Tres superficies conductoras concéntricas (GIE)
De Laplace
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
Se tiene un sistema formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas, de radios <math>2b</math>, <math>3b</math> y <math>6b</math>. Inicialmente la esfera interior almacena una carga <math>-Q_0</math>, la intermedia está aislada y descargada y la exterior almacena una carga <math>+Q_0</math>. | Se tiene un sistema formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas, de radios <math>2b</math>, <math>3b</math> y <math>6b</math>. Inicialmente la esfera interior almacena una carga <math>-Q_0</math>, la intermedia está aislada y descargada y la exterior almacena una carga <math>+Q_0</math>. | ||
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# Calcule el potencial al que se encuentra cada esfera. | # Calcule el potencial al que se encuentra cada esfera. | ||
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==Antes de la conexión== | ==Antes de la conexión== | ||
===Potenciales=== | ===Potenciales=== | ||
| + | <center><math>V_1=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(2b)}+\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0(6b)}=-\frac{Q_0}{12\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
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| + | <center><math>V_2=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(3b)}+\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0(6b)}=-\frac{Q_0}{24\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>V_3=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(6b)}+\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0(6b)}=0</math></center> | ||
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===Campo=== | ===Campo=== | ||
| + | <center><math>\vec{E}(z=0)=\vec{0}</math></center> | ||
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| + | <center><math>\vec{E}\left(z=\frac{5b}{2}\right)=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(5b/2)^2}\vec{k}=-\frac{Q_0}{25\pi\varepsilon_0b^2}\vec{k}</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>\vec{E}\left(z=4b\right)=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(4b)^2}\vec{k}=-\frac{Q_0}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{k}</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>\vec{E}\left(z=8b\right)=\vec{0}</math></center> | ||
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===Energía=== | ===Energía=== | ||
| + | <center><math>U_e=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3=\frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{Q_0^2}{24\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
| + | |||
==Después de la conexión== | ==Después de la conexión== | ||
===Cargas y potenciales=== | ===Cargas y potenciales=== | ||
| + | ====Cargas==== | ||
| + | <center><math>Q^\prime_1=-Q_0\qquad\qquad Q^\prime_3=+Q_0</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>0=V^\prime_2=-\frac{Q_0}{24\pi\varepsilon_0b}+\frac{Q^\prime_2}{4\pi\varepsilon_0(3b)}\qquad\Rightarrow\qquad Q^\prime_2=\frac{Q_0}{2}</math></center> | ||
| + | ====Potenciales==== | ||
| + | <center><math>V^\prime_2=0\,</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>V^\prime_1=-\frac{Q_0}{12\pi\varepsilon_0b}+\frac{Q_0/2}{4\pi\varepsilon_0(3b)}=-\frac{Q_0}{24\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>V^\prime_3=0+\frac{Q_0/2}{4\pi\varepsilon_0(6b)}=\frac{Q_0}{48\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
===Campo=== | ===Campo=== | ||
| - | ===Energía=== | + | <center><math>\vec{E}^\prime(z=0)=\vec{0}</math></center> |
| - | [[Categoría:Problemas de electrostática en | + | |
| + | <center><math>\vec{E}^\prime\left(z=\frac{5b}{2}\right)=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(5b/2)^2}\vec{k}=-\frac{Q_0}{25\pi\varepsilon_0b^2}\vec{k}</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>\vec{E}^\prime\left(z=4b\right)=\frac{-Q_0}{4\pi\varepsilon_0(4b)^2}\vec{k}+\frac{Q_0/2}{4\pi\varepsilon_0(4b)^2}\vec{k}=-\frac{Q_0}{128\pi\varepsilon_0b^2}\vec{k}</math></center> | ||
| + | | ||
| + | <center><math>\vec{E}^\prime\left(z=8b\right)=\vec{0}+\frac{Q_0/2}{4\pi\varepsilon_0(8b)^2}\vec{k}=\frac{Q_0}{512\pi\varepsilon_0b^2}\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | ===Energía=== | ||
| + | ====Energía final==== | ||
| + | <center><math>U^\prime_e=\frac{1}{2}Q^\prime_1V^\prime_1+\frac{1}{2}Q^\prime_2V^\prime_2+\frac{1}{2}Q^\prime_3V^\prime_3=\frac{Q_0^2}{48\pi\varepsilon_0b}+\frac{Q_0^2}{96\pi\varepsilon_0b}=\frac{Q_0^2}{32\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
| + | |||
| + | ====Energía disipada==== | ||
| + | <center><math>\Delta U_e=\frac{Q_0^2}{32\pi\varepsilon_0b}-\frac{Q_0^2}{24\pi\varepsilon_0b}=-\frac{Q_0^2}{96\pi\varepsilon_0b}</math></center> | ||
| + | [[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIE)]] | ||
última version al 20:44 8 may 2017
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sistema formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas, de radios 2b, 3b y 6b. Inicialmente la esfera interior almacena una carga − Q0, la intermedia está aislada y descargada y la exterior almacena una carga + Q0.
- Calcule el potencial al que se encuentra cada esfera.
- Halle el campo eléctrico en los puntos del eje OZ siguientes: z = 0, z = 5b / 2, z = 4b y z = 8b, siendo el origen de coordenadas el centro de las esferas.
- Halle la energía almacenada en el sistema
En un momento dado se cierra el interruptor que conecta la esfera intermedia a tierra. Una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio electrostático:
- ¿Cuáles son las nuevas cargas y potenciales de los tres conductores?
- ¿Cuánto vale ahora el campo eléctrico en los puntos del apartado 2?
- ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema?
- ¿Cuánta energía se ha perdido en el proceso?
2 Antes de la conexión
2.1 Potenciales
2.2 Campo
2.3 Energía
3 Después de la conexión
3.1 Cargas y potenciales
3.1.1 Cargas
3.1.2 Potenciales
3.2 Campo
3.3 Energía
3.3.1 Energía final
3.3.2 Energía disipada
