Campo de un solenoide cilíndrico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:35 12 abr 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Densidad superficial de corriente
3 Campo en un solenoide infinito
4 Campo en un solenoide finito

1 Enunciado

Un solenoide de radio $a$ , altura $h$ y $n$ espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por una distribución de corriente superficial sobre un cilindro.

Halle el valor $\mathbf{K}$ equivalente a que por las espiras circule una corriente $I$ .
Empleando las leyes de la magnetostática, calcule el campo producido por el solenoide, si $h\to\infty$ .
Mediante integración directa, halle el campo magnético en los puntos del eje del cilindro si h es finito.
1. Estudie el límite $h \gg a$
2. Compare los valores del campo en el centro del solenoide y justo en el borde de él. Considere los límites de una espira circular ( $h\ll a$ y de un solenoide infinito $h\gg a$ )

2 Densidad superficial de corriente

Dada una densidad de corriente superficial, la relación entre ésta y la intensidad de corriente total que atraviesa una línea trazada en la superficie es

$I_T=\int \mathbf{K}{\cdot}\mathbf{n}_1\,\mathrm{d}l$

donde $\mathbf{n}_1$ es un vector unitario normal a la curva y tangente a la superficie.

Para establecer la correspondencia entre la corriente que circula por el solenoide y la densidad de corriente equivalente, imponemos que sea idéntica la corriente total que atraviesa una línea vertical trazada sobre el solenoide. Esta línea corta $N$ espiras, siendo

$N=nh\,$

por lo que la corriente total que atraviesa la línea es

$I_T=NI=nhI\,$

con $I$ la intensidad que circula por cada espira. Si se supone una densidad de corriente superficial $\mathbf{K}=K\mathbf{u}_{\varphi}$ resulta

$I_T=\int_0^h(K\mathbf{u}_{\varphi}){\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}\,\mathrm{d}z=Kh$

Igualando ambas cantidades se tiene la relación

$K=nI\,$

o, equivalentemente $K = N I / h$ .

3 Campo en un solenoide infinito

4 Campo en un solenoide finito

El campo en los puntos del eje puede aproximarse a partir de la superposición del campo de $N$ espiras, situada cada una a una altura $z i$ . El campo debido a cada una de estas espiras va en la dirección del eje Z y depende de la altura como una función en forma de campana.

$\mathbf{B}\simeq\sum_{i=1}^N \frac{\mu_0I a^2 \mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}$

Esta expresión es aproximada porque sustituye lo que en realidad es una hélice por un conjunto de espiras circulares desconectadas entre sí.

La distancia $Δ z'$ entre dos espiras sucesivas es aproximadamente la inversa de la densidad (cuando $N$ es grande), ya que

$\Delta z' = \frac{h}{N-1}\simeq\frac{1}{n}$

En el caso de un solenoide densamente arrollado esta distancia equivale al diámetro del hilo, ya que no quedan intersticios entre vueltas sucesivas.

Esto nos permite expresar el sumatorio como

$\mathbf{B}\simeq\sum_{i=1}^N \frac{\mu_0nI a^2 \Delta z'\mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}$

pero $n I = K$ es la densidad de corriente superficial equivalente. Por otra parte, podemos escribir el sumatorio en términos de $z' = z i$ , en vez de $i$ , lo que nos deja el sumatorio como

$\mathbf{B}\simeq\sum_{z'=0}^h \frac{\mu_0K a^2\mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z')^2)^{3/2}} \Delta z'$

y, teniendo en cuenta que $Δ z'$ es una cantidad muy pequeña, comparada con la longitud de la bobina, podemos aproximar el sumatorio por una integral

$\mathbf{B}\simeq\int_0^h \frac{\mu_0K a^2\mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z')^2)^{3/2}} \mathrm{d}z'$

Para resolver esta integral, como en el problema del campo magnético de un segmento, hacemos el cambio de variable $z'-z=a\,\mathrm{tg}\,\alpha$ $a^2+(z-z')^2=\frac{a^2}{\cos^2\alpha}$ $\mathrm{d}z'=\frac{a}{\cos^2\alpha}\mathrm{d}\alpha$

En este caso, $α$ representa la elevación con la que se ve un punto del solenoide, visto desde un punto del eje. Este cambio de variable transforma la integral en

$\mathbf{B}\simeq\frac{\mu_0K\mathbf{u}_z}{2}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\!\!\cos\alpha \mathrm{d}\alpha=\frac{\mu_0K\mathbf{u}_z}{2}\left(\,\mathrm{sen}\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1\right)$

con $α 1$ y $α 2$ los ángulos con los que se ven los extremos del solenoide.

4.1 Dependencia con la posición

La forma del campo, como función de $z$ posee aspecto de “meseta” que se reduce a una campana en el límite $h \ll a$ (en el cual el solenoide se reduce a una espira), mientras que en el límite $h\gg a$ el campo tiende a un valor constante en el interior de la bobina.

El campo decae muy rápidamente al llegar al borde la bobina y es prácticamente nulo en el exterior.

4.2 El límite de un solenoide infinito

En el caso de un solenoide con una longitud mucho mayor que su radio $h\gg a$ , los ángulos tienen los límites

$\alpha_1\to-\frac{\pi}{2}$ $\mathrm{sen}\,\alpha_1\to -1$ $\alpha_2\to \frac{\pi}{2}$ $\mathrm{sen}\,\alpha_2\to 1$

y el resultado se reduce al obtenido en el apartado anterior

$\mathbf{B}\to\mu_0K\mathbf{u}_z=\mu_0nI\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{h}$

con la diferencia de que en el apartado anterior demostramos que este resultado era cierto no sólo en los puntos del eje, sino en todos los puntos del interior del solenoide.

Para un solenoide largo, el campo justo en el borde superior vale aproximadamente

$\alpha_2=0\qquad\alpha_1=-\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0nI}{2}\mathbf{u}_z=\frac{B_\mathrm{max}}{2}\mathbf{u}_z$

esto es, justo en el borde superior vale la mitad que en el centro.

4.3 Campo en el centro y en el borde

4.3.1 En el centro

Si consideramos el punto central del interior del solenoide, tenemos que

$\mathrm{sen}\,\alpha_2=-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=\frac{h}{\sqrt{h^2+(2a)^2}}$

y el campo adopta la expresión sencilla

$\mathbf{B}_c=\frac{\mu_0nhI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4a^2}}=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4a^2}}$

Para este punto es fácil tomar los dos límites indicados anteriormente

El solenoide se reduce a una espira circular cuando $N = 1$ y $h\ll a$ , quedando

$\mathbf{B}_c\to\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{2a}$

El solenoide se puede considerar infinito suponiendo $n$ finito y $h\gg a$

$\mathbf{B}\to\mu_0nI\mathbf{u}_z\,$

4.3.2 En el borde

En el punto del eje situado justo a la altura del borde del solenoide

$\mathrm{sen}\,\alpha_2=0$ $\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{h}{\sqrt{h^2+a^2}}$

y el campo vale

$\mathbf{B}_b=\frac{\mu_0nhI\mathbf{u}_z}{2\sqrt{h^2+a^2}}=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4a^2}}$

En los dos límites considerados:

Si el solenoide se reduce a una espira circular ( $N = 1$ y $h\ll a$ )

$\mathbf{B}_b\to\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{2a}$

que es el mismo valor que en el centro.

Sl solenoide se puede considerar infinito ( $n$ finito y $h\gg a$ )

$\mathbf{B}_b\to\frac{\mu_0nI\mathbf{u}_z}{2}\,$

que es la mitad del campo en el centro

Más en general, dividiendo el módulo del campo en el borde por el del campo en el centro obtenemos la proporción

$\frac{B_b}{B_c}=\sqrt{\frac{h^2+4a^2}{4h^2+4a^2}}$

que muestra que el campo en el borde es siempre menor que en el centro, siendo ambos coincidentes cuando $h\to 0$ y el uno la mitad del otro si $a\to 0$ .

