F1 GIA SPC 2015, Esfera con movimiento en función del tiempo
De Laplace
(Página creada con '== Enunciado == right Una esfera de radio <math>a </math>, se mueve en contacto con un plano <math>\Pi=OX_1Y_1 </math>. El mo…') |
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+ | Igual que antes, para <math>t=t_2 </math> tenemos <math>\vec{\omega}(t_2)=\vec{0} </math>. En este caso no hay velocidad mínima del campo de velocidades, pues no existe el eje instantáneo. La solución correcta es | ||
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+ | Evaluamos la reducción cinemática y su derivada en el instante <math>t=2a/v_0 </math>. Indicamos con el subíndice 0 los valores particulares en este instante de tiempo | ||
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+ | \vec{\alpha}_0 = -\dfrac{v_0^2}{a^2}\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1) | ||
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+ | \vec{a}^C_0 = -\dfrac{v_0^2}{a}\,\vec{\imath}_1 | ||
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+ | Los valores de <math>\vec{\alpha}_0 </math> y <math>\vec{a}^C_0 </math> son los mismos que hemos encontrado antes, pues la aceleración y la aceleración angular son vectores constantes | ||
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+ | Usamos la ecuación del campo de aceleraciones para relacionar las aceleraciones en los puntos <math>C </math> y <math>D </math>. | ||
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+ | Sumando los tres términos tenemos | ||
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+ | \vec{a}^D_0 = \dfrac{v_0^2}{a}\,(-\vec{\jmath}_1 + 2\,\vec{k}_1) | ||
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+ | [[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]] | ||
+ | [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]] |
Revisión de 20:40 9 feb 2015
Contenido |
1 Enunciado
Una esfera de radio a, se mueve en contacto con un plano Π = OX1Y1. El movimiento de la esfera queda completamente caracterizado, para todo instante de tiempo, por la reducción cinemática
- En qué instante(s) el movimiento de la esfera respecto del plano es una rotación pura instantánea?
- En qué instante la velocidad del centro C tiene módulo mínimo en el campo de velocidades de la esfera?
- Aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición D de contacto con el plano, en el instante t0 = 2a / v0?
- Calcula la aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición D de contacto con el plano, en el instante t0 = 2a / v0
2 Solución
2.1 Rotación pura instantánea
Para que el movimiento sea una rotación pura el invariante escalar debe ser cero y el vector rotación debe ser distinto de cero. El invariante escalar es
Igualando a cero obtenemos dos posible soluciones
En la segunda solución, también se tiene , por lo que respuesta correcta es la primera
2.2 Velocidad con módulo mínimo en el campo de velocidades
Cuando esto se cumple, el punto C debe estar en el eje instantáneo del movimiento. Para ello, los vectores y deben ser paralelos, esto es
Haciendo el producto vectorial llegamos a la expresión
Este vector se anula para dos instantes de tiempo
Igual que antes, para t = t2 tenemos . En este caso no hay velocidad mínima del campo de velocidades, pues no existe el eje instantáneo. La solución correcta es
t = t1 = 0
2.3 Aceleración del punto D
Derivamos la reducción cinemática en D. Tenemos
Derivando la velocidad tenemos
Evaluamos la reducción cinemática y su derivada en el instante t = 2a / v0. Indicamos con el subíndice 0 los valores particulares en este instante de tiempo
Los valores de y son los mismos que hemos encontrado antes, pues la aceleración y la aceleración angular son vectores constantes
Usamos la ecuación del campo de aceleraciones para relacionar las aceleraciones en los puntos C y D.
Del dibujo vemos que el vector geométrico es
Los vectores que aparecen son
Por otro lado
y
Sumando los tres términos tenemos