Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2012 (F1 GIA)
De Laplace
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<center><math>V=|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math style="border:solid cyan 2px;padding:10px">V=\left|\begin{array}{ccc}0& 1 & 1\\ 1& -1& 0\\ | <center><math>V=|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math style="border:solid cyan 2px;padding:10px">V=\left|\begin{array}{ccc}0& 1 & 1\\ 1& -1& 0\\ | ||
- | \sqrt{3}& 1& 0 \end{array}right|=1+\sqrt{3} | + | \sqrt{3}& 1& 0 \end{array}\right|=1+\sqrt{3} |
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Revisión de 13:50 26 nov 2012
1 Enunciado
Los puntos O, A, B y C son vértices no contiguos de un paralelepípedo, de manera que O y A se encuentran en un plano distinto al que contiene a B y C. Las coordenadas de estos puntos en un sistema dereferencia cartesiano son:
medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores
y calcule el volumen del paralelepípedo.
2 Solución
Para resolver este sencillo ejercicio basta con aplicar las definiciones y propiedades de los dos operaciones que dotan de estructura de espacio vectorial al conjunto de los segmentos orientados en , ordenados como vectores libres. Como se sabe, dichas operaciones son la suma de vectores (según la ley del paralelogramo), y el producto de un vector por un escalar (en general, un número real).
Definamos los vectores , y , que tienen la dirección, el sentido y el módulo de los segmentos orientados , y :
Obsérvese que, según la definición geométrica de la suma de vectores, se verificarán las siguientes relaciones:
Por tanto, si al vector le sumamos el opuesto del vector , se tendrá...
Y si al vector resultante se le suma el vector , se obtiene:
Utilizando la primera relación que introdujimos anteriormente, podemos determinar el vector sumándole a el opuesto de :
Finalmente, el vector lo podemos obtener de la segunda relación:
Para calcular el valor del volumen del paralelepípedo, tenemos en cuenta que los vectores calculados, , y , se corresponden con tres segmentos orientados formados a partir de tres aristas adyacentes del paralelepípedo. En consecuencia, el valor absoluto del producto mixto de aquellos vectores es igual al volumen V que se demanda: