

2019-03-04T11:35:18Z

Anamaram: /* Enunciado */

==Enunciado==
Se dispone de cuatro bombillas, A, B, C, D. El etiquetado de estas bombillas indica que, para un voltaje de 120V, sus potencias nominales son respectivamente 30W, 60W, 120W y 40W. Se montan la cuatro bombillas en el siguiente esquema y se aplica entre los extremos una diferencia de potencial de 120V.

<center>[[Archivo:4bombillas.png]]</center>

# Calcule el consumo de cada bombilla (en vatios) para este montaje, así como el consumo total del montaje. ¿Cuál es la que da más luz? ¿Y la que menos?
# Suponga que se cierra el interruptor central. Una vez cerrado, ¿cuál es el nuevo consumo total y el individual? ¿Cuál es ahora la bombilla más brillante y la menos brillante?

==Resistencia de cada bombilla==
Este problema se reduce a calcular las potencias disipadas en una serie de resistencias. Para resolverlo, primero debemos calcular los valores de éstas, empleando las potencias nominales.

Cuando en un aparato eléctrico (una bombilla, una plancha, una estufa) sus especificaciones indican valores como 120V 40W, quiere decir que si aplica una diferencia de potencial de 120V entre sus terminales, la potencia que consume es de 40W. Puesto que la potencia consumida en una resistencia por efecto Joule verifica

<center><math>P = \frac{(\Delta V)^2}{R}</math></center>

obtenemos la resistencia de cada bombilla como

<center><math>R_i = \frac{(\Delta V_\mathrm{nom})^2}{P_\mathrm{nom}}</math></center>

esto nos da, para las cuatro0 bombillas
<center>
<math>\begin{array}{rcl}R_A & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{30\,\mathrm{W}}= 480\,\Omega\\ && \\
R_B & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{60\,\mathrm{W}}= 240\,\Omega\\ && \\
R_C & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{120\,\mathrm{W}}= 120\,\Omega\\ && \\
R_D & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{40\,\mathrm{W}}= 360\,\Omega \end{array}</math></center>

A partir de aquí podemos olvidarnos de las potencias nominales y trabajar exclusivamente con las resistencias.

==Antes de cerrar el interruptor==
Inicialmente tenemos un circuito formado por dos ramas en paralelo, cada una de las cuales consta de dos resistencias puestas en serie.

Al estar en paralelo, la diferencia de potencial en la rama superior es la misma que en la inferior e igual a la aplicada por la fuente, que es de 120V. Para cada una de las ramas se aplica lo que se demuestra en otro [[Asociación_de_dos_bombillas_en_serie|problema]].

Considerando primero la rama superior tenemos dos resistencias en serie, por las cuales circula la misma intensidad de corriente. La potencia disipada en cada una es

<center><math>P_A = I_1^2 R_A\qquad\qquad P_B = I_1^2 R_B</math></center>

siendo la corriente que circula por esta rama

<center><math>I_1 = \frac{\Delta V}{R_A+R_B} = \frac{120\,\mathrm{V}}{(480+240)\,\Omega}=\frac{1}{6}\,\mathrm{A}=0.167\,\mathrm{A}</math></center>

con lo que obtenemos las potencias

<center><math>P_A = \left(\frac{1}{6}\mathrm{A}\right)^2\times 480\,\Omega = \frac{40}{3}\,\mathrm{W}=13.3\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_B = \left(\frac{1}{6}\mathrm{A}\right)^2\times 240\,\Omega=\frac{20}{3}\mathrm{W}=6.67\,\mathrm{W}</math></center>

Para la rama inferior se opera igualmente. La intensidad de corriente por esta rama es

<center><math>I_2 = \frac{\Delta V}{R_C+R_D} = \frac{120\,\mathrm{V}}{(120+360)\,\Omega}=\frac{1}{4}\mathrm{A}</math></center>

y la potencia disipada en cada resistencia

<center><math>P_C = I_2^2R_C = \frac{15}{2}\,\mathrm{W}=7.5\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_D = I_2^2 R_D = \frac{45}{2}\,\mathrm{W}=22.5\,\mathrm{W}</math></center>

Si ordenamos las potencias de mayor a menor, nos queda

<center><math>\begin{array}{ccccccc}
22.5\,\mathrm{W} & > & 13.3\,\mathrm{W} & > & 6.67\,\mathrm{W} & > & 7.5\,\mathrm{W}\\
P_D & > & P_A & > & P_C & > & P_B
\end{array}</math></center>

Dado que la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, la bombilla más luminosa será la D (40W) y la menos la B (60W). Vemos que ni una ni la otra son la que tiene la mayor ni la menor potencia nominal.

<center>[[Archivo:4bombillas-01.png]]</center>

La potencia total disipada en las cuatro bombillas es

<center><math>P=P_A+ P_B + P_C + P_D = \left(\frac{40}{3}+\frac{20}{3}+\frac{15}{2}+\frac{45}{2}\right)\mathrm{W}= 50\,\mathrm{W}</math></center>

==Después de cerrar el interruptor==
Una vez que se cierra el interruptor, cambia la topología del circuito. Ahora, como en otro [[Sistema_de_cuatro_condensadores|problema]], el sistema pasa a estar formado por
una asociación en serie de dos tramos, cada uno de los cuales se compone de dos resistencias en paralelo.

Ahora pasa la misma corriente por cada tramo, siendo el valor de esta intensidad

<center><math>I' = \frac{\Delta V}{R_\mathrm{eq}}</math></center>

la resistencia equivalente la calculamos a partir de asociaciones en serie y en paralelo. Para el primer tramo

<center><math>\frac{1}{R_{AC}}=\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_C}=\frac{1}{480\,\omega}+\frac{1}{120\,\Omega} = \frac{1}{96\,\Omega}\qquad\Rightarrow\qquad R_{AC}=96\,\Omega</math></center>

y para el segundo tramo

<center><math>\frac{1}{R_{BD}}=\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_D}=\frac{1}{240\,\omega}+\frac{1}{360\,\Omega} = \frac{1}{244\,\Omega}\qquad\Rightarrow\qquad R_{AC}=144\,\Omega</math></center>

La resistencia equivalente a toda la asociación

<center><math>R_\mathrm{eq}=96\,\Omega+144\,\Omega = 240\,\Omega</math></center>

y la corriente que circula por el conjunto

<center><math>I' = \frac{120\,\mathrm{V}}{240\,\Omega}=\frac{1}{2}\,\mathrm{A}=0.5\,\mathrm{A}</math></center>

De aquí obtenemos la caída de tensión en cada tramo

<center><math>\Delta V_1 = I'R_{AC}= 48\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_2 = I'R_{BD}=72\,\mathrm{V}</math></center>

y ya podemos calcular potencia consumida en cada bombilla

<center>
<math>\begin{array}{rcl}P_A & = & \displaystyle\frac{48^2 \mathrm{V}^2}{480\,\Omega} = \frac{24}{5}\,\mathrm{W}=4.8\,\mathrm{W}\\ && \\
R_B & = & \displaystyle \displaystyle\frac{72^2 \mathrm{V}^2}{240\,\Omega} = \frac{108}{5}\,\mathrm{W}=21.6\,\mathrm{W}\\ && \\
R_C & = & \displaystyle \displaystyle\frac{48^2 \mathrm{V}^2}{120\,\Omega} = \frac{96}{5}\,\mathrm{W}=19.2\,\mathrm{W}\\ && \\
R_D & = & \displaystyle \displaystyle\frac{48^2 \mathrm{V}^2}{480\,\Omega} = \frac{24}{5}\,\mathrm{W}=14.4\,\mathrm{W} \end{array}</math></center>

Ordenando de nuevo de mayor a menor

<center><math>\begin{array}{ccccccc}
21.6\,\mathrm{W} & > & 19.2\,\mathrm{W} & > & 14.4\,\mathrm{W} & > & 4.8\,\mathrm{W}\\
P_B & > & P_C & > & P_D & > & P_A
\end{array}</math></center>

Ahora la más brillante es la B (60W) y la menos la A (30W).

<center>[[Archivo:4bombillas-02.png]]</center>

La potencia total disipada es en este caso

<center><math>P = \left(4.8+21.6+19.2+14.4\right)\mathrm{W} = 60\,\mathrm{W}</math></center>

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica (GIE)]]

Preguntas de test de corriente eléctrica (GIE)

2019-03-04T11:23:30Z

Anamaram: /* Solución */

==Flujo a través de una superficie cerrada==
Indique en cuál de los cuatro casos siguientes, la superficie <math>S</math> delimitada por la línea discontinua encierra una carga que está aumentando. Las flechas representan el sentido de la densidad de corriente.

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:flujo-cuadrado-a.png|300px]]
| [[Archivo:flujo-cuadrado-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:flujo-cuadrado-c.png|300px]]
| [[Archivo:flujo-cuadrado-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|-
|}
===Solución===
La respuesta correcta es la '''C'''.

La ley de conservación de la carga establece que

<center><math>\frac{\mathrm{d}Q_\mathrm{int}}{\mathrm{d}t}=-\oint\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

es decir, lo que aumenta la carga contenida en un volumen es igual a lo que fluye hacia el interior por la frontera de éste.

Examinando las cuatro figuras, vemos que en la figura C hay mayoría de líneas de corriente hacia el interior (3 caras a 1), cosa que no ocurre en el resto. Por tanto, es en ese caso en el que está aumentando la carga.

==Conexión de dos hilos==
Se tienen dos hilos de 1 mm de diámetro y 1 m de longitud, uno de ellos de cobre (<math>\sigma=5.9\times 10^9\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>) y el otro de aluminio (<math>\sigma=3.5\times 10^9\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>)

===Pregunta 1===
Si los dos hilos se conectan en paralelo y se aplica una diferencia de potencial a la asociación, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

:*'''A''' La densidad de corriente es mayor en el cobre.
:*'''B''' La densidad de corriente es mayor en el aluminio.
:*'''C''' El campo eléctrico es mayor en el cobre.
:*'''D''' La intensidad de corriente es la misma en los dos materiales.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''A'''.

Si están en paralelo, la diferencia de potencial entre los extremos es la misma para ambos

<center><math>\Delta V_1 =\Delta V_2\,</math></center>

y si tienen la misma longitud también lo será el campo eléctrico (que es aproximadamente uniforme)

<center><math>E_1=\frac{\Delta V_1}{l}=\frac{\Delta V_2}{l}=E_2</math></center>

La densidad de corriente, en cambio es diferente

<center><math>J_1=\sigma_1 E_1\qquad\qquad J_2=\sigma_2 E_2</math></center>

siendo la proporción entre ellas

<center><math>\frac{J_2}{J_1}=\frac{\sigma_2}{\sigma_1}</math></center>

Por tanto la densidad de corriente es mayor donde la conductividad sea mayor, esto es, en el cobre.

===Pregunta 2===
Si los dos hilos se conectan en serie y se aplica una diferencia de potencial a la asociación, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

:*'''A''' La densidad de corriente es mayor en el aluminio.
:*'''B''' El campo eléctrico es mayor en el cobre.
:*'''C''' La densidad de corriente es mayor en el cobre.
:*'''D''' La intensidad de corriente es la misma en los dos materiales.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''D'''.

Si están en serie, la cosa cambia. Ahora, lo que es igual en los dos cables es la intensidad de corriente que circula por ellos

<center><math>I_1=I_2\,</math></center>

Con esto ya tenemos que la afirmación D es la correcta.

Para ver que el resto son falsas tenemos que, al ser de la misma sección, también coincide la densidad de corriente

<center><math>J_1=\frac{I_1}{S}=\frac{I_2}{S}=J_2</math></center>

lo cual anula las respuestas A y C.

El campo eléctrico el que difiere entre los dos materiales

<center><math>E_1=\frac{J_1}{\sigma_1}\qquad\qquad E_2=\frac{J_2}{\sigma_2}</math></center>

siendo su proporción

<center><math>\frac{E_2}{E_1}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}</math></center>

Esto implica que cuanto mayor es la conductividad menor es el campo. Por tanto en el cobre el campo es más débil, no más intenso.

==Sistema de tres resistencias==
Dado el sistema de tres resistencias de la figura,

<center>[[Archivo:tres-resistencias.png]]</center>

¿cuánto vale la resistencia equivalente entre A y B?

:*'''A''' 9 Ω.
:*'''B''' 18 Ω.
:*'''C''' 2 Ω.
:*'''D''' 4 Ω.
===Solución===
La respuesta correcta es la '''D'''.

Tenemos una asociación en paralelo de la resistencia de abajo con la asociación en serie de las dos de arriba.

La resistencia de la asociación en serie vale

<center><math>R_{12}=R_1+R_2=6\,\Omega+6\,\Omega = 12\,\Omega</math></center>

y para la asociación en paralelo se cumple

<center><math>\frac{1}{R_{123}}=\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_3}=\frac{1}{12}\,\mathrm{S}+\frac{1}{6}\mathrm{S}=\frac{1}{4}\mathrm{S}\qquad\Rightarrow\qquad R_{123}=4\,\Omega</math></center>

==Circuito con tres resistencias==
Se tiene el circuito de la figura.

<center>[[Archivo:circ-tres-res.png|300px]]</center>

En un momento dado, se abre el
interruptor. Después de ese momento, ¿qué podemos decir de las corrientes que circulan por las resistencias 1 y 2?

:*'''A''' Las dos disminuyen.
:*'''B''' La que pasa por la 1 se queda igual y la de la 2 aumenta.
:*'''C''' La que pasa por la 1 disminuye y la de la 2 aumenta.
:*'''D''' Las dos aumentan.
===Solución===
La respuesta correcta es la '''C'''.

Antes de abrir el interruptor, la resistencia equivalente al conjunto es

<center><math>R_{\mathrm{eq}i}=2\,\Omega + \left(\frac{1}{3\,\Omega}+\frac{1}{6\,\Omega}\right)^{-1}=4\,\Omega</math></center>

por lo que la corriente que circula por la resistencia 1 era

<center><math>I_{1i}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{4\,\Omega}=6\,\mathrm{mA}</math></center>

Esta corriente se repartía entre las dos ramas, en forma inversamente proporcional a la resistencia de cada una

<center><math>I_{2i}=2\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_{3i}=4\,\mathrm{mA}</math></center>

Cuando se abre el interruptor deja de pasar corriente por <math>R_3</math>, por lo que la nueva resistencia equivalente es

<center><math>R_{\mathrm{eq}f}=2\,\Omega + 6\,\Omega=8\,\Omega</math></center>

siendo la nueva corriente por la resistencia 1

<center><math>I_{1f}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{8\,\Omega}=3\,\mathrm{mA}</math></center>

Vemos que ha disminuido como consecuencia de que ha aumentado la resistencia del circuito.

Esta misma corriente pasa por la resistencia 2, ya que ahora no se bifurca.

<center><math>I_{2f}=3\,\mathrm{mA}</math></center>

Por tanto, la corriente que va por la resistencia 1 disminuye y por la 2 aumenta.

==Fuente real conectada a dos resistencias==
Una fuente de tensión con una f.e.m. de 9.0 V y 1 Ω de resistencia interna se conecta a una asociación en paralelo de dos resistencias de 3 Ω y 6 Ω.

===Pregunta 1===
¿Cuánto vale la d.d.p. entre los polos de la fuente de tensión?

:*'''A''' 8.1 V
:*'''B''' 6.0 V
:*'''C''' No hay información suficiente para saberlo.
:*'''D''' 9.0 V
====Solución====
La respuesta correcta es la '''B'''.

La d.d.p. entre los polos de la fuente es igual a

<center><math>V_P-V_N=\mathcal{E}-Ir\,</math></center>

por lo que debemos calcular la corriente que circula por el circuito. Esta d.d.p. cumple también la ley de Ohm

<center><math>V_P-V_N=IR_{12}\,</math></center>

siendo <math>R_{12}</math> la resistencia correspondiente a la asociación en paralelo

<center><math>R_{12}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=2\,\Omega</math></center>

Igualando las dos d.d.p. y despejando

<center><math>\mathcal{E}-Ir=IR_{12}\qquad\Rightarrow\qquad I=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}</math></center>

lo que nos da la corriente

<center><math>I=\frac{9.0\,\mathrm{V}}{2\,\Omega+1\,\Omega}=3\,\mathrm{A}</math></center>

y por tanto la d.d.p. entre los bornes de la fuente vale

<center><math>V_P-V_N=\mathcal{E}-Ir=9\,\mathrm{V}-3\,\mathrm{A}\times 1\,\Omega = 6\,\mathrm{V}</math></center>

===Pregunta 2===
¿Cuánta potencia se disipa en la asociación en paralelo?

:*'''A''' 7.3 W
:*'''B''' 9 W
:*'''C''' 81 W
:*'''D''' 18 W
====Solución====
La respuesta correcta es la '''D'''.

La potencia disipada en la resistencia, de acuerdo con la ley de Joule, vale

<center><math>P=I^2R_{12} = (3\,\mathrm{A})^2(2\,\Omega)=18\,\mathrm{W}</math></center>

==Tres resistencias==
Se tiene la asociación de tres resistencias mostrada en la figura

<center>[[Archivo:tres-resistencias-02.png]]</center>

===Pregunta 1===
Si por la resistencia <math>R_1</math> circula una corriente <math>I_1= 300\,\mathrm{mA}</math>, ¿cuánto valen las corrientes por las otras dos?

:*'''A''' No hay información suficiente para determinarlas.
:*'''B''' <math>I_2=100\,\mathrm{mA}</math>, <math>I_3=200\,\mathrm{mA}</math>
:*'''C''' <math>I_2=200\,\mathrm{mA}</math>, <math>I_3=100\,\mathrm{mA}</math>
:*'''D''' <math>I_2=I_3 = 150\,\mathrm{mA}</math>
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

La corriente que llega a la asociación en paralelo se separa en dos

<center><math>I=I_2+I_3\,</math></center>

Por estar en paralelo la d.d.p. es la misma en las dos resistencias

<center><math>I_2R_2=I_3R_3\,</math></center>

esto nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con solución

<center><math>I_2=\frac{IR_3}{R_2+R_3}\qquad\qquad I_3=\frac{IR_2}{R_2+R_3}</math></center>

que para este caso da

<center><math>I_2=\frac{300\,\mathrm{mA} \times 6\,\Omega}{9\,\Omega}=200\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_3=\frac{300\,\mathrm{mA}\times 3\,\Omega}{9\,\Omega}=100\,\mathrm{mA}</math></center>

En general, en una asociación en paralelo, tenemos que la mayor parte de la corriente se va por el camino de menor resistencia, que en este caso es suficiente para determinar la respuesta correcta.
===Pregunta 2===
Si la diferencia de potencial entre los extremos de <math>R_1</math> es de 30 V, ¿cuánto valen las diferencias de potencial entre los extremos de las otras dos resistencias?

:*'''A''' <math>\Delta V_2 = 20\,\mathrm{V}</math>, <math>\Delta V_3 = 10\,\mathrm{V}</math>
:*'''B''' <math>\Delta V_2 = 90\,\mathrm{V}</math>, <math>\Delta V_3 = 180\,\mathrm{V}</math>
:*'''C''' No hay información suficiente para determinarlas.
:*'''D''' <math>\Delta V_2 = 60\,\mathrm{V}</math>, <math>\Delta V_3 = 60\,\mathrm{V}</math>
====Solución====
La respuesta correcta es la '''D'''.

Si están en paralelo, la diferencia de potencial es la misma en las dos resistencias, por lo que la respuesta correcta es la D, o en todo caso la C, si la información no fuera suficiente.

Veamos que sí se puede determinar la d.d.p. Al conocer su valor para la primera resistencia, podemos calcular la corriente que circula por ella

<center><math>I=\frac{\Delta V_1}{R_1}=\frac{30\,\mathrm{V}}{1\,\Omega}=30\,\mathrm{A}</math></center>

y ahora, como en la pregunta anterior, podemos hallar la corriente por cada una de las resistencias en paralelo

<center><math>I_2=20\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_3=10\,\mathrm{A}</math></center>

siendo la d.d.p. en cada una

<center><math>\Delta V_2=I_2R_2=I_3R_3=20\,\mathrm{A}\times 3\,\Omega = 60\,V</math></center>

==Fusible==
Un fusible es un fino hilo de plomo (<math>\sigma =4.55\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m}</math>) de 1 cm de largo y 0.2 mm de diámetro. Si el hilo se funde cuando la potencia disipada en él es de 25 mW, ¿Cuál es, aproximadamente, la máxima corriente que puede circular por este hilo?

:*'''A''' 2.25 A
:*'''B''' 0.6 A
:*'''C''' 5.1 A
:*'''D''' 62 mA
===Solución===
La respuesta correcta es la '''B'''.

La potencia disipada en la espira la da la ley de Joule

<center><math>P = I^2R\,</math></center>

de donde la corriente máxima es igual a

<center><math>I = \sqrt{\frac{P}{R}}</math></center>

Aquí la resistencia es la de un hilo

<center><math>R = \frac{l}{\sigma S}=\frac{0.01}{(4.55\times 10^6)(\pi 0.0001^2)}\,\Omega = 0.07\,\Omega</math></center>

Por tanto

<center><math>I = \sqrt{\frac{0.025}{0.07}}\,\mathrm{A}=0.6\,\mathrm{A}</math></center>
==Fuente real conectada a R y C==
Se construye un circuito formado por una fuente de tensión real de f.e.m. 9.0 V y resistencia interna 1.5 Ω conectada a la asociación en paralelo de una resistencia de 3.0 Ω y un condensador ideal de 100 nF

<center>[[Archivo:circuito-fuente-real.png]]</center>

===Pregunta 1===
¿Qué potencia se disipa en la resistencia externa?

:*'''A''' 243.0 W
:*'''B''' 12.0 W
:*'''C''' 18.0 W
:*'''D''' 27.0 W
====Solución====
La respuesta correcta es la '''B'''.

En corriente continua, por el condensador no circula corriente, por lo que para calcular la corriente que recorre el circuito basta considerar la resistencia interna y la externa

<center><math>I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=\frac{9.0\,\mathrm{V}}{3.0\,\Omega + 1.5\,\Omega}=2.0\,\mathrm{A}</math></center>

Por tanto la potencia disipada en la resistencia es

<center><math>P=I^2R = (2.0\,\mathrm{A})^2(3.0\,\Omega)=12.0\,\mathrm{W}</math></center>
===Pregunta 2===
¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

:*'''A''' Ninguna, ya que está cortocircuitado.
:*'''B''' 8.10 μJ.
:*'''C''' 1.80 μJ.
:*'''D''' 3.60 μJ.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

La energía almacenada en el condensador es

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(\Delta V)^2</math></center>

siendo la d.d.p. la misma que en la resistencia externa

<center><math>\Delta V = I R = (2.0\,\mathrm{A})(3.0\,\Omega)=6.0\,\mathrm{V}</math></center>

lo que da la energía

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(10^{-7}\mathrm{F})(6.0\,\mathrm{V})^2 = 1.80\,\mu\mathrm{J}</math></center>

===Pregunta 3===
Si en este circuito se abre bruscamente un interruptor, desconectando la fuente, ¿qué ocurre?

:*'''A''' Fluye una corriente por el condensador, hasta que éste se descarga.
:*'''B''' Deja inmediatamente de circular corriente por el circuito.
:*'''C''' Fluye una corriente por la resistencia externa, hasta que se descarga el condensador.
:*'''D''' Continúa fluyendo una corriente por el interior de la fuente.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

Cuando se desconecta el circuito el generador deja de aportar corriente, pero inicialmente sigue existiendo una d.d.p. entre las placas del condensador (que está cargado) y por tanto una corriente por la resistencia externa.

la potencia disipada por esta corriente procede de la energía almacenada en el condensador, por lo que cuando este se descarga por completo deja de almacenar energía, ya no hay diferencia de potencial y desaparece la corriente por la resistencia.

==Circuito real==
Un circuito real está formado por una pila, que se conecta por
sendos cables a las placas de un condensador real, en cuyo interior hay un
dieléctrico con permitividad y conductividad no nulas.

<center>[[Archivo:circuito-real-fuente.png]]</center>

¿Cómo es el circuito equivalente de este sistema?

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:circuito-equivalente-a.png|300px]]
| [[Archivo:circuito-equivalente-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:circuito-equivalente-c.png|300px]]
| [[Archivo:circuito-equivalente-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|-
|}
===Solución===
La respuesta correcta es la '''B'''.

==Dos esferas alejadas==
Se tienen un sistema de dos esferas conductoras (“1” y “2”) muy alejadas entre sí, de radios <math>r_1=2\,\mathrm{cm}</math>, y <math>r_2=6\,\mathrm{cm}</math>, respectivamente, que pueden unirse por un hilo conductor de 100 Ω. No hay más cargas ni conductores en el sistema. Inicialmente la esfera 1 almacena una carga de 20 nC y la esfera 2 una carga de 40 nC.

===Pregunta 1===
Una vez que se conectan por el hilo…

:*'''A''' no fluye corriente alguna por el hilo.
:*'''B''' no hay información suficiente para saber hacia dónde va la corriente.
:*'''C''' fluye una intensidad de corriente que va de la esfera 1 a la 2.
:*'''D''' fluye una intensidad de corriente que va de la esfera 2 a la 1.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

La corriente eléctrica fluye de mayor a menor potencial. Por tanto, se trata de hallar el potencial al que se encuentra cada esfera y ver cuál es mayor.

Al estar las dos esferas alejadas, podemos considerar que cada una no influye en la otra. En ese caso, el potencial al que se encuentra cada una es el mismo que para una esfera aislada:

<center><math>V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{a}</math></center>

Para la primera esfera

<center><math>V_1 = 9\times 10^9 \times \frac{20\times 10^{-9}}{2\times 10^{-2}}\,\mathrm{V} = 9\,\mathrm{kV}</math></center>

y para la segunda

<center><math>V_2 = 9\times 10^9 \times \frac{40\times 10^{-9}}{6\times 10^{-2}}\,\mathrm{V} = 6\,\mathrm{kV}</math></center>

Vemos que, aunque tiene menos carga, el potencial de la primera esfera es más alto (por ser mucho más pequeña), por tanto, la corriente fluye de la esfera 1 a la 2, hasta que se igualen los potenciales.

===Pregunta 2===
Entre el estado inicial y el estado de equilibrio final, ¿cuánta energía se ha disipado en el hilo conductor?

:*'''A''' 7.5 μJ
:*'''B''' 210 μJ
:*'''C''' 15 μJ
:*'''D''' 202.5 μJ
====Solución====
La respuesta correcta es la '''A'''.

La energía total disipada en la resistencia es igual a la diferencia entre la que había almacenada al principio y la que queda almacenada al final.

La energía inicial almacenada en el sistema es

<center><math>U_\mathrm{ei}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2=\left(\frac{1}{2}2\times 10^{-8}\times 9\times 10^3 + \frac{1}{2}4\times 10^{-8}\times 6\times 10^3\right)\mathrm{J}=210\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Para hallar la energia final necesitamos saber cómo quedan distribuidas las cargas y potenciales en ese estado.

Tenemos que la carga total se conserva en todo instante, por lo que

<center><math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_{1i}+Q_{2i}=60\,\mathrm{nC}</math></center>

El estado de equilibrio se alcanza cuando se igualan los potenciales, lo que implica que

<center><math>\frac{Q_{1f}}{4\pi\varepsilon_0 r_1}=\frac{Q_{2f}}{4\pi\varepsilon_0 r_2}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{Q_{1f}}{2}=\frac{Q_{2f}}{6} \qquad\Rightarrow\qquad 3Q_{1f}=Q_{2f}</math></center>

Ya tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con solución

<center><math>Q_{1f}=15\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_{2f}=45\,\mathrm{nC}</math></center>

y el potencial final de ambas esferas es

<center><math>V_{1f}=V_{2f}=\frac{Q_{1f}}{4\pi\varepsilon_0 r_1}=6.75\,\mathrm{kV}</math></center>

Por tanto, la energía almacenada en el estado final es

<center><math>U_\mathrm{ef}=\frac{1}{2}Q_{1f}V_{1f}+\frac{1}{2}Q_{2f}V_{2f}=\left(\frac{1}{2}1.5\times 10^{-8}\times 6.75\times 10^3 + \frac{1}{2}4.5\times 10^{-8}\times 6.75\times 10^3\right)\mathrm{J}=202.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Por tanto, la energía disipada en la resistencia es

<center><math>W_d=U_{ei}-U_{ef}=7.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Nótese que el valor de la resistencia del cable es irrelevante.

De hecho, estas dos preguntas podrían haberse resuelto con los conocimientos del tema de electrostática en el vacío (salvo en el concepto de energía disipada en una resistencia).

==Circuito con condensador y resistencias==
Dado el circuito de la figura,

<center>[[Archivo:circuito-3rc.png]]</center>

===Pregunta 1===
¿cuánto vale la corriente eléctrica que sale del generador?

:*'''A''' 12 A
:*'''B''' 4 A
:*'''C''' 6 A
:*'''D''' 1.09 A
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

===Pregunta 2===
¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre las placas del condensador?

:*'''A''' 0 V
:*'''B''' 12 V
:*'''C''' 4 V
:*'''D''' No hay información suficiente para determinarla.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''B'''.

==Dos hilos en paralelo==
Un cable por el que circula una cierta corriente <math>I_0</math> se separa en dos hilos en paralelo del mismo material y la misma longitud, siendo el “1” de 3 mm de diámetro y el “2” de 1 mm de diámetro. ¿Cómo se reparte la corriente entre los dos hilos?

:*'''A''' El 1 el 90% y el 2 el 10%.
:*'''B''' El 1 el 25% y el 2 el 75%.
:*'''C''' El 1 el 75% y el 2 el 25%.
:*'''D''' El 1 el 50% y el 2 el 50%
===Solución===
La respuesta correcta es la '''A'''.

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica (GIE)|0]]
[[Categoría:Corriente eléctrica (GIE)]]
[[Categoría:Preguntas de test de Física II (GIE)]]

Preguntas de test de corriente eléctrica (GIE)

2019-03-04T11:22:21Z

Anamaram: /* Solución */

==Flujo a través de una superficie cerrada==
Indique en cuál de los cuatro casos siguientes, la superficie <math>S</math> delimitada por la línea discontinua encierra una carga que está aumentando. Las flechas representan el sentido de la densidad de corriente.

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:flujo-cuadrado-a.png|300px]]
| [[Archivo:flujo-cuadrado-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:flujo-cuadrado-c.png|300px]]
| [[Archivo:flujo-cuadrado-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|-
|}
===Solución===
La respuesta correcta es la '''C'''.

La ley de conservación de la carga establece que

<center><math>\frac{\mathrm{d}Q_\mathrm{int}}{\mathrm{d}t}=-\oint\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

es decir, lo que aumenta la carga contenida en un volumen es igual a lo que fluye hacia el interior por la frontera de éste.

Examinando las cuatro figuras, vemos que en la figura C hay mayoría de líneas de corriente hacia el interior (3 caras a 1), cosa que no ocurre en el resto. Por tanto, es en ese caso en el que está aumentando la carga.

==Conexión de dos hilos==
Se tienen dos hilos de 1 mm de diámetro y 1 m de longitud, uno de ellos de cobre (<math>\sigma=5.9\times 10^9\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>) y el otro de aluminio (<math>\sigma=3.5\times 10^9\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>)

===Pregunta 1===
Si los dos hilos se conectan en paralelo y se aplica una diferencia de potencial a la asociación, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

:*'''A''' La densidad de corriente es mayor en el cobre.
:*'''B''' La densidad de corriente es mayor en el aluminio.
:*'''C''' El campo eléctrico es mayor en el cobre.
:*'''D''' La intensidad de corriente es la misma en los dos materiales.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''A'''.

Si están en paralelo, la diferencia de potencial entre los extremos es la misma para ambos

<center><math>\Delta V_1 =\Delta V_2\,</math></center>

y si tienen la misma longitud también lo será el campo eléctrico (que es aproximadamente uniforme)

<center><math>E_1=\frac{\Delta V_1}{l}=\frac{\Delta V_2}{l}=E_2</math></center>

La densidad de corriente, en cambio es diferente

<center><math>J_1=\sigma_1 E_1\qquad\qquad J_2=\sigma_2 E_2</math></center>

siendo la proporción entre ellas

<center><math>\frac{J_2}{J_1}=\frac{\sigma_2}{\sigma_1}</math></center>

Por tanto la densidad de corriente es mayor donde la conductividad sea mayor, esto es, en el cobre.

===Pregunta 2===
Si los dos hilos se conectan en serie y se aplica una diferencia de potencial a la asociación, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

:*'''A''' La densidad de corriente es mayor en el aluminio.
:*'''B''' El campo eléctrico es mayor en el cobre.
:*'''C''' La densidad de corriente es mayor en el cobre.
:*'''D''' La intensidad de corriente es la misma en los dos materiales.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''D'''.

Si están en serie, la cosa cambia. Ahora, lo que es igual en los dos cables es la intensidad de corriente que circula por ellos

<center><math>I_1=I_2\,</math></center>

Con esto ya tenemos que la afirmación D es la correcta.

Para ver que el resto son falsas tenemos que, al ser de la misma sección, también coincide la densidad de corriente

<center><math>J_1=\frac{I_1}{S}=\frac{I_2}{S}=J_2</math></center>

lo cual anula las respuestas A y C.

El campo eléctrico el que difiere entre los dos materiales

<center><math>E_1=\frac{J_1}{\sigma_1}\qquad\qquad E_2=\frac{J_2}{\sigma_2}</math></center>

siendo su proporción

<center><math>\frac{E_2}{E_1}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}</math></center>

Esto implica que cuanto mayor es la conductividad menor es el campo. Por tanto en el cobre el campo es más débil, no más intenso.

==Sistema de tres resistencias==
Dado el sistema de tres resistencias de la figura,

<center>[[Archivo:tres-resistencias.png]]</center>

¿cuánto vale la resistencia equivalente entre A y B?

:*'''A''' 9 Ω.
:*'''B''' 18 Ω.
:*'''C''' 2 Ω.
:*'''D''' 4 Ω.
===Solución===
La respuesta correcta es la '''D'''.

Tenemos una asociación en paralelo de la resistencia de abajo con la asociación en serie de las dos de arriba.

La resistencia de la asociación en serie vale

<center><math>R_{12}=R_1+R_2=6\,\Omega+6\,\Omega = 12\,\Omega</math></center>

y para la asociación en paralelo se cumple

<center><math>\frac{1}{R_{123}}=\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_3}=\frac{1}{12}\,\mathrm{S}+\frac{1}{6}\mathrm{S}=\frac{1}{4}\mathrm{S}\qquad\Rightarrow\qquad R_{123}=4\,\Omega</math></center>

==Circuito con tres resistencias==
Se tiene el circuito de la figura.

<center>[[Archivo:circ-tres-res.png|300px]]</center>

En un momento dado, se abre el
interruptor. Después de ese momento, ¿qué podemos decir de las corrientes que circulan por las resistencias 1 y 2?

:*'''A''' Las dos disminuyen.
:*'''B''' La que pasa por la 1 se queda igual y la de la 2 aumenta.
:*'''C''' La que pasa por la 1 disminuye y la de la 2 aumenta.
:*'''D''' Las dos aumentan.
===Solución===
La respuesta correcta es la '''C'''.

Antes de abrir el interruptor, la resistencia equivalente al conjunto es

<center><math>R_{\mathrm{eq}i}=2\,\Omega + \left(\frac{1}{3\,\Omega}+\frac{1}{6\,\Omega}\right)^{-1}=4\,\Omega</math></center>

por lo que la corriente que circula por la resistencia 1 era

<center><math>I_{1i}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{4\,\Omega}=6\,\mathrm{mA}</math></center>

Esta corriente se repartía entre las dos ramas, en forma inversamente proporcional a la resistencia de cada una

<center><math>I_{2i}=2\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_{3i}=4\,\mathrm{mA}</math></center>

Cuando se abre el interruptor deja de pasar corriente por <math>R_3</math>, por lo que la nueva resistencia equivalente es

<center><math>R_{\mathrm{eq}f}=2\,\Omega + 6\,\Omega=8\,\Omega</math></center>

siendo la nueva corriente por la resistencia 1

<center><math>I_{1f}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{8\,\Omega}=3\,\mathrm{mA}</math></center>

Vemos que ha disminuido como consecuencia de que ha aumentado la resistencia del circuito.

Esta misma corriente pasa por la resistencia 2, ya que ahora no se bifurca.

<center><math>I_{2f}=3\,\mathrm{mA}</math></center>

Por tanto, la corriente que va por la resistencia 1 disminuye y por la 2 aumenta.

==Fuente real conectada a dos resistencias==
Una fuente de tensión con una f.e.m. de 9.0 V y 1 Ω de resistencia interna se conecta a una asociación en paralelo de dos resistencias de 3 Ω y 6 Ω.

===Pregunta 1===
¿Cuánto vale la d.d.p. entre los polos de la fuente de tensión?

:*'''A''' 8.1 V
:*'''B''' 6.0 V
:*'''C''' No hay información suficiente para saberlo.
:*'''D''' 9.0 V
====Solución====
La respuesta correcta es la '''B'''.

La d.d.p. entre los polos de la fuente es igual a

<center><math>V_P-V_N=\mathcal{E}-Ir\,</math></center>

por lo que debemos calcular la corriente que circula por el circuito. Esta d.d.p. cumple también la ley de Ohm

<center><math>V_P-V_N=IR_{12}\,</math></center>

siendo <math>R_{12}</math> la resistencia correspondiente a la asoción en paralelo

<center><math>R_{12}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=2\,\Omega</math></center>

Igualando las dos d.d.p. y despejando

<center><math>\mathcal{E}-Ir=IR_{12}\qquad\Rightarrow\qquad I=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}</math></center>

lo que nos da la corriente

<center><math>I=\frac{9.0\,\mathrm{V}}{2\,\Omega+1\,\Omega}=3\,\mathrm{A}</math></center>

y por tanto la d.d.p. entre los bornes de la fuente vale

<center><math>V_P-V_N=\mathcal{E}-Ir=9\,\mathrm{V}-3\,\mathrm{A}\times 1\,\Omega = 6\,\mathrm{V}</math></center>
===Pregunta 2===
¿Cuánta potencia se disipa en la asociación en paralelo?

:*'''A''' 7.3 W
:*'''B''' 9 W
:*'''C''' 81 W
:*'''D''' 18 W
====Solución====
La respuesta correcta es la '''D'''.

La potencia disipada en la resistencia, de acuerdo con la ley de Joule, vale

<center><math>P=I^2R_{12} = (3\,\mathrm{A})^2(2\,\Omega)=18\,\mathrm{W}</math></center>

==Tres resistencias==
Se tiene la asociación de tres resistencias mostrada en la figura

<center>[[Archivo:tres-resistencias-02.png]]</center>

===Pregunta 1===
Si por la resistencia <math>R_1</math> circula una corriente <math>I_1= 300\,\mathrm{mA}</math>, ¿cuánto valen las corrientes por las otras dos?

:*'''A''' No hay información suficiente para determinarlas.
:*'''B''' <math>I_2=100\,\mathrm{mA}</math>, <math>I_3=200\,\mathrm{mA}</math>
:*'''C''' <math>I_2=200\,\mathrm{mA}</math>, <math>I_3=100\,\mathrm{mA}</math>
:*'''D''' <math>I_2=I_3 = 150\,\mathrm{mA}</math>
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

La corriente que llega a la asociación en paralelo se separa en dos

<center><math>I=I_2+I_3\,</math></center>

Por estar en paralelo la d.d.p. es la misma en las dos resistencias

<center><math>I_2R_2=I_3R_3\,</math></center>

esto nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con solución

<center><math>I_2=\frac{IR_3}{R_2+R_3}\qquad\qquad I_3=\frac{IR_2}{R_2+R_3}</math></center>

que para este caso da

<center><math>I_2=\frac{300\,\mathrm{mA} \times 6\,\Omega}{9\,\Omega}=200\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_3=\frac{300\,\mathrm{mA}\times 3\,\Omega}{9\,\Omega}=100\,\mathrm{mA}</math></center>

En general, en una asociación en paralelo, tenemos que la mayor parte de la corriente se va por el camino de menor resistencia, que en este caso es suficiente para determinar la respuesta correcta.
===Pregunta 2===
Si la diferencia de potencial entre los extremos de <math>R_1</math> es de 30 V, ¿cuánto valen las diferencias de potencial entre los extremos de las otras dos resistencias?

:*'''A''' <math>\Delta V_2 = 20\,\mathrm{V}</math>, <math>\Delta V_3 = 10\,\mathrm{V}</math>
:*'''B''' <math>\Delta V_2 = 90\,\mathrm{V}</math>, <math>\Delta V_3 = 180\,\mathrm{V}</math>
:*'''C''' No hay información suficiente para determinarlas.
:*'''D''' <math>\Delta V_2 = 60\,\mathrm{V}</math>, <math>\Delta V_3 = 60\,\mathrm{V}</math>
====Solución====
La respuesta correcta es la '''D'''.

Si están en paralelo, la diferencia de potencial es la misma en las dos resistencias, por lo que la respuesta correcta es la D, o en todo caso la C, si la información no fuera suficiente.

Veamos que sí se puede determinar la d.d.p. Al conocer su valor para la primera resistencia, podemos calcular la corriente que circula por ella

<center><math>I=\frac{\Delta V_1}{R_1}=\frac{30\,\mathrm{V}}{1\,\Omega}=30\,\mathrm{A}</math></center>

y ahora, como en la pregunta anterior, podemos hallar la corriente por cada una de las resistencias en paralelo

<center><math>I_2=20\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_3=10\,\mathrm{A}</math></center>

siendo la d.d.p. en cada una

<center><math>\Delta V_2=I_2R_2=I_3R_3=20\,\mathrm{A}\times 3\,\Omega = 60\,V</math></center>

==Fusible==
Un fusible es un fino hilo de plomo (<math>\sigma =4.55\times 10^6 \mathrm{S}/\mathrm{m}</math>) de 1 cm de largo y 0.2 mm de diámetro. Si el hilo se funde cuando la potencia disipada en él es de 25 mW, ¿Cuál es, aproximadamente, la máxima corriente que puede circular por este hilo?

:*'''A''' 2.25 A
:*'''B''' 0.6 A
:*'''C''' 5.1 A
:*'''D''' 62 mA
===Solución===
La respuesta correcta es la '''B'''.

La potencia disipada en la espira la da la ley de Joule

<center><math>P = I^2R\,</math></center>

de donde la corriente máxima es igual a

<center><math>I = \sqrt{\frac{P}{R}}</math></center>

Aquí la resistencia es la de un hilo

<center><math>R = \frac{l}{\sigma S}=\frac{0.01}{(4.55\times 10^6)(\pi 0.0001^2)}\,\Omega = 0.07\,\Omega</math></center>

Por tanto

<center><math>I = \sqrt{\frac{0.025}{0.07}}\,\mathrm{A}=0.6\,\mathrm{A}</math></center>
==Fuente real conectada a R y C==
Se construye un circuito formado por una fuente de tensión real de f.e.m. 9.0 V y resistencia interna 1.5 Ω conectada a la asociación en paralelo de una resistencia de 3.0 Ω y un condensador ideal de 100 nF

<center>[[Archivo:circuito-fuente-real.png]]</center>

===Pregunta 1===
¿Qué potencia se disipa en la resistencia externa?

:*'''A''' 243.0 W
:*'''B''' 12.0 W
:*'''C''' 18.0 W
:*'''D''' 27.0 W
====Solución====
La respuesta correcta es la '''B'''.

En corriente continua, por el condensador no circula corriente, por lo que para calcular la corriente que recorre el circuito basta considerar la resistencia interna y la externa

<center><math>I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=\frac{9.0\,\mathrm{V}}{3.0\,\Omega + 1.5\,\Omega}=2.0\,\mathrm{A}</math></center>

Por tanto la potencia disipada en la resistencia es

<center><math>P=I^2R = (2.0\,\mathrm{A})^2(3.0\,\Omega)=12.0\,\mathrm{W}</math></center>
===Pregunta 2===
¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

:*'''A''' Ninguna, ya que está cortocircuitado.
:*'''B''' 8.10 μJ.
:*'''C''' 1.80 μJ.
:*'''D''' 3.60 μJ.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

La energía almacenada en el condensador es

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(\Delta V)^2</math></center>

siendo la d.d.p. la misma que en la resistencia externa

<center><math>\Delta V = I R = (2.0\,\mathrm{A})(3.0\,\Omega)=6.0\,\mathrm{V}</math></center>

lo que da la energía

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(10^{-7}\mathrm{F})(6.0\,\mathrm{V})^2 = 1.80\,\mu\mathrm{J}</math></center>

===Pregunta 3===
Si en este circuito se abre bruscamente un interruptor, desconectando la fuente, ¿qué ocurre?

:*'''A''' Fluye una corriente por el condensador, hasta que éste se descarga.
:*'''B''' Deja inmediatamente de circular corriente por el circuito.
:*'''C''' Fluye una corriente por la resistencia externa, hasta que se descarga el condensador.
:*'''D''' Continúa fluyendo una corriente por el interior de la fuente.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

Cuando se desconecta el circuito el generador deja de aportar corriente, pero inicialmente sigue existiendo una d.d.p. entre las placas del condensador (que está cargado) y por tanto una corriente por la resistencia externa.

la potencia disipada por esta corriente procede de la energía almacenada en el condensador, por lo que cuando este se descarga por completo deja de almacenar energía, ya no hay diferencia de potencial y desaparece la corriente por la resistencia.

