Fuerzas de interacción y aceleraciones en sistema de tres partículas, F1 GIA (Ene, 2018)
De Laplace
(→Aceleración de la partícula P_0) |
(→Aceleración de la partícula P_0) |
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Línea 38: | Línea 38: | ||
<center><math>\left.\begin{array}{l}\displaystyle m_0\!\ \vec{a}_0=\vec{F}_{01}\!\ +\!\ \vec{F}_{02}=\frac{F_{10}-F_{20}}{2}\ \vec{\imath}\ +\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ \left(F_{10}+F_{20}\right)\ \vec{\jmath}\\ \\ | <center><math>\left.\begin{array}{l}\displaystyle m_0\!\ \vec{a}_0=\vec{F}_{01}\!\ +\!\ \vec{F}_{02}=\frac{F_{10}-F_{20}}{2}\ \vec{\imath}\ +\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ \left(F_{10}+F_{20}\right)\ \vec{\jmath}\\ \\ | ||
\displaystyle F_{10}=F_{20}=2\!\ F_{12} | \displaystyle F_{10}=F_{20}=2\!\ F_{12} | ||
- | \end{array}\right\}\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{a}_0=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}}{m_0}\ \vec{\jmath}</math></center> | + | \end{array}\right\}\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{a}_0=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}}{m_0}\ \vec{\jmath}=\frac{1}{m_0\ \vec{F}_0</math></center> |
Por tanto, las relaciones de esta aceleración con las de las otra partículas son: | Por tanto, las relaciones de esta aceleración con las de las otra partículas son: | ||
<center><math style="border:solid blue 2px;padding:10px">\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_1|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_1}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math style="border:solid red 2px;padding:10px">\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_2}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}</math></center> | <center><math style="border:solid blue 2px;padding:10px">\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_1|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_1}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math style="border:solid red 2px;padding:10px">\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_2}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}</math></center> |
Revisión de 12:00 20 ago 2018
Contenido |
1 Enunciado
Tres partículas PO, P1 y P2, de masas conocidas con valores m0, m1 y m2, respectivamente, interaccionan entre sí de manera que la fuerza que la partícula Pj ejerce sobre la Pi, tiene la dirección del segmento (es decir, ). En un determinado instante, las partículas ocupan los vértices de un triángulo equilátero; se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ tal que dicho triángulo está contenido en plano OXY, con el segmento paralelo al eje OX, y la partícula P0 en el punto O. En dicho instante, las aceleraciones de las partículas P1 y P2 tiene igual dirección y sentido, siendo paralelas y opuestas al eje OY; es decir y , respectivamente, con- Determine qué relación verifican los módulos de dichas aceleraciones, , en función de las masas de las partículas.
- Determine la dirección y el sentido de la aceleración de la partícula P0. ¿Cuánto vale su módulo en relación con los módulos de las aceleraciones de P1 y P2?
2 Solución
Para resolver este ejercicio sólo es necesario aplicar las leyes de Dinámica para el punto material. La segunda ley de Newton y el principio de superposición establecen que la aceleración instantánea de la partícula Pi multiplicada por su masa inercial, es igual a la resultante de de las fuerzas que actúan en dicho instante sobre la partícula. Además, el principio de acción y reacción establece que las fuerzas de interacción entre cada par de partículas son opuestas; además, en el ejercicio propuesto, estas fuerzas son colineales con la recta que pasa por cada par de puntos:
Nótese que no tenemos información acerca de la naturaleza de las fuerzas de interacción mutua , por lo que desconocemos el valor de sus intensidades o módulos, Fij. Sin embargo, no necesitamos esta información para resolver el ejercicio propuesto:
2.1 Relación entre aceleraciones de P1 y P2
Obtenemos las expresiones de las aceleraciones de estas partículas en el instante considerado y en términos de las intensidades Fij de la fuerzas que actúan sobre ellas:
Por tanto, la relación entre las intensidades de las aceleraciones de estás partículas en el instante considerado, es...
2.2 Aceleración de la partícula P0
Aplicando las leyes de la Dinámica en esta partícula, se tendrá:Por tanto, las relaciones de esta aceleración con las de las otra partículas son: