F1 GIA SPC 2015, Muelle vertical sometido a impacto
De Laplace
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1 Enunciado
Una partícula P de masa y sometida a la acción de la gravedad , se encuentra en equilibrio suspendida de un resorte ideal de características desconocidas. En un determinado instante que estableceremos como inicial, t = 0, la partícula recibe un impacto de corta duración, en la dirección vertical, a partir del cuál realiza un movimiento oscilatorio armónico simple en dicha dirección, según la ley horaria
siendo la amplitud y el período .
- ¿Cuál es el valor de la constante recuperadora del resorte?
- ¿Qué velocidad inicial adquiere la partícula tras el impacto?
- Si el tiempo de duración del impacto que pone en movimiento el sistema es aproximadamente la décima parte del período de la oscilación, ¿cuál es el valor de la intensidad de la fuerza constante aplicada en dicho impacto?
2 Solución
2.1 Constante elástica
La masa se mueve sobre el eje vertical sometida a la acción de la gravedad y del resorte. Al aplicar la segunda ley de Newton, obtenemos la ecuación diferencial que describe el movimiento
donde s es la distancia de la masa a la posición de equilibrio estática (la posición de la masa cuando no oscila). Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple con frecuencia
El período de las oscilaciones es
Los datos que nos da el enunciado son el valor de la masa y del período. Despejamos la constante elástica para obtener
Calculamos también el valor de la frecuencia angular
2.2 Velocidad tras el impacto
Derivando respecto al tiempo la ley horaria z(t) obtenemos la velocidad de la masas en cada instante
En el instante inicial la velocidad es
2.3 Fuerza durante el impacto
El impulso mecánico es igual a la variación de cantidad de movimiento de la masa en el impacto. Suponiendo que la fuerza aplicada durante el impacto es constante en el tiempo tenemos
El enunciado nos dice que . La masa pasa del reposo a moverse con velocidad v0, por tanto la variación de cantidad de movimiento es
Δp = mv0
Entonces, la fuerza media aplicada durante el impacto es