==Circuito real==
Un circuito real está formado por una pila, que se conecta por
sendos cables a las placas de un condensador real, en cuyo interior hay un
dieléctrico con permitividad y conductividad no nulas.

<center>[[Archivo:circuito-real-fuente.png]]</center>

¿Cómo es el circuito equivalente de este sistema?

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:circuito-equivalente-a.png|300px]]
| [[Archivo:circuito-equivalente-b.png|300px]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:circuito-equivalente-c.png|300px]]
| [[Archivo:circuito-equivalente-d.png|300px]]
|-
! C
! D
|-
|}
===Solución===
La respuesta correcta es la '''B'''.

==Dos esferas alejadas==
Se tienen un sistema de dos esferas conductoras (“1” y “2”) muy alejadas entre sí, de radios <math>r_1=2\,\mathrm{cm}</math>, y <math>r_2=6\,\mathrm{cm}</math>, respectivamente, que pueden unirse por un hilo conductor de 100 Ω. No hay más cargas ni conductores en el sistema. Inicialmente la esfera 1 almacena una carga de 20 nC y la esfera 2 una carga de 40 nC.

===Pregunta 1===
Una vez que se conectan por el hilo…

:*'''A''' no fluye corriente alguna por el hilo.
:*'''B''' no hay información suficiente para saber hacia dónde va la corriente.
:*'''C''' fluye una intensidad de corriente que va de la esfera 1 a la 2.
:*'''D''' fluye una intensidad de corriente que va de la esfera 2 a la 1.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

La corriente eléctrica fluye de mayor a menor potencial. Por tanto, se trata de hallar el potencial al que se encuentra cada esfera y ver cuál es mayor.

Al estar las dos esferas alejadas, podemos considerar que cada una no influye en la otra. En ese caso, el potencial al que se encuentra cada una es el mismo que para una esfera aislada:

<center><math>V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{a}</math></center>

Para la primera esfera

<center><math>V_1 = 9\times 10^9 \times \frac{20\times 10^{-9}}{2\times 10^{-2}}\,\mathrm{V} = 9\,\mathrm{kV}</math></center>

y para la segunda

<center><math>V_2 = 9\times 10^9 \times \frac{40\times 10^{-9}}{6\times 10^{-2}}\,\mathrm{V} = 6\,\mathrm{kV}</math></center>

Vemos que, aunque tiene menos carga, el potencial de la primera esfera es más alto (por ser mucho más pequeña), por tanto, la corriente fluye de la esfera 1 a la 2, hasta que se igualen los potenciales.

===Pregunta 2===
Entre el estado inicial y el estado de equilibrio final, ¿cuánta energía se ha disipado en el hilo conductor?

:*'''A''' 7.5 μJ
:*'''B''' 210 μJ
:*'''C''' 15 μJ
:*'''D''' 202.5 μJ
====Solución====
La respuesta correcta es la '''A'''.

La energía total disipada en la resistencia es igual a la diferencia entre la que había almacenada al principio y la que queda almacenada al final.

La energía inicial almacenada en el sistema es

<center><math>U_\mathrm{ei}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2=\left(\frac{1}{2}2\times 10^{-8}\times 9\times 10^3 + \frac{1}{2}4\times 10^{-8}\times 6\times 10^3\right)\mathrm{J}=210\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Para hallar la energia final necesitamos saber cómo quedan distribuidas las cargas y potenciales en ese estado.

Tenemos que la carga total se conserva en todo instante, por lo que

<center><math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_{1i}+Q_{2i}=60\,\mathrm{nC}</math></center>

El estado de equilibrio se alcanza cuando se igualan los potenciales, lo que implica que

<center><math>\frac{Q_{1f}}{4\pi\varepsilon_0 r_1}=\frac{Q_{2f}}{4\pi\varepsilon_0 r_2}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{Q_{1f}}{2}=\frac{Q_{2f}}{6} \qquad\Rightarrow\qquad 3Q_{1f}=Q_{2f}</math></center>

Ya tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con solución

<center><math>Q_{1f}=15\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_{2f}=45\,\mathrm{nC}</math></center>

y el potencial final de ambas esferas es

<center><math>V_{1f}=V_{2f}=\frac{Q_{1f}}{4\pi\varepsilon_0 r_1}=6.75\,\mathrm{kV}</math></center>

Por tanto, la energía almacenada en el estado final es

<center><math>U_\mathrm{ef}=\frac{1}{2}Q_{1f}V_{1f}+\frac{1}{2}Q_{2f}V_{2f}=\left(\frac{1}{2}1.5\times 10^{-8}\times 6.75\times 10^3 + \frac{1}{2}4.5\times 10^{-8}\times 6.75\times 10^3\right)\mathrm{J}=202.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Por tanto, la energía disipada en la resistencia es

<center><math>W_d=U_{ei}-U_{ef}=7.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Nótese que el valor de la resistencia del cable es irrelevante.

De hecho, estas dos preguntas podrían haberse resuelto con los conocimientos del tema de electrostática en el vacío (salvo en el concepto de energía disipada en una resistencia).

==Circuito con condensador y resistencias==
Dado el circuito de la figura,

<center>[[Archivo:circuito-3rc.png]]</center>

===Pregunta 1===
¿cuánto vale la corriente eléctrica que sale del generador?

:*'''A''' 12 A
:*'''B''' 4 A
:*'''C''' 6 A
:*'''D''' 1.09 A
====Solución====
La respuesta correcta es la '''C'''.

===Pregunta 2===
¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre las placas del condensador?

:*'''A''' 0 V
:*'''B''' 12 V
:*'''C''' 4 V
:*'''D''' No hay información suficiente para determinarla.
====Solución====
La respuesta correcta es la '''B'''.

==Dos hilos en paralelo==
Un cable por el que circula una cierta corriente <math>I_0</math> se separa en dos hilos en paralelo del mismo material y la misma longitud, siendo el “1” de 3 mm de diámetro y el “2” de 1 mm de diámetro. ¿Cómo se reparte la corriente entre los dos hilos?

:*'''A''' El 1 el 90% y el 2 el 10%.
:*'''B''' El 1 el 25% y el 2 el 75%.
:*'''C''' El 1 el 75% y el 2 el 25%.
:*'''D''' El 1 el 50% y el 2 el 50%
===Solución===
La respuesta correcta es la '''A'''.

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Ecuaciones de la dinámica del sólido rígido

2018-12-18T17:26:55Z

Anamaram: /* Fuerzas y momentos de reacción */

==Introducción==
Un sólido, como cualquier otro sistema de partículas está sometido a un conjunto de fuerzas. Las fuerzas sobre cada partícula pueden ser internas (debidas a otra partícula del mismo sólido) o externas (debidas a un agente externo, como la gravedad o un campo eléctrico aplicado).

Las fuerzas internas son importantes en cuanto a que son las que producen la propia existencia del sólido. Se trata de fuerzas cohesivas intensas que consiguen que cada átomo mantenga una posición aproximadamente fija respecto al resto de partículas del sólido.

Sin embargo, una vez admitida la aplicabilidad del modelo de sólido rígido, podemos ignorar la presencia de las fuerzas internas.

La razón es la siguiente: el movimiento de un sólido rígido posee 6 grados de libertad, que se pueden describir mediante las tres componentes de la velocidad lineal de un punto y las tres componentes de la velocidad angular del sólido. A su vez, estos dos vectores se relacionan directamente con la cantidad de movimiento y el momento cinético del sólido.

Por tanto, para determinar las ecuaciones de movimiento del sólido nos basta con el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del momento cinético. Para un sistema de partículas cualquiera (entre los que se incluye el sólido rígido), las ecuaciones de evolución de <math>\vec{p}</math> y <math>\vec{L}_O</math> dependen exclusivamente de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema, por lo que podemos restringirnos a ellas.

Suponemos entonces que sobre la partícula <math>m_i</math> de un sólido actúa la fuerza externa <math>\vec{F}_i</math>. Estas fuerzas pueden ser debidas a que algún agente externo actúa sobre ellas o pueden ser fuerzas de reacción vincular (o una combinación de ambas). Así, en una articulación entre dos sólidos, cada uno de ellos experimenta un conjunto de fuerzas de reacción vincular que los obligan a moverse como corresponde al par cinemático correspondiente y no de otra forma.

==Campo de velocidades del sólido==
Según el teorema de Chasles, la velocidad de cualquier punto de un sólido puede hallarse conocida la velocidad de un punto de referencia, A, y la velocidad angular del sólido

<center><math>\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_A)</math></center>

En particular, el punto de referencia puede ser el centro de masas del sólido

<center><math>\vec{v} = \vec{v}_G + \vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_G) = \vec{v}_G+\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}</math></center>

Empleando los vectores de posición relativa

<center><math>\vec{v}_P=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}</math></center>

con el caso particular

<center><math>\vec{v}_P=\vec{v}_G+\vec{\omega}\times\overrightarrow{GP}</math></center>

==Movimiento del centro de masas (teorema de la cantidad de movimiento)==
Para determinar el movimiento del centro de masas nos basta con aplicar que para un sistema de partículas

<center><math>\vec{p}=M\vec{v}_G</math></center>

y, derivando aquí respecto al tiempo,

<center><math>\vec{a}_G=\frac{1}{M}\vec{F}</math></center>

siendo <math>\vec{F}</math> la resultante de todas las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido, independientemente de sobre qué partícula se apliquen.

Según esto, basta con sumar vectorialmente las diferentes fuerzas aplicadas para determinar la aceleración del CM, el cual se moverá como una partícula cuya masa sea la total del sólido.

En el caso particular del peso, la resultante es

<center><math>\vec{F}= \int_M \vec{g}\,\mathrm{d}m = \vec{g}\,\int_M \mathrm{d}m = M\vec{g}</math></center>

Es decir, la resultante del peso de todo el sólido equivale al peso de una sola partícula cuya masa sea la total del sólido. Esta ecuación, junto con la anterior, nos dice que si un objeto es lanzado y se encuentra sometido exclusivamente a su peso, su centro de masas describe una parábola.

Este resultado no quiere decir que el sólido efectúe un movimiento de traslación con la velocidad del CM, sino que, en general, el sólido describirá un movimiento de rotación en torno al centro de masas. Para determinar la evolución de la velocidad angular con la que rota debemos recurrir a la ecuación para el momento cinético.

==Movimiento alrededor del centro de masas (teorema del momento cinético)==
De acuerdo con las propiedades de un sistema de partículas, el momento cinético de un sólido respecto a un punto O equivale a

<center><math>\vec{L}_O = M\vec{r}_G\times\vec{v}_G+\vec{L}_G</math></center>

con <math>\vec{L}_G</math> el momento cinético correspondiente al movimiento respecto al CM. En el caso de un sólido simétrico respecto al eje de giro, esta expresión se reduce a

<center><math>\vec{L}_O = M\vec{r}_G\times\vec{v}_G+I\vec{\omega}</math></center>

por ello, su derivada respecto al tiempo nos da la ecuación de movimiento para la rotación del sólido.

El teorema del momento cinético para un sistema de partículas establece que, dado un punto fijo O

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O</math></center>

siendo <math>\vec{M}_O</math> el momento resultante respecto al punto O de las fuerzas aplicadas

<center><math>\vec{M}_O=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i</math></center>

Este teorema también es aplicable al centro de masas, aunque se trate de un punto móvil, es decir

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_G\qquad\qquad
\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{GP}_i\times\vec{F}_i</math></center>

Por tanto, para determinar la rotación del sólido en torno al CM nos basta con calcular la resultante de las momentos respecto al CM de las diferentes fuerzas aplicadas sobre el sólido.

En el caso de un sólido simétrico, esta derivada temporal es igual a

<center><math>\vec{L}_G=I\vec{\omega}\qquad\qquad \vec{M}_G=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\vec{\omega}+I\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}</math></center>

A diferencia de la ecuación de la cantidad de movimiento, en la que la masa es una constante, el momento de inercia es una función del tiempo, incluso en casos de sólidos simétricos. La razón es que el eje respecto al que se calcula puede estar cambiando en el tiempo, por lo que en cada instante I va a representar una magnitud diferente.

No obstante, el momento de inercia es constante en los siguientes casos particulares de interés:

* Rotación en torno a un eje fijo (p.ej. un rotor, o un péndulo que oscila en torno a un anclaje fijo).
* El momento de inercia es independiente del eje que se elija, siempre que pase por el CM del sólido (p.ej., para una esfera, pero también para un sólido cúbico).

En esos casos, la ecuación se reduce a

<center><math>\vec{M}_G=I\vec{\alpha}</math></center>

con

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}</math></center>

la aceleración angular. Esta ecuación es el análogo para rotación de la segunda ley de Newton.

==Energía==
===Energía cinética===
Tal como se ve al estudiar los sistemas de partículas, para la energía cinética de un sistema se cumple

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\sum_i\vec{v}_i\cdot\vec{F}_i</math></center>

donde <math>\vec{F}_i</math> es la resultante de las fuerzas sobre la partícula i, incluyendo tanto las fuerzas externas como las internas entre partículas del propio sistema.

Ahora bien, si consideramos la contribución de las fuerzas entre un par de partículas A y B del sólido, nos quedan términos de la forma

<center><math>\vec{v}_A\cdot\vec{F}_{B\to A}+\vec{v}_B\cdot\vec{F}_{A\to B}</math></center>

Aplicando aquí la tercera ley de Newton

<center><math>\vec{F}_{B\to A} = -\vec{F}_{A\to B}</math></center>

esta contribución se reduce a

<center><math>\vec{v}_A\cdot\vec{F}_{B\to A}+\vec{v}_B\cdot\vec{F}_{A\to B}=\left(\vec{v}_B-\vec{v}_A\right)\cdot\vec{F}_{A\to B}</math></center>

En el caso particular de un sólido rígido se cumple

<center><math>\vec{v}_B-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}</math></center>

y por tanto

<center><math>\vec{v}_A\cdot\vec{F}_{B\to A}+\vec{v}_B\cdot\vec{F}_{A\to B}=\left(\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\right)\cdot\vec{F}_{A\to B}=\vec{\omega}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\vec{F}_{A\to B}\right)</math></center>

Una fuerza newtoniana entre dos partículas va en la dirección de la recta que las une. Por tanto, el último término es nulo.

Esto implica que la contribución de todas las fuerzas internas se anula y la potencia sobre un sólido se reduce a

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=\sum_i\vec{v}_i\cdot\vec{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir, solo necesitamos hallar la potencia desarrollada por las fuerzas externas. En particular, si el punto de aplicación tiene velocidad nula (caso de la rodadura sin deslizamiento, por ejemplo), la fuerza no introduce energía en el sistema.

Aplicando aquí la expresión del campo de velocidades del sólido

<center><math>\vec{v}_i = \vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}_i</math></center>

queda, para la potencia total

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P = \sum_i \left(\vec{v}_O+\vec{\omega}\times \overrightarrow{OP}_i\right)\cdot\vec{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

Agrupando términos

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P = \vec{v}_=\cdot\left(\sum_i \vec{F}_{i\mathrm{ext}}\right)+\vec{\omega}\cdot\left(\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i\right)=\vec{v}_O\cdot\vec{F}+\vec{\omega}\cdot\vec{M}_O</math></center>

En esta expresión, O es punto fijo, pero también puede ser el centro de masas del sólido.

Equivalentemente, esto nos dice que el trabajo diferencial realizado sobre un sólido por un sistema de fuerzas externas es igual a

<center><math>\delta W = \mathrm{d}K=(\vec{v}_G\mathrm{d}t)\cdot\vec{F}+(\vec{\omega}\mathrm{d}t)\cdot\vec{M}_G=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_G + \vec{M}_G\cdot\vec{\omega}\,\mathrm{d}t</math></center>

El producto <math>\vec{\omega}\,\mathrm{d}t</math> es igual el ángulo girado en un diferencial de tiempo multiplicado por la dirección del eje de giro

<center><math>\vec{\omega}\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}\theta\,\vec{u}</math></center>

Esto nos da el trabajo diferencial

<center><math>\delta W = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_G + M_\omega\,\mathrm{d}\theta</math></center>

que nos dice que el trabajo para cambiar el estado de rotación es igual a la componente del momento en la dirección del eje de giro (la única que realiza trabajo) multiplicada por el ángulo girado. Es de nuevo una analogía entre traslación y rotación.

===Energía potencial===
Operando igualmente, obtenemos para la energía potencial

<center><math>\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=-\sum_i\vec{v}_i\cdot\vec{F}_{i\mathrm{ext},c}</math></center>

donde el subíndice c se refiere a que solo aparecen las fuerzas conservativas.
===Energía mecánica===
Considerando que el sólido está sometido a fuerzas conservativas y no conservativas, podemos sumar las dos expresiones anteriores y escribir la ley para la evolución de la energía mecánica

<center><math>E = K + U = \frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 + U</math></center>

en la forma

<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\sum_i\vec{v}_i\cdot\vec{F}_{i\mathrm{ext},nc}</math></center>

donde la suma solo incluye las fuerzas externas no conservativas.

De aquí se deduce que si sobre un sólido solo actúan fuerzas externas conservativas, su energía mecánica se conserva. En ese caso, es importante recordar que la energía cinética incluye tanto energía de traslación como de rotación y que la energía se puede repartir de múltiples formas entre ambos tipos de energía cinética.

En el caso de que el sólido esté sometido exclusivamente al peso (y a fuerzas de reacción que no realizan trabajo), la conservación de la energía mecánica para un sólido simétrico queda

<center><math>\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2 + \frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 + M g z_G = \mathrm{cte}</math></center>

Esta ley nos dice que cuando un cuerpo desciende rodando por un plano inclinado, su centro se mueve más lentamente que si se deslizara por él, ya que parte de la energía potencial se trasforma en energía cinética de rotación, con lo que el aumento de energía cinética de traslación es menor.

==Sistemas equivalentes==
De las ecuaciones anteriores

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=M\vec{a}_G=\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i</math></center>

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}=I\vec{\alpha}=\vec{M}_G=\sum_i\overrightarrow{GP}_i\times\vec{F}_i</math></center>
se deduce que para determinar la evolución de un sólido solo precisamos dos cantidades vectoriales:

* La resultante <math>\vec{F}</math>, suma vectorial de las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido
* El momento resultante <math>\vec{M}_G</math>, suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas respecto al CM del sólido.

Aunque la expresión de las ecuaciones de movimiento quedan más simples si se emplea como punto de referencia (“centro de reducción”) el centro de masas, puede emplear un punto fijo arbitrario A, siendo la ecuación correspondiente

<center><math>\vec{M}_A = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_A}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad \vec{L}_A=M\overrightarrow{AG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G</math></center>

y dado el momento de las fuerzas hallado respecto a un punto podemos hallar el correspondiente a cualquier otro con la relación

<center><math>\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA}\times\vec{F}=\vec{M}_A + \vec{F}\times \overrightarrow{AB}</math></center>

Esto quiere decir que los diferentes sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido pueden clasificarse en sistemas equivalentes, identificados cada uno por la fuerza resultante y el momento resultante. Dos sistemas equivalentes tendrán el mismo efecto físico sobre el sólido.

Por ejemplo, dado un bloque situado sobre un suelo horizontal, no existe diferencia física entre empujarlo horizontalmente por su parte trasera o tirar horizontalmente desde la delantera. En ambos casos, la resultante es la misma y también lo es el momento de las fuerzas.

Por ello, el análisis de los casos posibles puede reducirse a los casos más sencillos. Dada la similitud entre la relación entre momentos y el teorema de Chasles, la lista de casos posibles es análoga a la clasificación de los movimientos rígidos.

===Vectores deslizantes===
Se denomina ''recta soporte'' de una fuerza <math>\vec{F}_0</math> aplicada en un punto <math>P_0</math> a aquella que pasa por el punto de aplicación y lleva la dirección de la fuerza:

<center><math>\overrightarrow{OP}(\lambda)=\overrightarrow{OP}_0+\lambda\vec{F}_0</math></center>

Por las propiedades del producto vectorial, el momento de la fuerza <math>\vec{F}_0</math> es el mismo si en vez de estar aplicada en <math>P_0</math> está aplicada en cualquier otro punto <math>P_1</math> de la recta soporte.

<center><math>\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}_1\times\vec{F}_0=\left(\overrightarrow{OP}_0+\lambda\vec{F}_0\right)\times\vec{F}_0=\overrightarrow{OP}_0\times\vec{F}_0</math></center>

Por ello, se dice que las fuerzas aplicadas sobre un sólido son ''vectores deslizantes''. El efecto físico que producen es el mismo si se desliza su punto de aplicación a lo largo de la recta soporte.

===Teorema de Varignon===
De entre los diferentes teoremas aplicables para la determinación de sistemas equivalenteso, existe uno de especial utilidad, especialmente en el caso de figuras planas, ya que facilita la solución por métodos geométricos.

:''Dadas varias fuerzas concurrentes el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas aplicada en el punto de concurrencia.''

Donde entendemos como fuerzas concurrentes aquellas cuyas rectas soporte se cortan en un punto P.

La demostración es la siguiente: tenemos <math>n</math> fuerzas concurrentes, <math>\vec{F}_1</math>, <math>\vec{F}_2</math>,... <math>\vec{F}_n</math>, aplicadas en los puntos <math>A_1</math>, <math>A_2</math>,... <math>A_n</math>. El momento resultante respecto a un punto O es

<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i</math></center>

Ahora bien, por pasar cada recta soporte por el punto de concurrencia P se cumple para cada una

<center><math>\overrightarrow{PA}_i\times\vec{F}_i=\vec{0}</math></center>

por ser vectores paralelos. Por tanto, para cada momento individual

<center><math>\overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i = (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}_i)\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i</math></center>

y para la resultante

<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}</math></center>

Por tanto, el procedimiento para hallar el momento resultante consiste en llevar todas las fuerzas al punto de concurrencia, hallar la resultante de todas las fuerzas y luego calcular su momento respecto al punto O.

Empleando las propiedades de los vectores deslizantes, el teorema de Varignon, y otras propiedades de los sistemas de fuerzas, es posible ir reduciendo un sistema a uno equivalente formado por solo dos fuerzas o, lo que es lo mismo, una fuerza y un momento, que determinan completamente la dinámica del sólido.

==Casos particulares==
Los diferentes sistemas de fuerzas aplicadas sobre un sólido pueden reducirse cada uno a un sistema equivalente <math>\{\vec{F},\vec{M}_O\}</math>. Dependiendo de si alguno de estos vectores es nulo o no, obtenemos los siguientes casos particulares:
===Equilibrio de un sólido===
El caso más simple es aquel en que

<center><math>\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{M}_O=\vec{0}</math></center>

En este caso no hay acción neta sobre el sólido, por lo que este continúan en su estado de movimiento anterior.