@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 El campo en los puntos del eje puede aproximarse a partir de la superposición del campo de <math>N</math> [[Campo magnético de una espira circular|espiras]], situada cada una a una altura <math>z_i</math>. El [[Campo magnético de una espira circular|campo debido a cada una de estas espiras]] va en la dirección del eje Z y depende de la altura como una función en forma de campana.
-<center><math>\mathbf{B}\simeq\sum_{i=1}^N \frac{\mu_0I R^2 \mathbf{u}_z}{2(R^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}\simeq\sum_{i=1}^N \frac{\mu_0I a^2 \mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}</math></center>
 Esta expresión es aproximada porque sustituye lo que en realidad es una ''hélice'' por un conjunto de espiras circulares desconectadas entre sí.
@@ Línea 49: / Línea 49: @@
 Esto nos permite expresar el sumatorio como
-<center><math>\mathbf{B}\simeq\sum_{i=1}^N \frac{\mu_0nI R^2 \Delta z'\mathbf{u}_z}{2(R^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}\simeq\sum_{i=1}^N \frac{\mu_0nI a^2 \Delta z'\mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}</math></center>
 pero <math>nI=K</math> es la densidad de corriente superficial equivalente. Por otra parte, podemos escribir el sumatorio en términos de <math>z'=z_i</math>, en vez de <math>i</math>, lo que nos deja el sumatorio como
-<center><math>\mathbf{B}\simeq\sum_{z'=0}^h \frac{\mu_0K R^2\mathbf{u}_z}{2(R^2+(z-z')^2)^{3/2}} \Delta z'</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}\simeq\sum_{z'=0}^h \frac{\mu_0K a^2\mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z')^2)^{3/2}} \Delta z'</math></center>
 y, teniendo en cuenta que <math>\Delta z'</math> es una cantidad muy pequeña, comparada con la longitud de la bobina, podemos aproximar el sumatorio por una integral
-<center><math>\mathbf{B}\simeq\int_0^h \frac{\mu_0K R^2\mathbf{u}_z}{2(R^2+(z-z')^2)^{3/2}} \mathrm{d}z'</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}\simeq\int_0^h \frac{\mu_0K a^2\mathbf{u}_z}{2(a^2+(z-z')^2)^{3/2}} \mathrm{d}z'</math></center>
 [[Imagen:alfa-solenoide.png|left]]Para resolver esta integral, como en el problema del [[/Campo_magnético_de_una_corriente_rectilínea#Segmento_finito|campo magnético de un segmento]], hacemos el cambio de variable
-<center><math>z'-z=R\,\mathrm{tg}\,\alpha</math> {{qquad}}{{qquad}}<math>R^2+(z-z')^2=\frac{R^2}{\cos^2\alpha}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{d}z'=\frac{R}{\cos^2\alpha}\mathrm{d}\alpha</math></center>
+<center><math>z'-z=a\,\mathrm{tg}\,\alpha</math> {{qquad}}{{qquad}}<math>a^2+(z-z')^2=\frac{a^2}{\cos^2\alpha}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{d}z'=\frac{a}{\cos^2\alpha}\mathrm{d}\alpha</math></center>
 En este caso, <math>\alpha</math> representa la elevación con la que se ve un punto del solenoide, visto desde un punto del eje. Este cambio de variable transforma la integral en
@@ Línea 70: / Línea 70: @@
 ===Dependencia con la posición===
-La forma del campo, como función de <math>z</math> posee aspecto de &ldquo;meseta&rdquo; que se reduce a una [[Campo_magnético_de_una_espira_circular|campana]] en el límite <math>h \ll R</math> (en el cual el solenoide se reduce a una espira), mientras que en el límite <math>h\gg R</math> el campo tiende a un valor constante en el interior de la bobina.
+La forma del campo, como función de <math>z</math> posee aspecto de &ldquo;meseta&rdquo; que se reduce a una [[Campo_magnético_de_una_espira_circular|campana]] en el límite <math>h \ll a</math> (en el cual el solenoide se reduce a una espira), mientras que en el límite <math>h\gg a</math> el campo tiende a un valor constante en el interior de la bobina.
 <center>[[Imagen:meseta-bobina.png]]</center>
@@ Línea 77: / Línea 77: @@
 ===El límite de un solenoide infinito===
-En el caso de un solenoide con una longitud mucho mayor que su radio <math>h\gg R</math>, los ángulos tienen los límites
+En el caso de un solenoide con una longitud mucho mayor que su radio <math>h\gg a</math>, los ángulos tienen los límites
 <center><math>\alpha_1\to-\frac{\pi}{2}</math>{{qquad}}<math>\mathrm{sen}\,\alpha_1\to -1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\alpha_2\to \frac{\pi}{2}</math>{{qquad}}<math>\mathrm{sen}\,\alpha_2\to 1</math></center>