Si el sólido se encontraba en un estado de reposo, continúa en él. El estudio de las condiciones en que esto ocurre constituye el objeto de la [[estática del sólido rígido]]. Habitualmente implica la introducción de fuerzas de reacción vincular que debe ser determinadas para las situaciones de equilibrio.

Si el solido se encuentra efectuando un movimiento rígido (traslación, rotación o helicoidal), [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Movimiento_de_un_s.C3.B3lido_libre|continúa moviéndose]]. Su centro de masas continúa en un movimiento rectilíneo y uniforme, mientras que el sólido mantiene un estado de rotación en torno al centro de masas, que no tiene por qué ser uniforme. En esto un sólido es diferente de una partícula aislada. Para que una partícula aislada mantenga un movimiento de rotación es precisa una fuerza actuando sobre ella de forma continua. Para que un sólido mantenga una rotación no es preciso (como muestra el movimiento de rotación de la Tierra, por ejemplo).

===Par de fuerzas===
[[Archivo:par-de-fuerzas.png|right]]

Supongamos ahora un sólido sometido simultáneamente a dos fuerzas iguales y opuestas, aplicadas sobre puntos diferentes A y B, de forma que la fuerzas actúan sobre rectas soporte paralelas. Esta configuración se conoce como ''par de fuerzas'' (o simplemente ''par'' o ''torque''). En este caso

<center><math>\vec{F}_A=-\vec{F}_B\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B = -\vec{F}_B+\vec{F}_B = \vec{0}</math></center>

La resultante de las fuerzas aplicadas es nula, por lo que el centro de masas no se ve acelerado.

El momento de las fuerzas es distinto de cero y es independiente del punto respecto al que se calcule.

<center><math>\vec{M}_O = \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A + \overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B = (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\times\vec{F}_B=\overrightarrow{AB}\times\vec{F}_B</math></center>

El momento respecto a O es independiente de la posicion del punto O. Por tanto, en presencia de un par de fuerzas, es indiferente calcular el momento respecto del centro de masas o de cualquier otro punto. A este vector <math>\vec{M}_O</math> se le conoce como el“ momento del par”, o simplemente el “par” (ya que es equivalente dar las dos fuerzas y sus puntos de aplicación o dar directamente este vector).

Este vector es perpendicular al plano donde se encuentran las dos rectas sobre las que actúan las fuerzas y tiene por módulo

<center><math>|\vec{M}_O| = \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\vec{F}_B\right|\mathrm{sen}(\theta) = |\vec{F}_B|d</math></center>

siendo

<center><math>d = \left|\overrightarrow{AB}\right|\mathrm{sen}(\theta)</math></center>

la distancia entre las dos rectas soporte. A esta distancia se la denomina el ''brazo del par''.

El efecto de un par de fuerzas es producir una aceleración angular alrededor del CM del sólido. Obsérvese que este efecto depende tanto de la magnitud de la fuerza aplicada como de la longitud del brazo. Un ejemplo de la vida diaria lo tenemos en el giro de la puerta alrededor de su bisagra. No es lo mismo aplicar una fuerza empujando un pomo situado cerca del borde de la puerta, que aplicar la misma fuerza en el centro de la puerta o justo al lado de la bisagra.

<center>[[Archivo:cosa-momento.jpg]]</center>

===Fuerza única===
Si sobre un sólido actúa una única fuerza en un punto A, pueden darse dos situaciones:

* Que la línea de acción de la fuerza aplicada pase por el centro de masas. En este caso el efecto de la fuerza es acelerar el CM, pero no produce rotación del sólido, con lo que éste, si estaba inicialmente en reposo, tiende a realizar un movimiento de traslación.

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_A \qquad\vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F}_A=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_G=\mathrm{cte}</math></center>

* Que la recta soporte pase a una distancia <math>d</math> del CM. En este caso, ni la resultante ni el momento son nulos

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_A \qquad\vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F}_A\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{M}_G|= |\vec{F}_A|d</math></center>

:El efecto es una aceleración del CM, combinado con una aceleración angular. Este sistema es equivalente a uno formado por tres fuerzas. La fuerza <math>\vec{F}_A</math> que ya tenemos, una <math>\vec{F}_G=-\vec{F}_A</math> sobre una recta que pase por el CM y una <math>\vec{F}'_G=\vec{F}_G</math> sobre esta misma recta. Puesto que estamos sumando y restando lo mismo es claro que el sistema es equivalente, pero también los podemos ver como un par de fuerzas combinado con una fuerza que pasa por el CM. El efecto del par es la rotación y el de la fuerza la aceleración lineal.

Cuando tenemos una única fuerza actuando sobre un sólido, la recta sobre la cual actúa se denomina ''eje central''.

Un conjunto de fuerzas es equivalente a una sola cuando tiene una resultante no nula y existe algún punto (una recta de puntos), tales que el momento de las fuerzas es nulo respecto a este punto. La recta definida por este punto y la dirección de la fuerza resultante es el eje central. La condición para que exista este eje central es que

<center><math>\vec{F}\neq \vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O\cdot\vec{F}=0</math></center>

y la posición del eje central, respecto al punto O, es

<center><math>\overrightarrow{OE} = \frac{\vec{M}_O\times\vec{F}}{|\vec{F}|^2}+\lambda\vec{F}</math></center>

Un ejemplo de un sistema reducible a una sola fuerza es el peso. En principio hay una fuerza actuando sobre cada uno de las partículas del sólido, siendo su resultante

<center><math>\vec{F}=m_1\vec{g}+m_2\vec{g}+\cdots = (m_1+m_2+...)\vec{g}=M\vec{g}</math></center>

y el momento resultante

<center><math>\vec{M}_O = \sum_i\overrightarrow{OP}_i\times(m_i\vec{g}) = \left(\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\right)\times\vec{g}=M\overrightarrow{OG}\times\vec{g}= \overrightarrow{OG}\times(M\vec{g})</math></center>

Es decir, la acción conjunta del peso de todo el sólido equivale a una única fuerza aplicada sobre el centro de masas (razón por la que también se lo denomina centro de gravedad).

===Caso general===
En el caso general, hallamos la resultante <math>\vec{F}</math> y el momento resultante <math>\vec{M}_O</math> en el punto O que más nos interese (no necesariamente el CM, sino que suele ser aquél punto respecto del cual los momentos se calculen de la manera más simple). En analogía con el teorema de Chasles podemos establecer la siguiente clasificación de los casos posibles, y el sistema equivalente mínimo:

* Si <math>\vec{F}=\vec{0}</math> y <math>\vec{M}_O=\vec{0}</math>, el sólido no se acelera ni lineal ni angularmente.
* Si <math>\vec{F}=\vec{0}</math> y <math>\vec{M}_O\neq\vec{0}</math>, el sistema equivale a un ''par de fuerzas''; se produce aceleración angular, pero no lineal
* Si <math>\vec{F}\neq\vec{0}</math> y <math>\vec{M}_O\cdot\vec{F}=0</math> el sistema equivale a una ''única fuerza'' aplicada sobre el llamado ''eje central''. Si el eje central pasa por el CM se produce aceleración lineal pero no angular. Si no pasa por él se producen las dos aceleraciones.
* Si <math>\vec{F}\neq\vec{0}</math> y <math>\vec{M}_O\cdot\vec{F}\neq 0</math> el sistema equivale a una fuerza superpuesta a un par, estando ambos en la misma dirección, como en el movimiento de un tornillo. Se produce tanto aceleración lineal como angular.

<center>[[Archivo:flujo-dinamica.png]]</center>

Todo sistema de fuerzas puede reducirse a solo dos fuerzas actuando simultáneamente.

==Fuerzas y momentos de reacción==
Cuando tenemos un contacto entre dos sólidos y entre ellos se forma un [[Contacto_entre_sólidos#S.C3.B3lidos_vinculados._Pares_cinem.C3.A1ticos|par cinemático]], los grados de libertad del movimiento relativo se ven reducidos. O bien uno de los sólidos no puede moverse en una dirección o en otra, o no puede girar, o no puede moverse de ninguna de las formas…

Estas restricciones sobre el movimiento se producen porque uno de los sólidos ejerce fuerzas sobre el otro (y viceversa, de acuerdo con la tercera ley de Newton). Estas fuerzas son de contacto y en principio difíciles de determinar individualmente pues para saber la distribución de fuerzas punto a punto es preciso salirse del modelo de sólido rígido. Lo que si se puede determinar es la resultante de las fuerzas de reacción, <math>\vec{F}_R</math> y el momento resultante de estas fuerzas de reacción respecto al punto O de contacto, que denotaremos con la letra <math>\vec{M}_{RO}</math>.

Según esto, podemos sustituir cada vínculo por una combinación de fuerza y par <math>\{\vec{F}_R,\vec{M}_R\}</math> cuyo efecto dinámico es el mismo del vínculo al que sustituyen. La fuerza y el par se suponen aplicados en el punto de contacto entre los sólidos. En principio, cada uno de ellos puede tener una dirección arbitraria

<center><math>\vec{F}_R=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}\qquad\qquad \vec{M}_{RO}=M_x\vec{\imath}+M_y\vec{\jmath}+M_z\vec{k}</math></center>

pero si el vínculo permite un determinado desplazamiento libre, por ejemplo, en la dirección del eje Z, quiere decir que no se está ejerciendo ninguna fuerza de reacción en dicha dirección por lo que <math>F_z=0</math>. Por ello, para cada par cinemático, las componentes nulas son las correspondientes a los grados de libertad disponibles. Así, para los casos más usuales tenemos las fuerzas y pares de reacción siguientes:

;Par cilíndrico (corredera cilíndrica): El sólido 2 está obligado a girar en torno a un cierto eje, sobre el cual puede haber una cierta velocidad de deslizamiento. El vínculo se produce mediante una fuerza perpendicular a la dirección de deslizamiento y un momento que impide girar en una dirección diferente a la del eje.

<center><math>\vec{F}_R=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{M}_{RO}=M_x\vec{\imath}+M_y\vec{\jmath}</math></center>

:O equivalentemente, no hay fuerza ni par en los sentidos de movimiento admisibles

<center><math>F_z = 0\qquad\qquad M_z = 0</math></center>

;Par helicoidal (tornillo): Como en el anterior, el sólido 2 gira en torno a un eje dado, sobre el cual se desliza, pero la velocidad de deslizamiento no es arbitraria, sino que está condicionada por el paso de rosca, <math>b</math>, que es la distancia que avanza cuando gira una vuelta completa. Como en el caso anterior, existe un par y una fuerza con componentes transversales, pero cuyas componentes longitudinales no son nulas, sino que están relacionadas por el hecho de que fuerzan al movimiento helicoidal

<center><math>F_z b + 2\pi M_z = 0\,</math></center>

;Par de revolución (bisagra): De nuevo el eje de giro está fijado, pero ahora la velocidad de deslizamiento es nula. La fuerza de reacción pueden tener cualquier valor, mientras que el par de reacción no tiene componente en la dirección en que el giro es libre

<center><math>M_z = 0\,</math></center>

;Par prismático (corredera rectangular): El sólido 2 puede deslizarse a lo largo de un cierto eje, pero no puede girar en torno a él (un único grado de libertad relativa). En este caso el par puede ir en cualquier dirección, pues se impide cualquier giro, mientras que la fuerza de reacción no tiene componente en la dirección en que se permite el deslizamiento

<center><math>F_z=0\,</math></center>

;Par esférico (rótula o articulación): El punto A (centro de la rótula) es un punto fijo en el movimiento relativo de los dos sólidos. El sólido 2 puede girar libremente (pero no trasladarse) respecto al 1. Por ello la fuerza de reacción puede tener cualquier dirección, mientras que el par de reacción es nulo, ya que todos los giros son posibles

<center><math>\vec{M}_{RO}=\vec{0}</math></center>

;Par rígido (empotramiento, voladizo o ''cantilever''): Los dos sólidos forman en realidad uno solo, ya que en el punto de contacto la unión es rígida. En este caso puede haber una fuerza de reacción en cualquier dirección y par en cualquier dirección, no siendo nula ninguna de sus componentes.

Como en el caso de los vínculos sobre una partícula, los vínculos sobre sólidos pueden ser bilaterales o unilaterales. En el primer caso, se oponen a un desplazamiento o a una rotación en los dos sentidos, por lo que la ligadura se puede expresar como una igualdad y la componente correspondiente de la fuerza o del par puede tener cualquier signo. En el caso unilateral, se oponen a un desplazamiento o rotación en un sentido pero no en el opuesto, por lo que se expresan como desigualdades y la componente de la fuerza o el par puede tener un signo pero no el opuesto.

Como ejemplo de vínculo unilateral tenemos el del vuelco. Imaginemos una caja apoyada en una base inferior de anchura <math>B</math>. La caja ejerce una fuerza sobre la base, que es respondida con una reacción hacia arriba. En realidad, es una infinitud de reacciones distribuidas sobre toda la superficie de contacto.

<center>[[Archivo:vuelco-diferencial.png]]</center>

Si hallamos la resultante de las fuerzas y el momento resultante respecto de un punto del borde de la base (que tomamos como <math>x=0</math>, con la base en <math>x>0</math>), obtenemos <math>\vec{F}_R</math> y <math>\vec{M}_{RO}</math>. Ahora bien, la reacción del suelo solo impide que la pila gire hacia el interior, pero no puede impedir que gire hacia el exterior y vuelque. Por ejemplo, supongamos que el centro de masas de la caja se encuentra a una distancia <math>b</math> del borde de la base. La ecuaciones de equilibrio del bloque nos dan

<center><math>\vec{F}-Mg\vec{k}=\vec{0}\qquad \qquad \vec{M}_{RO} + (b\vec{\imath}+h\vec{k})\times(-Mg\vec{k}) = \vec{0}</math></center>

con lo que para que haya equilibrio la fuerza y el par de reacción deben valer

<center><math>\vec{F}_R=Mg\vec{k}\qquad \qquad \vec{M}_{RO}=-Mgb\vec{\jmath}</math></center>

La primera ecuación se cumple sin problemas, pero la segunda no siempre es posible. Si <math>b < 0</math>, implicaría un par de reacción que tiende a girar al bloque hacia la izquierda, lo cual es imposible. Dicho de otra forma, si hallamos la resultante de los momentos de las fuerzas de reacción punto a punto, siempre nos resultará un momento en sentido contrario. En ese caso la reacción no retiene a la caja y esta vuelca. La regla básica para que un objeto no vuelque es que la vertical del CM pase por el interior del perímetro de la base. Si se encuentra en el exterior se produce vuelco.

<center>[[Archivo:vuelco-caja-estable.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:vuelco-caja-inestable.png]]</center>


[[Categoría:Dinámica del sólido rígido (GIE)]]

Motocicleta en una curva

2018-12-18T17:16:16Z

Anamaram: /* Efecto de un charco */

==Enunciado==
A la hora de tomar una curva, ¿de qué sirve inclinarse lateralmente?
# Supongamos que Jorge Lorenzo toma una curva de 150 m de radio a una velocidad de 160 km/h ¿cuánto debe inclinarse en grados respecto a la vertical para no caerse ni a un lado ni al otro?
# Es sabido que Marc Márquez es capaz de inclinarse más que otros pilotos. Si en esa misma curva Márquez se inclina 60°, ¿a qué velocidad puede pasar por la curva? ¿Cuánto debe valer como mínimo el coeficiente rozamiento estático del neumático sobre el asfalto?
# Si en esa curva, Pedrosa intenta hacer lo mismo que Jorge y Marc, pero pisa un charco que nadie más ha visto, de forma que el coeficiente de rozamiento estático se reduce a <math>\mu=0.5</math>, ¿qué efecto tiene sobre la moto (a) respecto a su trayectoria (b) respecto a su inclinación?

==Introducción==
Este problema tiene una relación directa con el problema del [[vuelco de un camión]]. También con el de la [[motocicleta que acelera]], con la diferencia esencial respecto a ese problema de que aquí debemos considerar una aceleración lateral, mientras que allí era en la dirección de avance.

Este problema puede abordarse de forma intuitiva con ayuda del concepto de fuerza centrífuga. Sin embargo, dado que el tratamiento matemático de las fuerzas de inercia (centrífuga, Coriolis y otras) se escapa al contenido del curso, lo trataremos usando exclusivamente la descripción de la dinámica del sólido en un sistema de referencia inercial.

El problema de la dinámica de una motocicleta (y de una bicicleta) es un tema extremadamente complejo, que se halla aun en estudio. A la hora de considerar el paso por curva influyen factores como la dirección de las ruedas respecto al eje de la moto, la posición del cuerpo del motorista, los movimientos que hace, el cambio de rapidez al recorrer la curva, el posible peralte de la pista, etc.

Por ello, aquí solamente consideraremos el aspecto más elemental, tratando la motocicleta como un sólido con una cierta inclinación respecto a la vertical.
==Inclinación dada una velocidad==
Cuando el motorista describe una curva, su centro de masas experimenta una aceleración normal hacia el interior de la curva, de valor,

<center><math>a_n = \frac{M|\vec{v}|_C^2}{R}</math></center>

Para producir esta aceleración debe existir una fuerza actuando en la dirección normal y hacia adentro. Esto se consigue de dos formas: girando la rueda delantera e inclinando el cuerpo. Ambas acciones deben realizarse a la vez, si se quiere evitar la caída.

Si inclina la moto sin girar la rueda delantera, se caerá hacia adentro de la curva. Si gira la rueda sin inclinarse, caerá hacia afuera.

El mecanismo por el que ocurre lo primero es el siguiente: cuando el motorista circula en recta sin inclinar el cuerpo, sobre el actúan el peso y la reacción normal del suelo, sobre la misma recta soporte, por lo que no se produce par. Cuando inclina el cuerpo hacia el interior de la curva, las dos rectas soporte se separan y aparece un par. Este par tiende a girar la moto. En el punto de contacto con el suelo, este par tendería a mover la rueda lateralmente hacia afuera de la curva. Se lo impide el rozamiento. Por ello, aparece una fuerza de rozamiento hacia el interior de la curva. Esta fuerza de rozamiento es normal a la dirección de avance y por ello produce un cambio de dirección. La moto tiende a girar. Si las ruedas no están adaptadas a la nueva trayectoria, el resultado puede ser una caída.

<center>[[Archivo:moto-frontal-01.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:moto-frontal-02.png]]</center>

Supongamos que en un instante dado la motocicleta se encuentra describiendo una curva de radio <math>R</math> con velocidad <math>\vec{v}_C</math>. Tomamos como eje OX el instantáneo que pasa por el centro de la circunferencia y el punto de apoyo de la moto. Como eje OY el vertical hacia arriba y como OZ el que sale hacia afuera de la pantalla o el papel. Entonces, si la dirección de avance de la motocicleta es hacia afuera, tenemos

<center><math>\vec{v}_C=v_C\vec{k}\qquad\qquad \vec{a}_C=\frac{v_C^2}{R}\vec{\imath}</math></center>

El motorista se inclina hacia adentro de la curva, de forma que la línea que va desde el punto de apoyo A hasta el centro de masas forma un ángulo <math>\theta</math> con la vertical, con lo que la posición del CM respecto al punto apoyo es

<center><math>\vec{AC}=h\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+h\cos(\theta)\vec{\jmath}</math></center>

Sobre la moto, en este plano actúan tres fuerzas:

* El peso <math>M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}</math>
* La reacción normal en A, <math>\vec{F}_n=F_n\vec{\jmath}</math>
* La fuerza de rozamiento estático en A, <math>\vec{F}_r=F_r\vec{\imath}</math>

La ecuación de movimiento para el CM queda entonces

<center><math>M\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r=M\vec{a}_C\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rlc} F_r & = & \dfrac{Mv_C^2}{R} \\ && \\ F_n-Mg & = & 0 \end{array}\right.</math></center>

Despejando de aquí

<center><math>F_n = Mg\qquad\qquad F_r = \frac{Mv_C^2}{R}</math></center>

Si el motorista consigue mantener el equilibrio sin caerse quiere decir que no hay giro respecto al eje Z. Tomando momentos de las fuerzas respecto al CM

<center><math>\overrightarrow{CA}\times\vec{F}_n+\overrightarrow{CA}\times\vec{F}_r = \vec{0}</math></center>

que nos da la relación

<center><math>-F_n h\,\mathrm{sen}(\theta)+F_r h\,\cos(\theta) = 0</math></center>

es decir,

<center><math>\mathrm{tg}(\theta)=\frac{F_r}{F_n}=\frac{v_C^2}{Rg}</math></center>

Esta es la relación entre el ángulo de inclinación y la velocidad con la que se toma la curva. Es análoga a la que aparece al estudiar el [[Curvas_y_peraltes_(GIE)|peralte de una curva]] con la diferencia de que aquí la fuerza normal no la proporciona el peso sino el rozamiento.

Aplicando este resultado a los datos numéricos

<center><math>v_C = 160\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}=44.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \qquad\qquad R = 150\,\mathrm{m}\qquad\qquad g = 9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

y resulta

<center><math>\mathrm{tg}(\theta) = \frac{44.4^2}{150\times 9.81} = 1.34\qquad\Rightarrow\qquad \theta = 0.93\,\mathrm{rad}=53.3^\circ</math></center>

==Velocidad dada la inclinación==
La relación anterior puede invertirse y hallar la velocidad en función del ángulo

<center><math>v_C=\sqrt{R g\,\mathrm{tg}(\theta)}</math></center>

que para un ángulo de 60° da

<center><math>v_C=\sqrt{150\times 9.81\times 1.732}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=50.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 182\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math></center>

Vemos como el poderse inclinar 7 grados más le permite alcanzar una velocidad 20km/h mayor.

==Efecto de un charco==
Existe un límite a lo que se puede inclinar la moto. Lo da el coeficiente de rozamiento estático, ya que la fuerza de rozamiento tiene un máximo. Si se intenta superar ese máximo no hay fuerza suficiente para compensar el par debido al peso y la normal y la motocicleta acaba por tierra.

El límite lo da el que

<center><math>\mathrm{tg}(\theta)=\frac{F_r}{F_n}\leq \mu</math></center>

que para los ejemplos anteriores implica que μ debe ser al menos 1.73 (o 2 o más, para estar seguros). Si de pronto, al pisar el charco el coeficiente de rozamiento cae a un valor muy inferior disminuye la fuerza de rozamiento (la única normal que hay) y de producen dos efectos:

* Al disminuir la aceleración normal, la moto hace “un recto”, saliéndose de la curva.
* Al no poder compensar el par producido por el peso y la fuerza normal, la moto acaba cayendo por el lado interior de la curva.

La combinación de ambos efectos es la que produce la típica imagen de la moto que va arrastrándose hacia el exterior de la curva.

[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]]