@@ Línea 97: / Línea 97: @@
 Si consideramos el punto central del interior del solenoide, tenemos que
-<center><math>\mathrm{sen}\,\alpha_2=-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=\frac{h}{\sqrt{h^2+(2R)^2}}</math></center>
+<center><math>\mathrm{sen}\,\alpha_2=-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=\frac{h}{\sqrt{h^2+(2a)^2}}</math></center>
 y el campo adopta la expresión sencilla
-<center><math>\mathbf{B}_c=\frac{\mu_0nhI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4R^2}}=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4R^2}}</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_c=\frac{\mu_0nhI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4a^2}}=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4a^2}}</math></center>
 Para este punto es fácil tomar los dos límites indicados anteriormente
-* El solenoide se reduce a una espira circular cuando <math>N=1</math> y <math>h\ll R</math>, quedando
+* El solenoide se reduce a una espira circular cuando <math>N=1</math> y <math>h\ll a</math>, quedando
-<center><math>\mathbf{B}_c\to\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{2R}</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_c\to\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{2a}</math></center>
-* El solenoide se puede considerar infinito suponiendo <math>n</math> finito y <math>h\gg R</math>
+* El solenoide se puede considerar infinito suponiendo <math>n</math> finito y <math>h\gg a</math>
 <center><math>\mathbf{B}\to\mu_0nI\mathbf{u}_z\,</math></center>
@@ Línea 116: / Línea 116: @@
 En el punto del eje situado justo a la altura del borde del solenoide
-<center><math>\mathrm{sen}\,\alpha_2=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}</math></center>
+<center><math>\mathrm{sen}\,\alpha_2=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\,\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{h}{\sqrt{h^2+a^2}}</math></center>
 y el campo vale
-<center><math>\mathbf{B}_b=\frac{\mu_0nhI\mathbf{u}_z}{2\sqrt{h^2+R^2}}=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4R^2}}</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_b=\frac{\mu_0nhI\mathbf{u}_z}{2\sqrt{h^2+a^2}}=\frac{\mu_0NI\mathbf{u}_z}{\sqrt{h^2+4a^2}}</math></center>
 En los dos límites considerados:
-* Si el solenoide se reduce a una espira circular (<math>N=1</math> y <math>h\ll R</math>)
+* Si el solenoide se reduce a una espira circular (<math>N=1</math> y <math>h\ll a</math>)
-<center><math>\mathbf{B}_b\to\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{2R}</math></center>
+<center><math>\mathbf{B}_b\to\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{2a}</math></center>
 :que es el mismo valor que en el centro.
-* Sl solenoide se puede considerar infinito (<math>n</math> finito y <math>h\gg R</math>)
+* Sl solenoide se puede considerar infinito (<math>n</math> finito y <math>h\gg a</math>)
 <center><math>\mathbf{B}_b\to\frac{\mu_0nI\mathbf{u}_z}{2}\,</math></center>
@@ Línea 138: / Línea 138: @@
 Más en general, dividiendo el módulo del campo en el borde por el del campo en el centro obtenemos la proporción
-<center><math>\frac{B_b}{B_c}=\sqrt{\frac{h^2+4R^2}{4h^2+4R^2}}</math></center>
+<center><math>\frac{B_b}{B_c}=\sqrt{\frac{h^2+4a^2}{4h^2+4a^2}}</math></center>
-que muestra que el campo en el borde es siempre menor que en el centro, siendo ambos coincidentes cuando <math>h\to 0</math> y el uno la mitad del otro si <math>R\to 0</math>.
+que muestra que el campo en el borde es siempre menor que en el centro, siendo ambos coincidentes cuando <math>h\to 0</math> y el uno la mitad del otro si <math>a\to 0</math>.
 [[Categoría:Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]]

Campo de un solenoide cilíndrico

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1 Enunciado

2 Densidad superficial de corriente

3 Campo en un solenoide infinito

4 Campo en un solenoide finito

4.1 Dependencia con la posición

4.2 El límite de un solenoide infinito

4.3 Campo en el centro y en el borde

4.3.1 En el centro

4.3.2 En el borde

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